Números reales: comparar, ordenar y ubicar en la recta numérica

Q: ¿Cuál es mayor, 2√7 o 3√3?

Es mayor 2√7. Para compararlos se mete cada coeficiente dentro de la raíz, elevado al cuadrado: 2√7 = √(4 · 7) = √28 y 3√3 = √(9 · 3) = √27. Como 28 > 27 y los dos números son positivos, 2√7 > 3√3. Con la calculadora se confirma: 2√7 ≈ 5,292 y 3√3 ≈ 5,196.

Q: ¿Entre qué enteros consecutivos se ubica −√20 en la recta numérica?

Entre −5 y −4. Como 4² = 16 < 20 < 25 = 5², se cumple 4 < √20 < 5, y al cambiar de signo, −5 < −√20 < −4. Con más precisión, √20 ≈ 4,47, así que −√20 ≈ −4,47: está un poco más cerca de −4 (a 0,47) que de −5 (a 0,53). Se marca casi a la mitad del segmento, apenas del lado de −4.

Q: ¿Es un número real la raíz quinta de −243?

Sí, y además es racional: vale −3, porque (−3)⁵ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = −243. Las raíces de índice impar de números negativos siempre son reales, porque una potencia impar conserva el signo de la base. Solo las raíces de índice par (cuadrada, cuarta, sexta…) de números negativos dejan de ser números reales.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 3 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

Los números reales reúnen a los racionales y a los irracionales. Con ellos se puede medir cualquier longitud, y cada uno ocupa un lugar en la recta numérica. Pero decidir si √11 es mayor o menor que 3,3, o dónde queda π entre 3 y 4, no es tan inmediato como comparar dos fracciones: hay que saber pasar de una representación a otra.

En esta lección vas a reconocer qué números son reales y cuáles no, a comparar y ordenar irracionales escritos con radicales o con decimales, y a ubicarlos en la recta numérica con una aproximación adecuada.

Definición

Los números reales (ℝ) son todos los números racionales junto con todos los irracionales. Están ordenados: dados dos reales distintos, siempre uno es menor que el otro. En la recta numérica, a < b significa que a está a la izquierda de b, y a cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real.

Números reales y números que no son reales#

Un número real puede venir escrito de muchas formas: como fracción (−5/8), como decimal (0,212121…), con un radical (∛(−20)), con una letra (π) o como una combinación (1 − √6). Para decidir si es real y de qué tipo, primero se simplifica.

Expresión	¿Es un número real?	Tipo o motivo
−5/8	Sí	Racional
0,212121…	Sí	Racional: es periódico y equivale a 7/33
√(81/49)	Sí	Racional: es 9/7
∛(−20)	Sí	Irracional, ≈ −2,714
1 − √6	Sí	Irracional, ≈ −1,449
√(−36)	No	Ningún real al cuadrado da −36
⁴√(−16)	No	Ningún real a la cuarta da −16

Las raíces de índice par de números negativos no son números reales, porque cualquier número real elevado a una potencia par da un resultado mayor o igual que 0. En cambio, las raíces de índice impar de números negativos sí son reales: ∛(−27) = −3, porque (−3)³ = −27. Si se intenta calcular √(−36) en una calculadora que trabaja solo con números reales, aparece un mensaje de error.

Dos errores frecuentes#

Escribir √(−36) = −6. Es incorrecto: (−6)² = 36, no −36; el signo menos no «sale» de una raíz cuadrada. Distinto es −√36, que sí es real: primero se calcula √36 = 6 y después se cambia el signo, −√36 = −6.
Creer que un decimal «desordenado» en la pantalla es irracional. Al dividir 7 entre 19, la calculadora muestra algo como 0,3684210526, pero 7/19 es una fracción y, por lo tanto, racional: su bloque periódico tiene 18 cifras y no cabe en la pantalla. Para clasificar un número hay que fijarse en cómo se obtuvo.

Comparar números irracionales#

Para comparar números con radicales sin calcularlos sirve una propiedad: si a y b son positivos, a < b ocurre exactamente cuando a² < b². Con ella y con las aproximaciones decimales se arman varias estrategias:

Raíces del mismo índice: se comparan los radicandos. √13 < √17, porque 13 < 17, y ∛40 > ∛30, porque 40 > 30.
Un entero y una raíz: se escribe el entero como raíz. Como 5 = √25, se cumple √24 < 5 < √26.
Raíces con coeficiente: se mete el coeficiente dentro de la raíz, elevado al cuadrado. Como 3√2 = √(9 · 2) = √18 y 2√5 = √(4 · 5) = √20, resulta que 3√2 < 2√5.
Decimales: se comparan las aproximaciones cifra por cifra, con las suficientes cifras para que aparezca una diferencia. π = 3,1415… y √10 = 3,1622… coinciden en las unidades y en las décimas; en las centésimas, 4 < 6, así que π < √10.

Ejemplo. ¿Qué número es mayor, 4√3 o 7?

Solución. Se escriben los dos como raíces cuadradas: 4√3 = √(16 · 3) = √48 y 7 = √49. Como 48 < 49, se cumple 4√3 < 7. Con la calculadora se confirma: 4√3 ≈ 6,928, apenas menor que 7.

Ejemplo. Compara −√5 y −2,3.

Solución. Primero se comparan los números sin el signo: como 2,3² = 5,29 es mayor que 5, se tiene √5 < 2,3 (de hecho, √5 = 2,236…). Al cambiar ambos de signo, la desigualdad se invierte: −√5 > −2,3. En la recta, −√5 queda a la derecha de −2,3, más cerca del 0.

Ordenar números reales#

Para ordenar varios números escritos de formas distintas, lo más práctico es expresarlos todos como decimales con la misma cantidad de cifras y aumentar esa cantidad hasta que no haya dos iguales.

