Ley de los grandes números: frecuencia relativa y probabilidad

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 28 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Si lanzas una moneda 10 veces, puede que salgan 7 escudos. ¿Quiere decir que la moneda está cargada? No necesariamente: con pocos lanzamientos, el azar produce resultados muy desiguales. Pero si la lanzas miles de veces, la proporción de escudos casi siempre queda muy cerca de la mitad. Esa regularidad que aparece a la larga se llama ley de los grandes números, y es la razón por la que la frecuencia relativa sirve para estimar probabilidades.

En esta lección vas a ver con ejemplos qué dice la ley, qué no dice (el error conocido como falacia del jugador) y cómo usarla para resolver problemas del colegio. Los conteos de los experimentos son inventados para el ejemplo; tú puedes hacer los tuyos con una moneda, un dado o una hoja de cálculo.

Definición

La ley de los grandes números dice que, si un experimento aleatorio se repite muchas veces en las mismas condiciones y cada repetición no depende de las anteriores, la frecuencia relativa de un evento tiende a acercarse a su probabilidad: cuantas más repeticiones, más pequeña tiende a ser la diferencia entre las dos. No dice que en algún momento la frecuencia relativa vaya a ser exactamente igual a la probabilidad, ni que los resultados se «compensen».

Un experimento con una moneda#

Un grupo lanzó una moneda 2000 veces y fue anotando, de forma acumulada, cuántos escudos llevaba. En una moneda equilibrada, la probabilidad clásica de escudo es 1/2 = 0,5. La última columna dice cuántos escudos hay de más (+) o de menos (−) respecto de la mitad de los lanzamientos:

Lanzamientos	Escudos	Frecuencia relativa	Escudos menos la mitad
10	7	0,700	+2
20	12	0,600	+2
50	28	0,560	+3
100	46	0,460	−4
200	97	0,485	−3
500	246	0,492	−4
1000	507	0,507	+7
2000	1004	0,502	+4

Si se dibujan los puntos (lanzamientos, frecuencia relativa) y se unen, se ve una línea que al principio sube y baja mucho, entre 0,46 y 0,70, y que después se va «calmando» cerca de 0,5. Con 10 lanzamientos, la frecuencia relativa se alejó 0,2 de la probabilidad; con 2000, apenas 0,002.

Mira ahora la última columna: la cantidad de escudos de más o de menos no se fue haciendo cero. Con 1000 lanzamientos había 7 escudos de más, más que al principio. Aun así, la frecuencia relativa quedó muy cerca de 0,5, porque 7 escudos de más pesan muy poco entre 1000. Esta observación es la clave para entender bien la ley.

Qué dice la ley de los grandes números#

El programa del MEP pide identificar que la frecuencia relativa de un evento se aproxima a su probabilidad clásica conforme aumenta el número de observaciones. En símbolos, si el evento A ocurre k veces en n repeticiones:

Fórmula

Si n es grande, f_r(A) = k ÷ n ≈ P(A)

Las repeticiones deben hacerse en las mismas condiciones y sin que una influya en la otra. La aproximación tiende a mejorar cuando n crece.

Tres ideas ayudan a no malinterpretarla:

Habla de muchas repeticiones. Con pocas, la frecuencia relativa puede quedar lejos de la probabilidad, y eso es normal.
Habla de la frecuencia relativa, no de la cantidad de veces. La diferencia entre los escudos y la mitad de los lanzamientos puede crecer, aunque la frecuencia relativa se acerque a 0,5.
Dice que la diferencia tiende a hacerse pequeña, no que desaparezca en un número fijo de lanzamientos. En 2000 lanzamientos no tienen que salir exactamente 1000 escudos.

Esta ley explica por qué funciona la probabilidad frecuencial: cuando no se puede usar la definición clásica, la frecuencia relativa de muchas observaciones es una buena estimación de la probabilidad. Y también explica por qué una muestra aleatoria grande da resultados más confiables que una pequeña.

