En un terreno rectangular de x metros de ancho y x + 4 metros de largo se construye, en una esquina, una bodega cuadrada de 2 metros de lado. La parte del terreno que queda libre mide x(x + 4) − 4 = x2 + 4x − 4 metros cuadrados. Esa expresión de tres términos es un polinomio. Con polinomios se describen áreas, distancias, costos y muchas otras cantidades que dependen de un valor que cambia.
Todo se apoya en lo que ya sabes de los monomios: reducir términos semejantes y multiplicar sumando los exponentes.
Definición
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de uno o más monomios. Cada monomio es un término del polinomio. Por ejemplo, 2x3 − 7x + 4 es un polinomio de tres términos: 2x3, −7x y 4. El signo que va delante de cada término forma parte de él.
Monomios, binomios, trinomios y polinomios de más de tres términos#
Según la cantidad de términos que tenga, una vez reducidos los semejantes, una expresión se clasifica así:
| Nombre | Número de términos | Ejemplos |
|---|---|---|
| Monomio | 1 | −6ab2; 10 |
| Binomio | 2 | x + 9; 4m2 − n2 |
| Trinomio | 3 | y2 − 5y + 6; 3p − q + 1 |
| Polinomio de más de tres términos | 4 o más | x3 + 2x2 − x − 8 |
Antes de clasificar hay que reducir los términos semejantes, porque una expresión puede tener escritos más términos de los que en realidad tiene. Además, «polinomio» es el nombre general: un binomio o un trinomio también son polinomios.
Ejemplo. Clasifica 5k + 3 − 2k − 3k + 6.
Solución. Parece un polinomio de cinco términos, pero 5k − 2k − 3k = 0 y 3 + 6 = 9. La expresión se reduce a 9, así que es un monomio.
Ejemplo. Clasifica 4x2 − x + 7x − 2x2 + 1.
Solución. Se reducen los semejantes: 4x2 − 2x2 = 2x2 y −x + 7x = 6x. Queda 2x2 + 6x + 1, que tiene tres términos: es un trinomio.
Conviene escribir los polinomios ordenados, de la mayor potencia a la menor, como 2x2 + 6x + 1. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos: ese trinomio es de grado 2.
Suma de polinomios#
Para sumar polinomios se quitan los paréntesis, que van precedidos de un signo más y por eso no cambian ningún signo, y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo. Suma (3x2 − 5x + 4) + (−x2 + 8x − 9).
Solución. Se agrupan los semejantes: (3x2 − x2) + (−5x + 8x) + (4 − 9) = 2x2 + 3x − 5.
También se puede sumar en columnas, con los semejantes uno debajo del otro, igual que se suman los números por posiciones. Así se suma (2a2 + ab − 3b2) + (a2 − 4ab + b2):
| Columna de a2 | Columna de ab | Columna de b2 | |
|---|---|---|---|
| Primer sumando | 2a2 | + ab | − 3b2 |
| Segundo sumando | a2 | − 4ab | + b2 |
| Suma | 3a2 | − 3ab | − 2b2 |
La suma es 3a2 − 3ab − 2b2. Si a uno de los polinomios le falta un término, se deja vacío su lugar en la columna para que no se mezclen términos que no son semejantes.
Resta de polinomios#
Restar un polinomio es sumar su opuesto. Cuando un paréntesis va precedido de un signo menos, al quitarlo se cambia el signo de todos sus términos, no solo el del primero. Olvidar uno de esos cambios es el error más común en este tema.
Ejemplo. Resta (5y3 − 2y + 7) − (3y3 + y2 − 6y + 1).
Solución. Se cambian los signos del sustraendo: 5y3 − 2y + 7 − 3y3 − y2 + 6y − 1. Se reducen los semejantes: (5 − 3)y3 − y2 + (−2 + 6)y + (7 − 1) = 2y3 − y2 + 4y + 6.
Una resta se revisa sumando el resultado con el sustraendo: tiene que dar el minuendo. Aquí, (2y3 − y2 + 4y + 6) + (3y3 + y2 − 6y + 1) = 5y3 − 2y + 7, que es el polinomio del que se partió.
Ejemplo. Una cinta mide 5x + 12 centímetros y se le corta un trozo de 2x − 3 centímetros. ¿Qué polinomio da lo que queda de la cinta? ¿Cuánto queda si x = 20?
Solución. Lo que queda es la diferencia: (5x + 12) − (2x − 3) = 5x + 12 − 2x + 3 = 3x + 15 centímetros. Con x = 20 quedan 3 · 20 + 15 = 75 cm. Se comprueba con las medidas: la cinta mide 5 · 20 + 12 = 112 cm, el trozo mide 2 · 20 − 3 = 37 cm, y 112 − 37 = 75. Si se olvidara cambiar el signo del −3, saldría 3x + 9, es decir, 69 cm: 6 cm menos de lo que de verdad queda.
