Números irracionales: qué son y cómo reconocerlos

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 1 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

En octavo año trabajaste con los números racionales, los que se pueden escribir como fracción. Su expansión decimal siempre termina, como 7/8 = 0,875, o se vuelve periódica, como 4/11 = 0,363636… Pero existen números que no cumplen ninguna de las dos cosas: sus cifras decimales siguen sin fin y ningún bloque se repite para siempre. Son los números irracionales, y aparecen en situaciones tan sencillas como medir la diagonal de un cuadrado o la vuelta completa de un círculo.

En esta lección vas a ver por qué hacen falta estos números, cómo se reconocen por su expansión decimal, en qué contextos aparecen y cómo, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.

Definición

Un número irracional es un número que no se puede escribir como una fracción a/b, con a y b enteros y b ≠ 0. Su expansión decimal es infinita y no periódica: tiene infinitas cifras después de la coma y no hay ningún lugar a partir del cual un mismo bloque de cifras se repita sin fin. El conjunto de los números irracionales se denota con 𝕀; por ejemplo, √2 ∈ 𝕀 y π ∈ 𝕀.

Un cuadrado que ninguna fracción puede medir#

Imagina dos baldosas cuadradas de 1 m de lado. Si cada una se corta por una diagonal, quedan cuatro triángulos iguales, y cada triángulo tiene la mitad del área de una baldosa: 0,5 m². Con esos cuatro triángulos se arma un cuadrado más grande, juntando sus ángulos rectos en el centro. Su área es 4 · 0,5 = 2 m², y su lado, que llamaremos x, es justamente la diagonal de una baldosa.

Como el área de un cuadrado es lado por lado, el lado cumple x · x = x² = 2. ¿Qué número es x? No es un entero: 1² = 1 se queda corto y 2² = 4 se pasa. Tampoco sirve ninguna fracción, aunque algunas se acercan mucho: (7/5)² = 49/25 = 1,96 y (17/12)² = 289/144 ≈ 2,0069. Ese número se escribe √2 («raíz cuadrada de dos») y es irracional.

¿Cómo se sabe que √2 no es una fracción?#

Se demuestra por contradicción: se supone lo contrario y se llega a algo imposible. El razonamiento sirve además para repasar ideas de divisibilidad:

Supón que √2 sí fuera una fracción irreducible a/b, es decir, con a y b sin factores comunes.
Entonces a²/b² = 2, o sea, a² = 2b². Eso dice que a² es un número par.
Si a fuera impar, a² también sería impar, porque impar por impar da impar. Así que a es par: a = 2k para algún entero k.
Al sustituir queda (2k)² = 2b², es decir, 4k² = 2b², y al dividir entre 2, b² = 2k². Con el mismo argumento, b también es par.
Pero si a y b son pares, la fracción a/b se puede simplificar entre 2, y se había supuesto que era irreducible. La suposición era falsa: √2 no es racional.

Con razonamientos parecidos se prueba un resultado general: la raíz cuadrada de un número natural que no es un cuadrado perfecto es siempre irracional. Así, √3, √5, √6 y √10 son irracionales, mientras que √9 = 3 y √100 = 10 son racionales.

La expansión decimal infinita no periódica#

Cuando una fracción se convierte en decimal, solo hay dos posibilidades: la división termina (expansión finita) o, a partir de cierta cifra, un bloque se repite sin fin (expansión periódica). Los irracionales tienen una tercera forma: infinitas cifras sin ningún bloque que se repita para siempre.

Número	Expansión decimal	Tipo de expansión	¿Es racional?
7/8	0,875	Finita	Sí
4/11	0,363636…	Periódica: se repite 36	Sí
1/7	0,142857142857…	Periódica: se repite 142857	Sí
√2	1,41421356…	Infinita no periódica	No
π	3,14159265…	Infinita no periódica	No

Tener un patrón no es lo mismo que ser periódico#

Un número se puede construir con una regla clara y aun así no ser periódico. Observa 0,12112111211112… Entre un 2 y el siguiente se escribe cada vez un 1 más: primero uno, luego dos, luego tres, y así sin fin. Hay una regla, pero no existe un bloque fijo que se repita, porque los grupos de unos son cada vez más largos. Su expansión es infinita y no periódica, así que es irracional.