Más lanzamientos, menos diferencia: el dado#

En un dado equilibrado, cada cara tiene probabilidad 1/6 ≈ 0,167. Estas son las frecuencias relativas de cada cara en tres series de lanzamientos, de 60, 600 y 6000:

Cara	60 lanzamientos	600 lanzamientos	6000 lanzamientos
1	9 (0,150)	97 (0,162)	994 (0,166)
2	11 (0,183)	104 (0,173)	1013 (0,169)
3	8 (0,133)	95 (0,158)	986 (0,164)
4	12 (0,200)	108 (0,180)	1006 (0,168)
5	6 (0,100)	103 (0,172)	989 (0,165)
6	14 (0,233)	93 (0,155)	1012 (0,169)

Ejemplo. ¿Qué se observa al comparar las tres columnas?

Solución. Con 60 lanzamientos, el 6 salió 14 veces y el 5 solo 6 veces: sus frecuencias, 0,233 y 0,100, se alejan unas 0,067 de 1/6. Alguien podría creer que el dado está cargado. Con 600 lanzamientos, la cara que más se aleja de 1/6 lo hace en unas 0,013, y con 6000, en unas 0,002. Al aumentar el número de lanzamientos, las seis frecuencias relativas se juntan alrededor de 0,167, como predice la ley.

El programa sugiere una comparación parecida con datos de población: por la ley de los grandes números, es de esperar que la proporción de niñas entre los nacimientos de un año varíe más de un año a otro en un cantón pequeño que en todo el país, donde hay muchísimos más nacimientos. Cuanto más grande es el grupo, más estable tiende a ser la frecuencia relativa.

Lo que la ley no dice: la falacia del jugador#

Imagina que una moneda equilibrada cae escudo cinco veces seguidas. Mucha gente piensa que ahora «le toca» salir corona, como si la moneda tuviera que compensar. Ese razonamiento equivocado se llama falacia del jugador. La moneda no tiene memoria: cada lanzamiento es independiente de los anteriores, así que en el sexto lanzamiento la probabilidad de corona sigue siendo 1/2.

Ejemplo. Antes de empezar a lanzar una moneda equilibrada, ¿cuál es la probabilidad de obtener cinco escudos seguidos? Y si ya salieron cuatro escudos, ¿cuál es la probabilidad de que el quinto también sea escudo?

Solución. Antes de empezar, la racha completa es poco probable: (1/2) · (1/2) · (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/32 ≈ 0,031. Pero si los cuatro primeros escudos ya ocurrieron, solo falta un lanzamiento, y su probabilidad de escudo es 1/2. Lo raro era la racha entera vista desde el principio, no el lanzamiento siguiente.

Entonces, ¿cómo se acerca la frecuencia relativa a 0,5 si nada se compensa? Por dilución: los escudos de más de los primeros lanzamientos no se borran, pero se vuelven insignificantes cuando se suman cientos o miles de lanzamientos nuevos. En la tabla de la moneda, el exceso de escudos llegó a 7 con 1000 lanzamientos y, aun así, la frecuencia fue 0,507.

La misma falacia aparece cuando alguien apuesta por un número de una lotería «porque hace mucho que no sale» o evita uno «porque salió la semana pasada». Si el sorteo es justo, cada número tiene la misma probabilidad en cada sorteo, sin importar lo que salió antes.

Problemas en el contexto estudiantil#

Ejemplo. En la feria del colegio hay una ruleta con 8 sectores iguales; uno de ellos da un premio de ₡1000. Cada jugada cuesta ₡200. Si se esperan unas 400 jugadas, ¿cuántos premios habría que tener listos y cuánto se espera ganar para la excursión?

Solución. La probabilidad de ganar en una jugada es 1/8. Por la ley de los grandes números, en 400 jugadas se espera que se gane en alrededor de 1 de cada 8: 400 ÷ 8 = 50 premios. Se recogerían 400 · 200 = ₡80 000 y se pagarían alrededor de 50 · 1000 = ₡50 000, así que se espera ganar unos ₡30 000. Es una estimación: podrían salir algunos premios más o menos, así que conviene tener una reserva.