Multiplicar un monomio por un polinomio#
Se usa la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada término del polinomio, y después se escriben todos los productos con sus signos. Cada producto es una multiplicación de monomios: coeficiente por coeficiente y exponentes sumados.
Ejemplo. Multiplica −2x(3x2 − x + 5).
Solución. Término por término: −2x · 3x2 = −6x3; −2x · (−x) = 2x2; −2x · 5 = −10x. El producto es −6x3 + 2x2 − 10x. Fíjate en que el monomio negativo cambia el signo de cada término.
Ejemplo. Multiplica 4ab(a2 − 3ab + 2b).
Solución. 4ab · a2 = 4a3b; 4ab · (−3ab) = −12a2b2; 4ab · 2b = 8ab2. El producto es 4a3b − 12a2b2 + 8ab2.
Multiplicar dos polinomios#
Cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo, y al final se reducen los semejantes. Si el primero tiene 2 términos y el segundo 3, antes de reducir habrá 2 · 3 = 6 productos: contarlos ayuda a no olvidar ninguno.
Ejemplo. Multiplica (2x + 3)(x − 4).
Solución. 2x · x = 2x2; 2x · (−4) = −8x; 3 · x = 3x; 3 · (−4) = −12. Al reducir, −8x + 3x = −5x, y el producto es 2x2 − 5x − 12. Para revisarlo se puede usar x = 1: el lado izquierdo da 5 · (−3) = −15 y el derecho, 2 − 5 − 12 = −15.
Ejemplo. Multiplica (a − 2)(a2 + 3a − 1).
Solución. Primero a por cada término: a3 + 3a2 − a. Luego −2 por cada término: −2a2 − 6a + 2. Se juntan los seis productos y se reducen: a3 + (3a2 − 2a2) + (−a − 6a) + 2 = a3 + a2 − 7a + 2.
La multiplicación de binomios se puede ver como un área. Un rectángulo cuyos lados miden 3x + 1 y x + 5 se parte en cuatro rectángulos más pequeños, de áreas 3x · x, 3x · 5, 1 · x y 1 · 5. La suma de esas cuatro áreas es el producto de los dos binomios.
Ejemplo. Un patio rectangular mide (3x + 1) metros de largo y (x + 5) metros de ancho. Escribe su área como un polinomio y calcúlala para x = 3.
Solución. Área = (3x + 1)(x + 5) = 3x2 + 15x + x + 5 = 3x2 + 16x + 5 metros cuadrados. Con x = 3: 3 · 9 + 16 · 3 + 5 = 27 + 48 + 5 = 80 m2. Se comprueba con las medidas: con x = 3 el largo es 10 m y el ancho 8 m, y 10 · 8 = 80.
Ponte a prueba#
¿Qué clase de expresión es 7m − 2 + m − 6m después de reducirla?#
Primero se reducen los términos semejantes: 7m + m − 6m = 2m. El número −2 no tiene semejantes, así que queda igual. La expresión reducida es 2m − 2, que tiene dos términos: es un binomio. Aunque estaba escrita con cuatro términos, para clasificarla siempre se cuenta después de reducir.
¿Cuánto da la suma (4a² − a + 3) + (2a² + 5a − 10)?#
Como los paréntesis van precedidos de un signo más, se quitan sin cambiar signos y se juntan los semejantes: 4a2 + 2a2 = 6a2; −a + 5a = 4a; 3 − 10 = −7. La suma es el trinomio 6a2 + 4a − 7, de grado 2.
¿Cuál es el resultado de (x² + 6x − 1) − (3x² − 2x + 4)?#
Al quitar el paréntesis precedido del signo menos se cambian los signos de los tres términos: x2 + 6x − 1 − 3x2 + 2x − 4. Ahora se reducen los semejantes: x2 − 3x2 = −2x2; 6x + 2x = 8x; −1 − 4 = −5. El resultado es −2x2 + 8x − 5.
¿Cuál es el producto (3y − 2)(y + 5)?#
Cada término del primer binomio multiplica a cada término del segundo: 3y · y = 3y2; 3y · 5 = 15y; −2 · y = −2y; −2 · 5 = −10. Al reducir, 15y − 2y = 13y, y el producto es 3y2 + 13y − 10. Con y = 1 se revisa: 1 · 6 = 6 y 3 + 13 − 10 = 6.
¿Por qué (x + 1)(x + 1) no es igual a x² + 1?#
Porque al multiplicar hay que hacer los cuatro productos: x · x = x2, x · 1 = x, 1 · x = x y 1 · 1 = 1. Al reducir queda x2 + 2x + 1. Quien escribe x2 + 1 olvida los dos productos cruzados. Con x = 3 se ve la diferencia: (3 + 1)(3 + 1) = 16, mientras que 32 + 1 = 10.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
