Identidad fundamental de la trigonometría y ley de senos

Las razones trigonométricas de un ángulo no son independientes entre sí: si se conoce el seno de un ángulo agudo, su coseno y su tangente quedan determinados. La herramienta para pasar de una a otra es la identidad fundamental, sen² α + cos² α = 1, que es el teorema de Pitágoras escrito con razones trigonométricas.

En la segunda parte de esta lección de noveno año vas a salir del triángulo rectángulo: la ley de senos permite calcular lados y ángulos de cualquier triángulo cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Este último caso tiene una trampa, el caso ambiguo, que también vas a aprender a reconocer.

Por qué sen² α + cos² α = 1#

Toma un triángulo rectángulo con hipotenusa c y un ángulo agudo α, cuyo cateto opuesto mide a y cuyo cateto adyacente mide b. Entonces sen α = a ÷ c y cos α = b ÷ c. Al elevar al cuadrado y sumar: sen² α + cos² α = a²/c² + b²/c² = (a² + b²)/c². Por el teorema de Pitágoras, a² + b² = c², así que la fracción vale c²/c² = 1.

Ejemplo. Verifica la identidad con α = 30° y con α = 37°.

Solución. Con 30°, de forma exacta: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1. Con 37°, la calculadora da sen 37° ≈ 0,6018 y cos 37° ≈ 0,7986; con esos valores redondeados, 0,6018² + 0,7986² ≈ 0,9999. La pequeña diferencia con 1 se debe al redondeo: sin redondear, la suma es exactamente 1.

Hallar una razón a partir de otra#

Si se conoce el seno de un ángulo agudo, se despeja el coseno: cos α = √(1 − sen² α). Si se conoce el coseno, sen α = √(1 − cos² α). En un ángulo agudo se toma la raíz positiva, porque su seno y su coseno son positivos. Después, la tangente sale de tan α = sen α ÷ cos α.

Ejemplo. Un ángulo agudo α cumple sen α = 9/41. Halla cos α y tan α.

Solución. cos α = √(1 − (9/41)²) = √(1 − 81/1681) = √(1600/1681) = 40/41. Entonces tan α = (9/41) ÷ (40/41) = 9/40 = 0,225.

Ejemplo. Un ángulo agudo α cumple sen α = 2/3. Halla cos α y tan α.

Solución. cos α = √(1 − 4/9) = √(5/9) = √5/3 ≈ 0,75. La tangente es (2/3) ÷ (√5/3) = 2/√5 = 2√5/5 ≈ 0,89. No hizo falta conocer el ángulo ni dibujar el triángulo.

¿Casan los datos?#

Ejemplo. ¿Puede un ángulo tener sen α = 0,8 y cos α = 0,5?

Solución. No. Si existiera, 0,8² + 0,5² tendría que dar 1, pero da 0,64 + 0,25 = 0,89. Un problema que dé esos dos valores para el mismo ángulo tiene datos incompatibles.

La ley de senos#

En un triángulo sin ángulo recto ya no hay hipotenusa ni catetos, y el seno no se puede leer como opuesto entre hipotenusa. Pero se puede trazar una altura y formar dos triángulos rectángulos. Si h es la altura trazada desde el vértice C, en el triángulo rectángulo que contiene al ángulo A se cumple h = b · sen A, y en el que contiene al ángulo B, h = a · sen B. Al igualar: b · sen A = a · sen B, o sea, a ÷ sen A = b ÷ sen B. Con otra altura se obtiene lo mismo para c y C.

Para usarla hace falta conocer un lado y su ángulo opuesto, más otro dato. Sirve en dos situaciones: cuando se conocen dos ángulos y un lado (el tercer ángulo sale de que los tres suman 180°), y cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Si se conocen dos lados y el ángulo que forman entre ellos, o los tres lados, la ley de senos no basta.

La ley vale también en triángulos con un ángulo obtuso. La calculadora da el seno de un ángulo obtuso, y se cumple que sen (180° − x) = sen x: por ejemplo, sen 110° = sen 70° ≈ 0,9397.

Dos ángulos y un lado#

Ejemplo. En un triángulo ABC, A = 40°, B = 75° y a = 12 cm. Halla C, b y c.