Ejemplo. Ana lanzó una chinche 20 veces y cayó con la punta hacia arriba 13 veces. Luis la lanzó 500 veces y cayó así 312 veces. ¿Qué estimación de la probabilidad es más confiable?

Solución. Ana obtiene 13 ÷ 20 = 0,65 y Luis, 312 ÷ 500 = 0,624. Las dos son estimaciones de la misma probabilidad, que no se puede calcular con la definición clásica. Según la ley de los grandes números, la de Luis es más confiable, porque se basa en muchas más repeticiones: con 20 lanzamientos, unos pocos resultados de más cambian mucho la frecuencia.

Simular con una hoja de cálculo#

Como sugiere el programa, la ley se puede observar con una simulación. En LibreOffice Calc, la fórmula =ALEATORIO.ENTRE(1;6) da un número entero al azar entre 1 y 6, como un dado. Si se copia en las celdas A1 a A1000, se tienen 1000 lanzamientos; =CONTAR.SI.CONJUNTO(A1:A1000;6) cuenta cuántos seises salieron, y al dividir entre 1000 se obtiene la frecuencia relativa. Cada vez que la hoja se recalcula, los números cambian, pero la frecuencia del 6 se queda cerca de 0,167. Con 10 celdas, en cambio, salta mucho de un cálculo a otro.

Ponte a prueba#

¿Es más probable que salga corona si una moneda equilibrada acaba de caer escudo seis veces seguidas?#

No. La moneda no recuerda los lanzamientos anteriores: cada lanzamiento es independiente, así que la probabilidad de corona en el siguiente sigue siendo 1/2. Creer que «le toca» salir corona es la falacia del jugador. La ley de los grandes números habla de lo que pasa con la frecuencia relativa en muchísimos lanzamientos, no de lo que ocurrirá en el próximo.

¿Cuál sería la frecuencia relativa de escudos en 1000 lanzamientos si en los primeros 20 salieron 14 escudos y en los 980 siguientes salió exactamente la mitad?#

En los 980 lanzamientos siguientes salen 980 ÷ 2 = 490 escudos, así que en total hay 14 + 490 = 504 escudos y la frecuencia relativa es 504 ÷ 1000 = 0,504. Al principio había 14 − 10 = 4 escudos de más, y siguen ahí: nada se compensó. Pero esos 4 escudos pesan muy poco entre 1000 lanzamientos. Así actúa la ley: por dilución, no por compensación.

¿Cuántas veces se espera, aproximadamente, que salga un número mayor que 4 si se lanza un dado equilibrado 900 veces?#

Los números mayores que 4 son el 5 y el 6, así que la probabilidad en cada lanzamiento es 2/6 = 1/3. Por la ley de los grandes números, en muchos lanzamientos la frecuencia relativa se acerca a 1/3, y se esperan alrededor de 900 · 1/3 = 300 veces. No tiene que ser exactamente 300: un resultado como 291 o 312 sería normal.

¿Dice la ley de los grandes números que en 100 lanzamientos de una moneda saldrán exactamente 50 escudos?#

No. La ley dice que la frecuencia relativa tiende a acercarse a 0,5 cuando el número de lanzamientos crece, no que se obtenga un número exacto. De hecho, obtener exactamente 50 escudos en 100 lanzamientos es poco probable: con métodos que se estudian más adelante, se calcula que su probabilidad es de apenas un 8 %. Resultados como 46 o 53 escudos son perfectamente normales.

¿Por qué no basta con lanzar 20 veces una chinche para conocer su probabilidad de caer con la punta hacia arriba?#

Porque con pocas repeticiones la frecuencia relativa varía mucho por puro azar: un par de resultados de más o de menos la cambia en 0,1. La ley de los grandes números asegura que la frecuencia tiende a acercarse a la probabilidad cuando el número de lanzamientos es grande. Con cientos de lanzamientos en las mismas condiciones, la estimación es mucho más confiable.