Probabilidad frecuencial: estimar con la frecuencia relativa

En octavo año, para hallar una probabilidad contabas los resultados a favor y los dividías entre el total de resultados. Ese método funciona muy bien con dados, monedas y rifas, pero falla en muchas preguntas de la vida diaria. ¿Con qué probabilidad germina una semilla? ¿Y una tapa de botella, con qué probabilidad cae de lado? Para responderlas no basta con contar: hay que observar.

En esta lección vas a ver cuándo no se puede usar la definición clásica de probabilidad, cómo se estima una probabilidad con la frecuencia relativa y por qué las propiedades de las probabilidades que ya conoces siguen valiendo con este método. Los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Repaso: la definición clásica y su condición#

Según la definición clásica, o laplaciana, la probabilidad de un evento es el número de resultados favorables dividido entre el número total de resultados posibles. Por ejemplo, si en una bolsa hay 5 bolinchas rojas y 3 azules, todas del mismo tamaño, y se saca una sin ver, la probabilidad de que sea roja es 5/8 = 0,625.

Esa fórmula tiene una condición que a veces se olvida: todos los resultados tienen que ser igualmente probables, y hay que poder contarlos. Con la bolsa se cumple, porque cada bolincha tiene la misma oportunidad de salir. Pero muchas situaciones no cumplen esa condición.

Cuándo no sirve la definición clásica#

El programa del MEP pide identificar los eventos cuya probabilidad no se puede calcular con el concepto clásico. Hay dos casos principales:

• Los resultados no son igualmente probables. Una tapa de botella lanzada al aire puede caer boca arriba, boca abajo o de lado. Son tres resultados, pero sería absurdo decir que cada uno tiene probabilidad 1/3: caer de lado es mucho más raro. Lo mismo pasa con una chinche, que puede caer con la punta hacia arriba o de lado, o con un dado cargado.
• El espacio muestral es infinito o no se conoce con detalle. El tiempo que se espera un bus puede ser 4 minutos, 4,5 o 4,57: entre dos tiempos cualesquiera siempre hay otro, así que no se pueden contar los resultados. Algo parecido ocurre con la masa de un paquete de arroz, la duración de un bombillo o la cantidad de aceite de una botella.

También hay preguntas sobre personas o sobre la naturaleza que no se pueden reducir a «casos igualmente probables»: la probabilidad de que un estudiante llegue tarde, de que llueva en el recreo o de que una semilla germine. En todos estos casos, la única forma de estimar la probabilidad es observar lo que ocurre muchas veces.

La probabilidad frecuencial#

Ejemplo. Un grupo lanzó 200 veces una tapa de botella. Cayó boca arriba 74 veces, boca abajo 118 veces y de lado 8 veces. Estima la probabilidad de cada resultado.

Solución. Se divide cada conteo entre 200: boca arriba, 74 ÷ 200 = 0,37; boca abajo, 118 ÷ 200 = 0,59; de lado, 8 ÷ 200 = 0,04. Las tres frecuencias relativas suman 0,37 + 0,59 + 0,04 = 1. Con esta tapa, caer boca abajo parece más probable que caer boca arriba, y caer de lado es raro, nada parecido a 1/3.

Otro grupo que lance la misma tapa obtendrá números parecidos, pero no iguales, porque cada serie de lanzamientos es distinta. Por eso la probabilidad frecuencial es una estimación: conviene hacer muchas observaciones, en las mismas condiciones, y decir cuántas se hicieron. Si los datos vienen de personas u objetos de una población, deben provenir de una muestra aleatoria; de lo contrario, la frecuencia puede tener sesgo.

Ejemplo. En el vivero del colegio se sembraron 250 semillas de chile dulce y germinaron 205. ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una semilla de ese lote germine? Si se siembran 60 semillas más del mismo lote, ¿cuántas se espera que germinen?

Solución. La frecuencia relativa es 205 ÷ 250 = 0,82, así que P(germina) ≈ 0,82, es decir, cerca del 82 %. Para 60 semillas se espera que germinen alrededor de 0,82 · 60 = 49,2, es decir, unas 49. No es una garantía: pueden germinar 46 o 52, pero lo esperable es un número cercano a 49.

Espacios muestrales infinitos: tiempos y medidas#

Con mediciones, los resultados se agrupan en clases y se calcula la frecuencia relativa de cada una. Una estudiante anotó, durante 80 días de clases, cuántos minutos esperó el bus de la mañana:

Tiempo de espera (min)	Días	Frecuencia relativa
De 0 a menos de 5	26	0,325
De 5 a menos de 10	32	0,400
De 10 a menos de 15	15	0,1875
De 15 a menos de 20	7	0,0875
Total	80	1

Ejemplo. Con esos datos, estima la probabilidad de que mañana la estudiante espere el bus 10 minutos o más.

