Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

Q: ¿Cuál es el resultado de multiplicar (y + 2)/(3y) por 6y²/(y² − 4)?

Se factoriza y2 − 4 = (y − 2)(y + 2). Las restricciones son y ≠ 0, y ≠ 2 y y ≠ −2. El producto queda (y + 2) · 6y2/[3y(y − 2)(y + 2)]. Se cancela (y + 2), y de 6y2 entre 3y queda 2y. El resultado es 2y/(y − 2), con esas tres restricciones.

Q: ¿Cuál es el cociente de (m² − 1)/(m + 3) entre (m − 1)/(m² + 3m)?

Se multiplica por la recíproca del divisor: (m2 − 1)/(m + 3) · (m2 + 3m)/(m − 1). Al factorizar queda (m − 1)(m + 1)/(m + 3) · m(m + 3)/(m − 1). Se cancelan (m − 1) y (m + 3), y el resultado es m(m + 1) = m2 + m. Las restricciones son m ≠ −3 y m ≠ 0, por los denominadores, y m ≠ 1, porque el numerador del divisor no puede ser cero.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 18 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Si sabes operar con fracciones numéricas, ya tienes casi todo lo que hace falta para operar con expresiones algebraicas fraccionarias, como (x + 2)/(x − 5) o 3/(a² − b²). El programa del MEP de noveno año propone justamente eso: usar la aritmética como guía. Así como 12/18 se simplifica a 2/3 dividiendo entre 6, una expresión algebraica se simplifica dividiendo entre un factor común del numerador y del denominador.

En esta lección vas a repasar la simplificación y a efectuar las cuatro operaciones (multiplicación, división, suma y resta) con dos expresiones fraccionarias. La herramienta clave es la factorización, y hay un cuidado que no se puede olvidar: anotar los valores que anulan algún denominador, porque en ellos la expresión pierde sentido.

Definición

Una expresión algebraica fraccionaria es un cociente P/Q de dos polinomios en el que el denominador Q no es el polinomio cero. Solo tiene sentido para los valores de las variables que no anulan el denominador; esos valores prohibidos se llaman restricciones. Por ejemplo, (x + 1)/(x − 4) está definida para todo número real excepto x = 4.

Restricciones y simplificación: el punto de partida#

Antes de operar conviene tener a mano dos ideas. La primera: las restricciones se buscan en la expresión original, igualando a cero cada denominador. La segunda: para simplificar, se escriben arriba y abajo como productos (factorizando) y se eliminan los factores que se repiten en los dos, nunca los términos sueltos de una suma.

Ejemplo. Simplifica (x² − 3x − 10)/(x² − 4x − 5) e indica sus restricciones.

Solución. Se factoriza por inspección. Arriba se buscan dos números que sumen −3 y multipliquen −10: son −5 y 2, así que x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2). Abajo, dos números que sumen −4 y multipliquen −5: son −5 y 1, así que x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1). El denominador se anula en x = 5 y en x = −1: esas son las restricciones. Al cancelar el factor común (x − 5) queda (x + 2)/(x + 1), con x ≠ 5 y x ≠ −1. Una prueba con x = 0: la expresión original da −10/−5 = 2, y la simplificada, 2/1 = 2.

Observa que la restricción x ≠ 5 se conserva aunque el factor (x − 5) haya desaparecido: la expresión original no está definida en x = 5, y simplificar no cambia eso.

Un error frecuente#

En (x + 6)/6 no se puede «tachar» el 6, porque en el numerador el 6 es un sumando, no un factor. Con x = 3 se ve claro: (3 + 6)/6 = 9/6 = 1,5, que no es 3. Lo correcto es dejarla así o escribirla como x/6 + 1.

Multiplicación de expresiones fraccionarias#

Se multiplica igual que con fracciones numéricas: numerador por numerador y denominador por denominador. Para no trabajar con polinomios enormes, primero se factoriza todo, después se cancelan los factores comunes y al final se multiplica lo que queda.

Fórmula

(A/B) · (C/D) = (A · C)/(B · D)

Con B ≠ 0 y D ≠ 0. A, B, C y D son polinomios.

Ejemplo. Calcula (4x²y)/(9y³) · (15y)/(8x).

Solución. Las restricciones son x ≠ 0 y y ≠ 0. Se multiplican los numeradores, 4x²y · 15y = 60x²y², y los denominadores, 9y³ · 8x = 72xy³. Al simplificar 60x²y²/(72xy³), el máximo divisor común de 60 y 72 es 12, de x² y x queda x arriba, y de y² y y³ queda y abajo. El resultado es 5x/(6y).

