Racionalización de denominadores y numeradores

Q: ¿Cuál es la forma racionalizada de 2/∛9?

Como 9 = 32 y el índice es 3, falta un factor 3 para que la raíz sea exacta. Se multiplica por ∛3/∛3: el denominador queda ∛27 = 3 y el numerador, 2∛3. El resultado es 2∛3/3. Multiplicar por ∛9 no serviría, porque ∛81 no es exacta.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 19 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 8 min de lectura

¿Qué es más fácil de calcular a mano: 1 dividido entre 1,414 o 1,414 dividido entre 2? Lo segundo: dividir entre 2 es mucho más sencillo. Y resulta que 1/√2 y √2/2 son el mismo número. Pasar de la primera forma a la segunda se llama racionalizar: transformar una expresión para que su denominador quede sin radicales.

En noveno año, el programa del MEP pide racionalizar el denominador o el numerador de expresiones algebraicas. En esta lección vas a ver los tres casos que más aparecen: un denominador con una sola raíz cuadrada, un denominador con una raíz de otro índice y un denominador con dos términos, que se resuelve con el conjugado. Al final verás por qué a veces conviene hacer lo contrario: racionalizar el numerador.

Definición

Racionalizar el denominador de una expresión es escribirla de otra forma equivalente cuyo denominador no tenga radicales. Se logra multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor, llamado factor racionalizante. Como ese factor dividido entre sí mismo vale 1, el valor de la expresión no cambia. Racionalizar el numerador es lo mismo, pero eliminando los radicales de arriba.

La idea: multiplicar por una forma del 1#

Racionalizar es un caso de amplificación: se multiplica arriba y abajo por el mismo número, así que el resultado es equivalente. El truco es escoger un factor que convierta el radical del denominador en un número o una expresión sin raíces, usando que √a · √a = a cuando a ≥ 0.

Ejemplo. Racionaliza 1/√2 y compara las dos formas con la calculadora.

Solución. Se multiplica por √2/√2: (1 · √2)/(√2 · √2) = √2/2. Con √2 ≈ 1,414, la forma original pide calcular 1 ÷ 1,414, y la racionalizada, 1,414 ÷ 2. Las dos dan aproximadamente 0,707.

En las expresiones con letras se supone, como hace el programa, que las variables toman valores para los que los radicales están definidos y el denominador no es cero; en los ejemplos se indica cada vez, por ejemplo, «con x > 0».

Denominador con una raíz cuadrada#

Si el denominador es de la forma k√a, el factor racionalizante es √a. Antes de empezar conviene simplificar los radicales, para trabajar con números más pequeños.

Ejemplo. Racionaliza 6/√3 y 10/(3√5).

Solución. En la primera se multiplica por √3/√3: 6√3/(√3 · √3) = 6√3/3 = 2√3. En la segunda basta multiplicar por √5/√5, porque el 3 no es un radical: 10√5/(3 · 5) = 10√5/15 = 2√5/3.

Ejemplo. Racionaliza 4/√12.

Solución. Primero se simplifica el radical: √12 = √(4 · 3) = 2√3. Queda 4/(2√3) = 2/√3. Ahora se multiplica por √3/√3: 2√3/3. Si se racionalizara sin simplificar, saldría 4√12/12 = √12/3 = 2√3/3, el mismo resultado con más pasos.

Ejemplo. Racionaliza 5/√(2x), con x > 0.

Solución. El factor racionalizante es √(2x): 5√(2x)/(√(2x) · √(2x)) = 5√(2x)/(2x).

Ejemplo. Racionaliza √(5/(8a³)), con a > 0.

Solución. La raíz de un cociente es el cociente de las raíces: √5/√(8a³). Se simplifica el denominador: 8a³ = 4a² · 2a, así que √(8a³) = 2a√(2a), porque a > 0. Queda √5/(2a√(2a)). Se multiplica por √(2a)/√(2a): √(10a)/(2a · 2a) = √(10a)/(4a²).

Denominador con una raíz de otro índice#

Con raíces cúbicas, cuartas u otras, no basta multiplicar por la misma raíz. Lo que se busca es completar el exponente del radicando hasta que sea igual al índice, para que la raíz salga exacta.

Fórmula

ⁿ√(a^m) · ⁿ√(a^{n − m}) = ⁿ√(aⁿ) = a

Con a > 0 y m < n. El factor racionalizante es ⁿ√(a^{n − m}).

Ejemplo. Racionaliza 6/∛4.

Solución. Como 4 = 2² y el índice es 3, falta un 2 para llegar a 2³. Se multiplica por ∛2/∛2: 6∛2/∛(2² · 2) = 6∛2/∛8 = 6∛2/2 = 3∛2. Multiplicar por ∛4 no habría servido: ∛4 · ∛4 = ∛16, que no es exacta.

Ejemplo. Racionaliza 6/⁴√(2x), con x > 0.

Solución. El radicando es 2¹x¹ y el índice es 4, así que faltan tres factores de cada uno: el factor racionalizante es ⁴√(2³x³) = ⁴√(8x³). Arriba queda 6 · ⁴√(8x³), y abajo, ⁴√(16x⁴) = 2x. El resultado es 6 · ⁴√(8x³)/(2x) = 3 · ⁴√(8x³)/x.