Ejemplo. Ordena de menor a mayor: √7, 8/3, e, 2,6 y 2,65.

Solución. Con tres cifras decimales: √7 = 2,645…; 8/3 = 2,666…; e = 2,718…; 2,6 = 2,600 y 2,65 = 2,650. Ahora se comparan: 2,600 < 2,645 < 2,650 < 2,666 < 2,718. El orden es 2,6 < √7 < 2,65 < 8/3 < e. Con una sola cifra decimal no se habría podido decidir, porque √7, 2,65 y 8/3 empiezan los tres con 2,6.

Ejemplo. ¿Qué número es mayor, √2 + √3 o √10?

Solución. Con decimales: √2 + √3 ≈ 1,414 + 1,732 = 3,146 y √10 ≈ 3,162, así que √10 es mayor. También se puede comparar sin calculadora, elevando al cuadrado: (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6, y como √6 < 2,5, resulta 5 + 2√6 < 5 + 5 = 10 = (√10)². Las dos vías llevan a √2 + √3 < √10, y muestran además que la raíz de una suma no es la suma de las raíces.

Ubicar números reales en la recta numérica#

Para ubicar un irracional en la recta se usa una aproximación apropiada: primero se encierra entre dos enteros, luego entre dos décimas, y se marca el punto en el lugar estimado. Por ejemplo, √3 ≈ 1,73 queda entre 1 y 2, un poco antes de las tres cuartas partes del camino; −√2 ≈ −1,41 queda entre −2 y −1, más cerca de −1; y π ≈ 3,14 queda apenas a la derecha del 3.

Para ubicar √19, se encierra entre enteros: 4² = 16 < 19 < 25 = 5², así que 4 < √19 < 5.
Se aproxima a las décimas: 4,3² = 18,49 < 19 < 19,36 = 4,4², así que 4,3 < √19 < 4,4.
Se divide el segmento de 4 a 5 en diez partes iguales y se marca el punto entre la tercera y la cuarta marca, algo más cerca de la cuarta, porque √19 = 4,358…

Una ubicación exacta con regla y compás#

Algunas raíces se pueden ubicar sin aproximar. Se dibuja un cuadrado de lado 1 apoyado sobre la recta, con un lado entre 0 y 1. Su diagonal mide √2. Con el compás apoyado en 0 y abierto hasta el vértice opuesto, se traza un arco que corta la recta exactamente en √2. Con un rectángulo de 2 por 1 se obtiene, de la misma manera, √5, porque su diagonal mide √(2² + 1²) = √5.

Ejemplo. Un punto P de la recta está entre 6 y 7, mucho más cerca de 7 que de 6. ¿Cuál de estos números puede ser P: √38, √41, √47 o √52?

Solución. Se aproxima cada raíz: √38 ≈ 6,16 y √41 ≈ 6,40 están entre 6 y 7, pero más cerca de 6; √52 ≈ 7,21 ni siquiera está entre 6 y 7. El único que cumple es √47 ≈ 6,86, muy cerca de 7. Sin calculadora se llega a lo mismo: 47 está más cerca de 49 = 7² que de 36 = 6².

Ejemplo. Si a = −√2, ¿dónde se ubican en la recta |a| y a + 3?

Solución. Como a ≈ −1,41, su valor absoluto es |a| = √2 ≈ 1,41, que queda entre 1 y 2, un poco antes de la mitad. Por otro lado, a + 3 = 3 − √2 ≈ 1,59, que también queda entre 1 y 2, pero un poco después de la mitad, a la derecha de |a|.

Ponte a prueba#

¿Cuál es mayor, 2√7 o 3√3?#

Es mayor 2√7. Para compararlos se mete cada coeficiente dentro de la raíz, elevado al cuadrado: 2√7 = √(4 · 7) = √28 y 3√3 = √(9 · 3) = √27. Como 28 > 27 y los dos números son positivos, 2√7 > 3√3. Con la calculadora se confirma: 2√7 ≈ 5,292 y 3√3 ≈ 5,196.

¿Es √(−49) un número real?#

No. Para que √(−49) fuera real, tendría que existir un número real que elevado al cuadrado diera −49, pero el cuadrado de cualquier real es mayor o igual que 0: 7² = 49 y (−7)² = 49. Tampoco es correcto decir que vale −7. En cambio, −√49 sí es real: primero se calcula √49 = 7 y luego se cambia el signo, −√49 = −7.

¿Cómo se ordenan de menor a mayor −√3, −1,7 y −7/4?#

Se pasan a decimales: −√3 = −1,732…, −1,7 = −1,700 y −7/4 = −1,750. Entre negativos, es menor el que está más lejos del 0, es decir, el de mayor valor absoluto. Como 1,750 > 1,732 > 1,700, el orden de menor a mayor es −7/4 < −√3 < −1,7. En la recta, −7/4 es el que queda más a la izquierda.

¿Entre qué enteros consecutivos se ubica −√20 en la recta numérica?#

Entre −5 y −4. Como 4² = 16 < 20 < 25 = 5², se cumple 4 < √20 < 5, y al cambiar de signo, −5 < −√20 < −4. Con más precisión, √20 ≈ 4,47, así que −√20 ≈ −4,47: está un poco más cerca de −4 (a 0,47) que de −5 (a 0,53). Se marca casi a la mitad del segmento, apenas del lado de −4.

¿Es un número real la raíz quinta de −243?#

Sí, y además es racional: vale −3, porque (−3)⁵ = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = −243. Las raíces de índice impar de números negativos siempre son reales, porque una potencia impar conserva el signo de la base. Solo las raíces de índice par (cuadrada, cuarta, sexta…) de números negativos dejan de ser números reales.