Ejemplo. Clasifica los números 0,989898… (se repite 98 sin fin) y 0,989889888… (cada vez se escribe un 8 más después del 9).

Solución. El primero es periódico: el bloque 98 se repite siempre igual, así que es racional; de hecho, 0,989898… = 98/99. El segundo sigue una regla, pero los grupos de ochos crecen: 9 8, 9 88, 9 888… Ningún bloque fijo se repite indefinidamente, por lo que su expansión es infinita y no periódica, y el número es irracional.

Cuidado con la pantalla de la calculadora#

La calculadora muestra solo unas cuantas cifras, así que mirarla no basta para decidir si un número es irracional. Al dividir 4 entre 17, la pantalla muestra algo como 0,2352941176, que parece no tener orden. Sin embargo, 4/17 es una fracción y, por lo tanto, es racional: su expansión es periódica, con un bloque de 16 cifras (2352941176470588) que se repite sin fin y que no cabe en la pantalla. Lo que decide si un número es racional es su forma, no lo que alcanza a mostrar la calculadora.

Irracionales en distintos contextos#

Los irracionales no son rarezas de los libros: aparecen en geometría, en problemas de crecimiento y en cualquier raíz que no sea exacta.

La diagonal de un cuadrado. En un cuadrado de lado 1, la diagonal mide √2 ≈ 1,414. Si el lado mide 5 cm, la diagonal mide 5√2 cm ≈ 7,07 cm, que también es un número irracional.
El número π. En cualquier círculo, la longitud de la circunferencia dividida entre el diámetro da siempre el mismo número: π ≈ 3,14159. Está demostrado que π es irracional, así que 3,14 y 22/7 son solo aproximaciones.
El número e. Aparece al calcular (1 + 1/n)ⁿ con valores de n cada vez mayores: los resultados se acercan a e ≈ 2,71828, otro número irracional.
Las raíces no exactas. √3, √10, ∛5 y ⁴√7 son irracionales, porque 3 y 10 no son cuadrados perfectos, 5 no es el cubo de ningún natural y 7 no es la cuarta potencia de ningún natural.
La altura de un triángulo equilátero. Si el lado mide 2, la altura divide la base en dos partes de 1 y, por el teorema de Pitágoras, mide √(2² − 1²) = √3 ≈ 1,732.

Ejemplo. Un pañuelo cuadrado mide 30 cm de lado. ¿La longitud de su diagonal es un número racional o irracional?

Solución. La diagonal divide el pañuelo en dos triángulos rectángulos con catetos de 30 cm. Por el teorema de Pitágoras, d² = 30² + 30² = 900 + 900 = 1800, así que d = √1800 = √(900 · 2) = 30√2 ≈ 42,43 cm. Como 30 es un racional distinto de 0 y √2 es irracional, su producto es irracional: la diagonal mide un número irracional de centímetros, aunque en la práctica se use la aproximación 42,43 cm.

¿Racional o irracional? Cómo decidir#

Antes de clasificar un número conviene simplificarlo, porque una raíz o una operación puede esconder un número racional. Estos pasos ayudan:

Si es una fracción de enteros con denominador distinto de 0, o un decimal finito o periódico, es racional.
Si es una raíz, revisa si el radicando es una potencia exacta: √49 = 7 y ∛(−8) = −2 son racionales; √50 y ∛9 no son exactas, y son irracionales.
Si es una suma o un producto, aplica las reglas de la lista de abajo.
Si te dan las cifras, busca un bloque que se repita para siempre; si la regla con que se construye el número lo impide, es irracional.