Ejemplo. Calcula (x² + 2x)/(x² − 9) · (x − 3)/(x² + 4x + 4).

Solución. Se factoriza cada parte: x² + 2x = x(x + 2); x² − 9 = (x − 3)(x + 3), por diferencia de cuadrados; x² + 4x + 4 = (x + 2)², un trinomio cuadrado perfecto. Los denominadores se anulan en x = 3, x = −3 y x = −2. El producto queda x(x + 2)(x − 3)/[(x − 3)(x + 3)(x + 2)²]. Se cancelan (x − 3) y uno de los (x + 2), y el resultado es x/[(x + 3)(x + 2)], con x ≠ 3, x ≠ −3 y x ≠ −2.

División de expresiones fraccionarias#

Dividir entre una fracción es multiplicar por su recíproca, como en la división de fracciones. En álgebra aparece una restricción más: el numerador de la fracción divisora tampoco puede valer cero, porque al invertirla pasa a ser denominador.

Fórmula

(A/B) ÷ (C/D) = (A/B) · (D/C) = (A · D)/(B · C)

Con B ≠ 0, D ≠ 0 y también C ≠ 0.

Ejemplo. Calcula (x² − 6x + 9)/(x² − 49) ÷ (5x − 15)/(x + 7).

Solución. Primero las restricciones: x² − 49 = (x − 7)(x + 7) se anula en 7 y en −7; x + 7 se anula en −7; y el numerador del divisor, 5x − 15 = 5(x − 3), se anula en 3. Se cambia la división por una multiplicación: (x − 3)²/[(x − 7)(x + 7)] · (x + 7)/[5(x − 3)]. Se cancelan (x + 7) y un factor (x − 3), y queda (x − 3)/[5(x − 7)], con x ≠ 7, x ≠ −7 y x ≠ 3. Con x = 0, la expresión original da (9/−49) ÷ (−15/7) = 3/35, y el resultado, −3/(−35) = 3/35.

Suma y resta: con el mismo denominador y con denominadores distintos#

Si los denominadores son iguales, se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador. En una resta, el numerador que se resta va entre paréntesis, porque el signo menos afecta a todos sus términos.

Ejemplo. Calcula (3x + 1)/(x − 2) − (x + 5)/(x − 2).

Solución. Con x ≠ 2, se restan los numeradores: (3x + 1) − (x + 5) = 3x + 1 − x − 5 = 2x − 4. Queda (2x − 4)/(x − 2) = 2(x − 2)/(x − 2) = 2. El resultado es 2 para todo x ≠ 2. Si se olvidara el paréntesis, saldría 3x + 1 − x + 5 = 2x + 6, que es incorrecto.

Si los denominadores son distintos, se busca un denominador común, como en la suma de fracciones. En aritmética, para 1/6 + 3/10 se descomponen 6 = 2 · 3 y 10 = 2 · 5, y el mínimo común múltiplo es 2 · 3 · 5 = 30: 1/6 + 3/10 = 5/30 + 9/30 = 14/30 = 7/15. En álgebra se hace lo mismo con los denominadores factorizados: el denominador común lleva cada factor distinto una vez, con su mayor exponente.

Ejemplo. Calcula 2/(x − 3) − 12/(x² − 9).

Solución. Como x² − 9 = (x − 3)(x + 3), el denominador común es (x − 3)(x + 3), y las restricciones son x ≠ 3 y x ≠ −3. La primera fracción se amplifica por (x + 3): 2(x + 3)/[(x − 3)(x + 3)]. Ahora se restan los numeradores: 2(x + 3) − 12 = 2x + 6 − 12 = 2x − 6 = 2(x − 3). Queda 2(x − 3)/[(x − 3)(x + 3)], que se simplifica a 2/(x + 3). Siempre conviene revisar al final si el resultado se puede simplificar.

Ejemplo. Calcula a/(a − b) + b/(b − a).

Solución. Los denominadores parecen distintos, pero b − a = −(a − b). Por eso b/(b − a) = −b/(a − b), y la suma queda a/(a − b) − b/(a − b) = (a − b)/(a − b) = 1, con la restricción a ≠ b. Reconocer que un factor es el opuesto de otro ahorra mucho trabajo.

