Aproximaciones decimales y notaciones de los números irracionales

Un número irracional tiene infinitas cifras decimales que no se repiten en bloque, así que nunca se puede escribir completo con cifras. Sin embargo, para medir, construir o comprar hace falta un valor concreto. Por eso se usan aproximaciones decimales: números con pocas cifras que quedan muy cerca del valor exacto.

En esta lección vas a aproximar irracionales sin calculadora y con ella, a medir qué tan buena es una aproximación y a reconocer un mismo número irracional escrito de distintas formas: con cifras decimales, con radicales o con símbolos especiales como π y e.

Aproximar una raíz sin calculadora: encerrarla entre dos decimales#

Para aproximar √2 se buscan dos números cuyos cuadrados queden justo por debajo y justo por encima de 2. En cada paso se agrega una cifra decimal:

Paso	Cuadrados que encierran al 2	Conclusión
Unidades	1² = 1 < 2 < 4 = 2²	1 < √2 < 2
Décimas	1,4² = 1,96 < 2 < 2,25 = 1,5²	1,4 < √2 < 1,5
Centésimas	1,41² = 1,9881 < 2 < 2,0164 = 1,42²	1,41 < √2 < 1,42
Milésimas	1,414² = 1,999396 < 2 < 2,002225 = 1,415²	1,414 < √2 < 1,415

Así se obtienen aproximaciones por defecto (1; 1,4; 1,41; 1,414) y por exceso (2; 1,5; 1,42; 1,415) que se acercan cada vez más a √2. El método es lento, pero funciona con cualquier raíz cuadrada y muestra que las cifras se pueden seguir calculando tanto como se quiera.

Ejemplo. Encierra √30 entre dos decimales con una cifra después de la coma.

Solución. Primero se buscan los cuadrados enteros: 5² = 25 < 30 < 36 = 6², así que √30 está entre 5 y 6. Luego se prueba con décimas: 5,4² = 29,16 < 30 y 5,5² = 30,25 > 30. Por lo tanto, 5,4 < √30 < 5,5. Como 30 queda más cerca de 30,25 que de 29,16, se espera que √30 esté más cerca de 5,5; la calculadora lo confirma: √30 = 5,4772…

Redondear y truncar#

Cuando ya se conocen varias cifras, hay dos maneras de quedarse con menos:

• Truncar es cortar el número en la cifra deseada y descartar todas las siguientes. Por ejemplo, π = 3,14159… truncado a las milésimas es 3,141.
• Redondear es mirar la primera cifra que se va a descartar: si es 0, 1, 2, 3 o 4, la última cifra que se conserva queda igual; si es 5, 6, 7, 8 o 9, aumenta en 1. Así, π redondeado a las milésimas es 3,142, porque la cifra siguiente es un 5. Puedes repasar el procedimiento en la lección de redondeo de decimales.

Número	Primeras cifras	Redondeo a las décimas	A las centésimas	A las milésimas
√2	1,414213…	1,4	1,41	1,414
√3	1,732050…	1,7	1,73	1,732
√5	2,236067…	2,2	2,24	2,236
π	3,141592…	3,1	3,14	3,142
e	2,718281…	2,7	2,72	2,718

En los números positivos, truncar siempre da una aproximación por defecto; redondear puede dar una por defecto o por exceso, y nunca queda más lejos del valor exacto que el truncamiento. Por ejemplo, para e = 2,71828…, el truncamiento a las centésimas es 2,71 y el redondeo es 2,72: la primera se aleja unas 0,008 del valor exacto y la segunda, menos de 0,002.

Qué tan buena es una aproximación#

El error de una aproximación es la distancia entre el valor exacto y el valor aproximado. Una aproximación es mejor cuanto menor es su error. Para comparar varias aproximaciones de π se calcula cuánto se aleja cada una:

Aproximación de π	Expansión decimal	Error aproximado
3	3	0,1416
3,14	3,14	0,0016
22/7	3,142857…	0,0013
3,1416	3,1416	0,0000073

La fracción 22/7 aproxima π un poco mejor que 3,14, pero mucho peor que 3,1416. Cuántas cifras conviene usar depende del problema: para medir una tela basta con pocas; para un cálculo de precisión hacen falta más.

Ejemplo. Se va a pegar una cinta decorativa alrededor del borde de una mesa redonda de 60 cm de radio. ¿Cuánta cinta hace falta?

Solución. El borde es una circunferencia de longitud 2πr = 2 · π · 60 = 120π cm. Con π ≈ 3,14 se obtiene 120 · 3,14 = 376,8 cm; con la tecla π de la calculadora se obtiene 376,99… cm. La diferencia es de unas 0,19 cm, despreciable para una cinta. Como la cinta debe alcanzar, se aproxima por exceso: con 3,80 m es suficiente y sobra un poco.

El número e con ayuda de la calculadora#

El programa del MEP propone aproximar el número e con la calculadora, evaluando (1 + 1/n)ⁿ para valores de n cada vez mayores. Estos son algunos resultados, redondeados a las diezmilésimas:

n	(1 + 1/n)n
1	2
2	2,25
5	2,4883
50	2,6916
500	2,7156
5000	2,7180

Conforme n aumenta, los resultados se acercan a e = 2,71828…, aunque cada vez más despacio. Todos los valores de la tabla son racionales; por ejemplo, para n = 2 se obtiene (3/2)² = 9/4 = 2,25. En cambio, el número al que se acercan es irracional. Esta es una forma de aproximar un irracional por medio de racionales, y la calculadora solo muestra una aproximación de cada resultado.

Notación decimal, notación radical y otras notaciones#

Un mismo número irracional se puede escribir de varias maneras, y conviene reconocerlo en todas:

• Notación decimal: se escriben algunas cifras seguidas de puntos suspensivos, como 1,7320508…, que es √3. Sin los puntos suspensivos, 1,7320508 sería un decimal finito: un racional que solo aproxima a √3.
• Notación radical: se usa el símbolo de raíz, como en √3, ∛7 o ⁵√12. Es exacta y ocupa poco espacio.
• Letras y símbolos especiales: π, e o la letra griega φ («fi»), que representa el número (1 + √5)/2 ≈ 1,618, conocido como número de oro.
• Expresiones combinadas: 2√3, 5 + √2, π/2 o 3e también son irracionales.

Escrituras equivalentes#

Dos expresiones distintas pueden representar exactamente el mismo número. Con la calculadora se comprueba que dan las mismas cifras:

Expresión	Expresión equivalente	Valor aproximado
√8	2√2	2,8284…
1/√2	√2/2	0,7071…
√75	5√3	8,6602…
(1 + √5)/2	φ	1,6180…

Al escribir resultados, el signo = se reserva para igualdades exactas, como √8 = 2√2, y el signo ≈ para las aproximaciones, como √8 ≈ 2,83. Escribir √8 = 2,83 es un error, porque 2,83 es un número racional y √8 no lo es.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la aproximación de √7 a las centésimas?#

¿Por qué no es correcto escribir π = 3,14?#

¿Entre qué decimales con una cifra después de la coma está √11?#

¿Cuánto vale (1 + 1/4)⁴ y qué número irracional aproxima?#

¿Qué aproximación de √3 es mejor, 1,73 o 1,74?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)