Factorización de polinomios y completar cuadrados
Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 16 de 24Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura
Multiplicar polinomios es convertir un producto en una suma: (x + 3)(x − 3) = x2 − 9. Factorizar es el camino de regreso: partir de x2 − 9 y descubrir que es (x + 3)(x − 3). Es como descomponer 84 en factores, 84 = 22 · 3 · 7, pero con expresiones algebraicas.
Factorizar sirve para simplificar expresiones, para resolver ecuaciones de segundo grado y para entender mejor la función cuadrática. En esta lección vas a repasar las técnicas que pide el programa del MEP para noveno año (factor común, fórmulas notables, agrupación e inspección) y vas a aprender a completar cuadrados, es decir, a escribir x2 + px + q como (x + h)2 + k.
Definición
Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de factores más simples. La factorización es completa cuando ninguno de los factores se puede descomponer más. Por ejemplo, 2x3 − 18x = 2x(x2 − 9) todavía no está completa, porque x2 − 9 = (x + 3)(x − 3); la factorización completa es 2x(x + 3)(x − 3).
Antes de empezar: las fórmulas notables#
Las fórmulas notables, leídas de izquierda a derecha, sirven para multiplicar; leídas al revés, son herramientas para factorizar:
| Nombre | Fórmula |
|---|---|
| Diferencia de cuadrados | a2 − b2 = (a + b)(a − b) |
| Trinomio cuadrado perfecto (con suma) | a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 |
| Trinomio cuadrado perfecto (con resta) | a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 |
Un error muy común es escribir (a + b)2 = a2 + b2. Basta un ejemplo con números para ver que es falso: (3 + 4)2 = 49, mientras que 32 + 42 = 25. Falta el término del medio, 2 · 3 · 4 = 24.
Toda factorización se puede comprobar: se multiplican los factores y tiene que salir la expresión original.
Factor común y fórmulas notables#
El primer paso, siempre, es buscar un factor común: el mayor número que divide a todos los coeficientes y las letras que aparecen en todos los términos, con su menor exponente.
Ejemplo. Factoriza 6x3y − 9x2y2.
Solución. El mayor divisor común de 6 y 9 es 3; la x aparece en los dos términos con exponente menor 2, y la y, con exponente menor 1. El factor común es 3x2y, y al dividir cada término entre él queda 6x3y − 9x2y2 = 3x2y(2x − 3y). Al multiplicar se recupera la expresión original.
El factor común puede ser un polinomio entero: en 4a(m − 2) + 7(m − 2), los dos términos tienen el factor (m − 2), así que la expresión es (m − 2)(4a + 7).
Ejemplo. Factoriza 25m2 − 49.
Solución. Es una resta de dos cuadrados: 25m2 = (5m)2 y 49 = 72. Por la diferencia de cuadrados, 25m2 − 49 = (5m + 7)(5m − 7).
Ejemplo. Factoriza 9a2 − 30ab + 25b2.
Solución. El primer término y el último son cuadrados: 9a2 = (3a)2 y 25b2 = (5b)2. Para que sea un trinomio cuadrado perfecto, el término del medio tiene que ser el doble del producto de 3a y 5b: 2 · 3a · 5b = 30ab. Se cumple, y como el signo del medio es negativo, 9a2 − 30ab + 25b2 = (3a − 5b)2.
El trinomio x² + bx + c por inspección#
Para factorizar x2 + bx + c se buscan dos números p y q cuya suma sea b y cuyo producto sea c. Entonces x2 + bx + c = (x + p)(x + q).
Ejemplo. Factoriza x2 + 3x − 28.
Solución. Se buscan dos números que multiplicados den −28 y sumados den 3. Como el producto es negativo, tienen signos distintos. Probando con las parejas de factores de 28 (1 y 28, 2 y 14, 4 y 7), la que sirve es 7 y −4: 7 · (−4) = −28 y 7 + (−4) = 3. Entonces x2 + 3x − 28 = (x + 7)(x − 4).
Ejemplo. Factoriza x2 − 11x + 24.
Solución. El producto, 24, es positivo y la suma, −11, es negativa: los dos números son negativos. Entre las parejas −1 y −24, −2 y −12, −3 y −8, −4 y −6, la que suma −11 es −3 y −8. Así, x2 − 11x + 24 = (x − 3)(x − 8).
Una pista para los signos: si c es positivo, p y q tienen el mismo signo, que es el de b; si c es negativo, tienen signos distintos, y el de mayor valor absoluto lleva el signo de b.
Agrupación y factorización completa#
Con cuatro términos, a veces se pueden formar grupos que tengan un factor común, o un grupo que sea un trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo. Factoriza x3 − 2x2 + 5x − 10.
Solución. Se agrupan los dos primeros términos y los dos últimos: x2(x − 2) + 5(x − 2). Ahora (x − 2) es factor común: (x − 2)(x2 + 5). El factor x2 + 5 no se descompone con estas técnicas, porque es una suma, y no una diferencia, de cuadrados.
Ejemplo. Factoriza x2 − 6x + 9 − y2.
Solución. Los tres primeros términos forman un trinomio cuadrado perfecto: x2 − 6x + 9 = (x − 3)2. Queda (x − 3)2 − y2, que es una diferencia de cuadrados: (x − 3 + y)(x − 3 − y).
Para una factorización completa, después de cada paso se revisa si algún factor se puede seguir descomponiendo:
- 3x2 − 3x − 36 = 3(x2 − x − 12) = 3(x − 4)(x + 3): primero el factor común 3 y luego la inspección, porque −4 y 3 suman −1 y multiplican −12.