Una aplicación: el tiempo de un viaje de ida y vuelta#

Las expresiones fraccionarias aparecen cuando se divide entre una cantidad desconocida, por ejemplo, al calcular el tiempo como distancia entre velocidad. Los datos de este problema son inventados.

Ejemplo. Andrea va en bicicleta a la casa de su abuela, a 12 km, a una velocidad constante de v km/h, y regresa por el mismo camino a una velocidad 2 km/h mayor. Escribe el tiempo total del viaje como una sola expresión y calcúlalo para v = 10.

Solución. La ida dura 12/v horas y la vuelta, 12/(v + 2) horas. El denominador común es v(v + 2): T = [12(v + 2) + 12v]/[v(v + 2)] = (24v + 24)/[v(v + 2)] = 24(v + 1)/[v(v + 2)]. Las restricciones algebraicas son v ≠ 0 y v ≠ −2, pero en este problema la velocidad es positiva, así que ninguna molesta. Con v = 10: T = 24 · 11/(10 · 12) = 264/120 = 2,2 horas, es decir, 2 horas y 12 minutos. Se comprueba por separado: la ida dura 12/10 = 1,2 h y la vuelta, 12/12 = 1 h.

Resumen del procedimiento#

Factoriza todos los numeradores y denominadores (factor común, fórmulas notables, inspección o agrupación).
Anota las restricciones: los valores que anulan algún denominador y, en una división, también el numerador del divisor.
Opera: en la multiplicación y la división, cancela factores antes de multiplicar; en la suma y la resta, busca el denominador común y amplifica cada fracción.
Simplifica el resultado y escríbelo junto con sus restricciones.
Si quieres comprobar, evalúa la expresión original y el resultado en un mismo valor permitido: deben dar lo mismo.

Tres errores que conviene evitar: cancelar términos que no son factores, olvidar el paréntesis al restar un numerador y creer que 1/a + 1/b es igual a 1/(a + b). Con a = 2 y b = 2 se ve que no: 1/2 + 1/2 = 1, mientras que 1/(2 + 2) = 1/4.

Ponte a prueba#

¿Cómo se simplifica (3x² − 12)/(x² + x − 6) y cuáles son sus restricciones?#

Se factoriza arriba y abajo. En el numerador, primero el factor común y luego la diferencia de cuadrados: 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2). En el denominador, por inspección: x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2). El denominador se anula en x = −3 y en x = 2, que son las restricciones. Al cancelar (x − 2) queda 3(x + 2)/(x + 3), con x ≠ 2 y x ≠ −3.

¿Cuál es el resultado de multiplicar (y + 2)/(3y) por 6y²/(y² − 4)?#

Se factoriza y² − 4 = (y − 2)(y + 2). Las restricciones son y ≠ 0, y ≠ 2 y y ≠ −2. El producto queda (y + 2) · 6y²/[3y(y − 2)(y + 2)]. Se cancela (y + 2), y de 6y² entre 3y queda 2y. El resultado es 2y/(y − 2), con esas tres restricciones.

¿Cuánto da 1/x + 1/(x + 1)?#

El denominador común es x(x + 1), con las restricciones x ≠ 0 y x ≠ −1. Se amplifica cada fracción: (x + 1)/[x(x + 1)] + x/[x(x + 1)] = (2x + 1)/[x(x + 1)]. No se puede simplificar más. Una prueba con x = 1: 1/1 + 1/2 = 3/2, y la expresión final da 3/(1 · 2) = 3/2. Ojo: el resultado no es 2/(2x + 1).

¿Cuál es el cociente de (m² − 1)/(m + 3) entre (m − 1)/(m² + 3m)?#

Se multiplica por la recíproca del divisor: (m² − 1)/(m + 3) · (m² + 3m)/(m − 1). Al factorizar queda (m − 1)(m + 1)/(m + 3) · m(m + 3)/(m − 1). Se cancelan (m − 1) y (m + 3), y el resultado es m(m + 1) = m² + m. Las restricciones son m ≠ −3 y m ≠ 0, por los denominadores, y m ≠ 1, porque el numerador del divisor no puede ser cero.

¿Por qué (x + 4)/4 no se simplifica a x?#

Porque solo se cancelan factores comunes, y en el numerador x + 4 el 4 es un sumando, no un factor de toda la expresión. Basta probar con un número: si x = 2, entonces (2 + 4)/4 = 6/4 = 1,5, que no es 2. Lo que sí se puede hacer es repartir el denominador: (x + 4)/4 = x/4 + 4/4 = x/4 + 1.