Qué pasa al operar con irracionales#

Racional + irracional da irracional. Por ejemplo, 3 + √2 es irracional: si fuera racional, al restarle 3 quedaría √2 racional, y eso es falso.
Racional distinto de 0 por irracional da irracional: 4π y −√5/2 son irracionales.
Entre irracionales puede salir cualquier cosa: √2 · √2 = 2 y (5 + √3) + (5 − √3) = 10 son racionales, pero √2 + √3 ≈ 3,146 es irracional.

Número	Al simplificar	Clasificación
√64	8	Racional (también natural)
−√(9/25)	−3/5	Racional
0,272727…	27/99 = 3/11	Racional
√12	2√3	Irracional
6 − π	No se simplifica	Irracional
√2 · √18	√36 = 6	Racional (también natural)

El concepto de número real#

Si se reúnen todos los racionales y todos los irracionales se obtiene el conjunto de los números reales: ℝ = ℚ ∪ 𝕀. En el programa del MEP, los naturales incluyen el 0 (ℕ = {0, 1, 2, 3, …}), y los conjuntos se relacionan así:

Fórmula

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ · 𝕀 ⊂ ℝ · ℚ ∩ 𝕀 = ∅

Todo número real es racional o irracional, y ninguno es las dos cosas a la vez.

Los números reales son los que permiten medir cualquier longitud: a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real, racional o irracional. Por eso los racionales no alcanzan para medir la diagonal de una baldosa, pero los reales sí.

No todo lo que se escribe con símbolos matemáticos es un número real. Por ejemplo, √(−9) no lo es, porque ningún número real multiplicado por sí mismo da un resultado negativo: 3 · 3 = 9 y (−3) · (−3) = 9. Más adelante vas a comparar, ordenar y ubicar números reales en la recta numérica.

Ponte a prueba#

¿Es √45 un número racional o irracional?#

Es irracional. El número 45 no es un cuadrado perfecto: está entre 6² = 36 y 7² = 49, así que √45 no es entero, y la raíz cuadrada de un natural que no es cuadrado perfecto no es una fracción. Se puede simplificar como √45 = √(9 · 5) = 3√5, pero sigue siendo irracional, porque 3 es un racional distinto de 0 y √5 es irracional. Su valor aproximado es 6,708.

¿Qué tipo de número es 0,123456789101112…, que se forma escribiendo 1, 2, 3, 4… en orden después de la coma?#

Es irracional. Al escribir los números en orden aparecen 10, 100, 1000, 10 000…, que forman grupos de ceros cada vez más largos, y después de cada grupo vuelven a salir otras cifras. Si la expansión fuera periódica, un mismo bloque de cifras tendría que repetirse para siempre, y esos grupos de ceros cada vez más largos lo impiden. Tiene una regla, pero su expansión es infinita y no periódica.

¿Es cierto que π es igual a 22/7?#

No. La fracción 22/7 es un número racional: su expansión es periódica, 3,142857142857…, con el bloque 142857 repetido. En cambio, π es irracional y vale 3,14159…; los dos números ya difieren en la tercera cifra decimal, y la diferencia es de aproximadamente 0,0013. Por eso 22/7, igual que 3,14, es solo una aproximación de π, útil para cálculos rápidos.

¿El producto √3 · √27 es un número irracional?#

No: aunque los dos factores son irracionales, el producto es racional. Como las raíces cuadradas de números positivos se pueden multiplicar dentro de una sola raíz, √3 · √27 = √(3 · 27) = √81 = 9. Este ejemplo muestra que no se puede clasificar un resultado sin calcularlo: al operar con irracionales a veces sale un irracional y a veces un racional.

¿Por qué 0,285714285714… es racional aunque sus cifras parezcan desordenadas?#

Porque es periódico: el bloque de seis cifras 285714 se repite siempre igual, una y otra vez. Toda expansión decimal periódica corresponde a una fracción; en este caso, 0,285714285714… = 2/7. Que las cifras de un bloque parezcan no tener orden no importa: lo que define a un racional es que, a partir de algún lugar, un mismo bloque se repita sin fin.