- x4 − 16 = (x2 + 4)(x2 − 4) = (x2 + 4)(x + 2)(x − 2): la diferencia de cuadrados se usa dos veces.
Simplificar expresiones algebraicas#
Una fracción algebraica se simplifica como una fracción numérica (repasa la simplificación de fracciones): se factorizan el numerador y el denominador y se cancelan los factores comunes. Hay que anotar los valores que anulan el denominador, porque para ellos la expresión no está definida.
Ejemplo. Simplifica (x2 − 16) ÷ (x2 − x − 12).
Solución. Se factoriza cada parte: x2 − 16 = (x + 4)(x − 4) y x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3). El factor (x − 4) se cancela y queda (x + 4) ÷ (x + 3), con x ≠ 4 y x ≠ −3. Se puede comprobar con un número, por ejemplo x = 1: la expresión original da −15 ÷ (−12) = 1,25 y la simplificada, 5 ÷ 4 = 1,25.
Ejemplo. Simplifica (2x2 + 10x) ÷ (x2 − 25).
Solución. Arriba hay un factor común: 2x(x + 5). Abajo, una diferencia de cuadrados: (x + 5)(x − 5). Se cancela (x + 5) y queda 2x ÷ (x − 5), con x ≠ 5 y x ≠ −5.
Solo se cancelan factores, nunca sumandos: en (x + 4) ÷ (x + 3) no se pueden «tachar» las x.
Completar cuadrados#
Completar cuadrados es escribir un trinomio x2 + px + q en la forma (x + h)2 + k. La idea sale del trinomio cuadrado perfecto: como (x + h)2 = x2 + 2hx + h2, el número h tiene que ser la mitad de p. Luego se suma y se resta h2, para no cambiar el valor de la expresión:
Fórmula
x2 + px + q = (x + p/2)2 + q − (p/2)2
Es decir, h = p ÷ 2 y k = q − h2.
Ejemplo. Escribe x2 + 8x + 5 en la forma (x + h)2 + k.
Solución. La mitad de 8 es 4, y 42 = 16. Se suma y se resta 16: x2 + 8x + 16 − 16 + 5. Los tres primeros términos son (x + 4)2, y −16 + 5 = −11. Entonces x2 + 8x + 5 = (x + 4)2 − 11. Comprobación: (x + 4)2 − 11 = x2 + 8x + 16 − 11 = x2 + 8x + 5.
Ejemplo. Completa el cuadrado en x2 − 10x + 30 y en x2 + 3x − 2.
Solución. En el primero, la mitad de −10 es −5 y (−5)2 = 25: x2 − 10x + 30 = (x − 5)2 − 25 + 30 = (x − 5)2 + 5. En el segundo, la mitad de 3 es 3/2 y (3/2)2 = 9/4: x2 + 3x − 2 = (x + 3/2)2 − 9/4 − 2 = (x + 3/2)2 − 17/4.
Esta forma tiene una ventaja: como un cuadrado nunca es negativo, (x − 5)2 + 5 vale como mínimo 5, y eso ocurre cuando x = 5. Por eso completar cuadrados permite hallar el vértice de una parábola y, más adelante, deducir la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.
Ponte a prueba#
¿Cómo se factoriza 4x² − 81?#
Es una diferencia de cuadrados, porque 4x2 = (2x)2 y 81 = 92. Por la fórmula a2 − b2 = (a + b)(a − b), con a = 2x y b = 9, queda 4x2 − 81 = (2x + 9)(2x − 9). Se comprueba multiplicando: 4x2 − 18x + 18x − 81 = 4x2 − 81.
¿Qué dos binomios multiplicados dan x² + 2x − 35?#
Se buscan dos números cuyo producto sea −35 y cuya suma sea 2. Como el producto es negativo, tienen signos distintos, y el de mayor valor absoluto es positivo, porque la suma es positiva. Entre los factores de 35, la pareja 7 y −5 cumple: 7 · (−5) = −35 y 7 + (−5) = 2. Entonces x2 + 2x − 35 = (x + 7)(x − 5).
¿Cuál es la factorización completa de 5x³ − 20x?#
Primero se saca el factor común 5x: 5x3 − 20x = 5x(x2 − 4). El factor x2 − 4 todavía se puede descomponer, porque es una diferencia de cuadrados: x2 − 4 = (x + 2)(x − 2). La factorización completa es 5x(x + 2)(x − 2). Quedarse en 5x(x2 − 4) sería una factorización incompleta.
¿Cómo se escribe x² − 6x + 2 en la forma (x + h)² + k?#
La mitad del coeficiente de x es −6 ÷ 2 = −3, y (−3)2 = 9. Se suma y se resta 9: x2 − 6x + 9 − 9 + 2 = (x − 3)2 − 7. Así, h = −3 y k = −7. Al desarrollar (x − 3)2 − 7 = x2 − 6x + 9 − 7 se recupera la expresión original. El valor mínimo de la expresión es −7, cuando x = 3.
¿Cómo se simplifica la expresión (x² + 5x + 6) ÷ (x² − 4)?#
Se factorizan las dos partes. Arriba, por inspección, 2 y 3 suman 5 y multiplican 6: x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Abajo hay una diferencia de cuadrados: x2 − 4 = (x + 2)(x − 2). Se cancela el factor común (x + 2) y queda (x + 3) ÷ (x − 2), con x ≠ 2 y x ≠ −2, porque esos valores anulan el denominador original.
Fuentes#
También en matemáticas