Solución. Esperó 10 minutos o más en los días de las dos últimas clases: 15 + 7 = 22 días. La frecuencia relativa es 22 ÷ 80 = 0,275, así que P(esperar 10 min o más) ≈ 0,275. El complemento, esperar menos de 10 minutos, tiene frecuencia relativa (26 + 32) ÷ 80 = 58 ÷ 80 = 0,725, que es igual a 1 − 0,275.

El programa propone una situación parecida: una persona duda de que las botellas de aceite traigan realmente 1000 ml. No hay forma de contar casos igualmente probables, pero sí de medir. Si se miden 150 botellas tomadas al azar y 6 traen menos de 1000 ml, la probabilidad frecuencial de que una botella traiga menos de lo que dice la etiqueta es 6 ÷ 150 = 0,04.

Las propiedades de la probabilidad también valen aquí#

Una frecuencia relativa es la fracción de las observaciones en que ocurrió el evento. No puede ser negativa, porque nada ocurre «menos de cero» veces, ni pasar de 1, porque nada ocurre más veces de las que se observó. Por eso, con la tapa de los 200 lanzamientos, valen las propiedades que ya conoces:

• 0 ≤ f_r(A) ≤ 1 para cualquier evento A.
• El evento seguro «la tapa cae boca arriba, boca abajo o de lado» se cumplió en los 200 lanzamientos: su frecuencia relativa es 200 ÷ 200 = 1.
• El evento imposible «la tapa se queda flotando en el aire» no se cumplió nunca: su frecuencia relativa es 0 ÷ 200 = 0.
• Un evento que puede ocurrir o no, un evento probable, tiene una frecuencia relativa entre 0 y 1, como el 0,37 de «boca arriba».
• Las frecuencias relativas de todos los resultados posibles suman 1, y la del complemento de A es 1 − f_r(A).

Hay una diferencia importante con la definición clásica: una frecuencia relativa de 0 no prueba que un evento sea imposible, y una de 1 no prueba que sea seguro. Solo dice lo que pasó en esas observaciones. En décimo año estas propiedades se amplían con las reglas de la unión y del complemento, en la lección de reglas básicas de probabilidad.

Ejemplo. En los primeros 20 lanzamientos de la tapa, nunca cayó de lado. ¿Se podía concluir que caer de lado es imposible?

Solución. No. En esos 20 lanzamientos, la frecuencia relativa de «de lado» fue 0 ÷ 20 = 0, pero al completar los 200 lanzamientos cayó de lado 8 veces. Con pocas observaciones, un evento poco probable puede no aparecer. Por eso conviene hacer muchas observaciones antes de sacar conclusiones.

Probabilidades frecuenciales en un cuadro de doble entrada#

Un grupo de estudiantes anotó durante 120 días si llovió en la mañana y si el bus llegó tarde al colegio:

Mañana	Bus tarde	Bus a tiempo	Total
Con lluvia	18	22	40
Sin lluvia	12	68	80
Total	30	90	120

Ejemplo. Estima la probabilidad de que el bus llegue tarde en un día cualquiera, en un día con lluvia y en un día sin lluvia. ¿Cuántas veces más frecuente fue la llegada tardía en los días con lluvia?

Solución. En un día cualquiera: 30 ÷ 120 = 0,25. Entre los 40 días con lluvia, el bus llegó tarde 18 veces: 18 ÷ 40 = 0,45. Entre los 80 días sin lluvia, 12 veces: 12 ÷ 80 = 0,15. Como 0,45 ÷ 0,15 = 3, en estos datos la llegada tardía fue tres veces más frecuente en los días con lluvia. Fíjate en que cada frecuencia se calcula sobre el total del grupo correspondiente: 120, 40 u 80 días.

Estas estimaciones son útiles para decidir, por ejemplo, salir más temprano los días de lluvia. Pero son aproximaciones basadas en 120 días: con más días de registro, la estimación sería más confiable.

Ponte a prueba#

¿Por qué no se puede afirmar que la probabilidad de que una chinche caiga con la punta hacia arriba es 1/2?#

¿Cuál es la probabilidad frecuencial de sacar 6 con un dado sospechoso que dio 100 seises en 400 lanzamientos, y cómo se compara con la de un dado equilibrado?#

¿Cuál es la probabilidad frecuencial de que una mata de café tenga roya si en una finca se revisaron 500 matas escogidas al azar y 35 la tenían?#

¿Puede una frecuencia relativa valer 1,2?#

¿Es imposible que llueva durante el recreo si en 30 días observados nunca llovió a esa hora?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)