Denominador con dos términos: el conjugado#

Si el denominador es una suma o una resta con radicales, como 3 − √5, multiplicar por √5 no elimina la raíz. Se usa el conjugado: la misma expresión con el signo del medio cambiado. El conjugado de 3 − √5 es 3 + √5, y el de √x + √y es √x − √y. Funciona por la diferencia de cuadrados:

Fórmula

(√a + √b)(√a − √b) = a − b (c + √b)(c − √b) = c² − b

Con a ≥ 0 y b ≥ 0. Los términos con raíz se cancelan y el resultado no tiene radicales.

Ejemplo. Racionaliza 4/(3 − √5).

Solución. Se multiplica por (3 + √5)/(3 + √5). El denominador queda (3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4. Entonces 4(3 + √5)/4 = 3 + √5. Con la calculadora, las dos formas dan aproximadamente 5,236.

Ejemplo. Racionaliza 6/(√7 − √5).

Solución. El conjugado es √7 + √5. El denominador queda (√7)² − (√5)² = 7 − 5 = 2, y la expresión, 6(√7 + √5)/2 = 3(√7 + √5) = 3√7 + 3√5.

Ejemplo. Racionaliza (√x + 2)/(√x − 3), con x ≥ 0 y x ≠ 9.

Solución. Se multiplica por (√x + 3)/(√x + 3). Abajo: (√x)² − 3² = x − 9. Arriba: (√x + 2)(√x + 3) = x + 3√x + 2√x + 6 = x + 5√x + 6. El resultado es (x + 5√x + 6)/(x − 9). Se excluye x = 9 porque ahí el denominador original vale √9 − 3 = 0.

Ejemplo. Simplifica (x − 25)/(√x − 5), con x ≥ 0 y x ≠ 25.

Solución. Al multiplicar por el conjugado, (√x + 5)/(√x + 5), el denominador queda x − 25, igual que el numerador: (x − 25)(√x + 5)/(x − 25) = √x + 5. Otra forma de verlo: si x ≥ 0, entonces x − 25 = (√x − 5)(√x + 5), y se cancela el factor común.

Racionalizar el numerador#

A veces lo que estorba es la raíz de arriba. Pasa cuando el numerador y el denominador se anulan en un mismo valor y se quiere ver qué ocurre cerca de él. El método es el mismo: multiplicar arriba y abajo por el conjugado del numerador.

Ejemplo. Racionaliza el numerador de (√7 − 2)/3.

Solución. Se multiplica por (√7 + 2)/(√7 + 2). Arriba: 7 − 4 = 3. Abajo: 3(√7 + 2). Queda 3/[3(√7 + 2)] = 1/(√7 + 2).

Ejemplo. Racionaliza el numerador de (√(2x + 1) − 3)/(x − 4), con x ≥ −1/2 y x ≠ 4.

Solución. Se multiplica por el conjugado del numerador, √(2x + 1) + 3. Arriba queda (2x + 1) − 9 = 2x − 8 = 2(x − 4). Abajo, (x − 4)(√(2x + 1) + 3). Se cancela (x − 4) y queda 2/(√(2x + 1) + 3). En x = 4 la expresión original no está definida (da 0/0), pero la nueva forma muestra a qué valor se acerca: 2/(3 + 3) = 1/3. Con x = 4,01, las dos formas dan aproximadamente 0,3331.

Errores frecuentes#

Multiplicar solo el denominador. El factor racionalizante va arriba y abajo; si no, la expresión cambia de valor.
Repartir la raíz en una suma. √(9 + 16) = √25 = 5, mientras que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Por eso, en 4/(3 − √5) no sirve multiplicar por √5.
Equivocar el conjugado. Se cambia solo el signo que separa los dos términos: el conjugado de 2√x − 1 es 2√x + 1.
Olvidar las condiciones. En las expresiones con letras hay que indicar para qué valores están definidos los radicales y el denominador no se anula.

Ponte a prueba#

¿Cómo se racionaliza 15/√5?#

Se multiplica el numerador y el denominador por √5, que es el factor racionalizante: 15√5/(√5 · √5) = 15√5/5. Luego se simplifica 15 entre 5, y el resultado es 3√5. Se puede comprobar con la calculadora: 15 ÷ √5 y 3√5 dan los dos aproximadamente 6,708.

¿Cuál es la forma racionalizada de 2/∛9?#

Como 9 = 3² y el índice es 3, falta un factor 3 para que la raíz sea exacta. Se multiplica por ∛3/∛3: el denominador queda ∛27 = 3 y el numerador, 2∛3. El resultado es 2∛3/3. Multiplicar por ∛9 no serviría, porque ∛81 no es exacta.

¿Cómo se racionaliza 8/(√11 + √3)?#

Se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador, √11 − √3. El denominador queda (√11)² − (√3)² = 11 − 3 = 8, y el numerador, 8(√11 − √3). Al dividir entre 8, el resultado es √11 − √3, una expresión sin denominador.

¿Cómo queda x/√(3x) al racionalizar el denominador, si x > 0?#

El factor racionalizante es √(3x). Al multiplicar arriba y abajo se obtiene x√(3x)/(√(3x) · √(3x)) = x√(3x)/(3x). Como x > 0, se puede simplificar la x del numerador con la del denominador, y queda √(3x)/3.

¿Cómo se racionaliza el numerador de (√a − √b)/(a − b), si a y b son positivos y distintos?#

Se multiplica por el conjugado del numerador, √a + √b, arriba y abajo. El numerador queda (√a)² − (√b)² = a − b, igual que el denominador original. Así, la expresión es (a − b)/[(a − b)(√a + √b)], y al cancelar el factor a − b, que no es cero porque a ≠ b, el resultado es 1/(√a + √b).