Solución. Los ángulos de un triángulo suman 180°, así que C = 180° − 40° − 75° = 65°. Con la ley de senos: b = 12 · sen 75° ÷ sen 40° ≈ 18,03 cm y c = 12 · sen 65° ÷ sen 40° ≈ 16,92 cm. Se revisa que el lado mayor, b, esté frente al ángulo mayor, B = 75°, y que el menor, a, esté frente al menor, A = 40°.

Ejemplo. Para medir el ancho de un río de orillas rectas y paralelas, se marcan dos puntos P y Q en una orilla, separados 200 m. Desde P, el ángulo entre la recta PQ y la visual hacia un árbol R de la otra orilla mide 62°; desde Q, el ángulo entre QP y la visual hacia el árbol mide 48°. ¿A qué distancia está el árbol de P, y cuál es el ancho del río? (Datos inventados.)

Solución. El ángulo en R mide 180° − 62° − 48° = 70°. El lado PR está frente al ángulo Q, y el lado PQ = 200 m, frente al ángulo R: PR = 200 · sen 48° ÷ sen 70° ≈ 158,17 m. El ancho del río es la distancia del árbol a la orilla de los puntos P y Q, que es la altura del triángulo trazada desde R. En el triángulo rectángulo que tiene a PR por hipotenusa, ancho = PR · sen 62° ≈ 139,65 m, calculado con PR sin redondear.

Ejemplo. Ana y Beto están en un terreno plano, a 85 m uno del otro, y ven un dron que vuela entre ellos con ángulos de elevación de 55° y 40°, respectivamente. ¿A qué distancia está el dron de Ana y a qué altura vuela? (Datos inventados; no se cuenta la estatura de ellos.)

Solución. El ángulo en el dron mide 180° − 55° − 40° = 85°. La distancia de Ana al dron es el lado que está frente al ángulo de 40°, el de Beto: 85 · sen 40° ÷ sen 85° ≈ 54,85 m. La altura es el cateto opuesto al ángulo de 55° en el triángulo rectángulo que tiene esa distancia por hipotenusa: 54,85 · sen 55° ≈ 44,93 m.

Dos lados y el ángulo opuesto a uno: el caso ambiguo#

Si se conocen los lados a y b y el ángulo A, opuesto al lado a, la ley de senos da sen B = b · sen A ÷ a. Pero entre 0° y 180° hay dos ángulos con el mismo seno: uno agudo, B₁, y otro obtuso, B₂ = 180° − B₁. Por eso este caso, que se suele abreviar LLA (lado, lado, ángulo), se llama ambiguo: puede haber ningún triángulo, uno o dos. Se decide así:

• Si b · sen A ÷ a da más que 1, no hay ningún triángulo: ningún ángulo tiene un seno mayor que 1, y el lado a es demasiado corto para cerrar la figura.
• Si da exactamente 1, B = 90°: si A es agudo, hay un solo triángulo, rectángulo en B, y si A no es agudo, no hay ninguno.
• Si da menos que 1, se calculan B₁ y B₂ = 180° − B₁. Cada uno sirve solo si, sumado con A, da menos de 180°. Si sirven los dos, hay dos triángulos distintos.

Una pista rápida: si el lado opuesto al ángulo conocido es mayor o igual que el otro lado conocido (a ≥ b), no hay ambigüedad y a lo sumo hay un triángulo.

Ejemplo. Con A = 50°, a = 15 cm y b = 10 cm, ¿cuántos triángulos hay?

Solución. sen B = 10 · sen 50° ÷ 15 ≈ 0,5107, así que B₁ ≈ 30,71° y B₂ ≈ 149,29°. Como 50° + 149,29° = 199,29° pasa de 180°, B₂ no sirve. Hay un solo triángulo, con B ≈ 30,71°, C ≈ 99,29° y c = 15 · sen C ÷ sen 50° ≈ 19,32 cm. Era de esperar, porque a es mayor que b.

Ejemplo. Con A = 35°, a = 9 cm y b = 14 cm, ¿cuántos triángulos hay?

Solución. sen B = 14 · sen 35° ÷ 9 ≈ 0,8922, así que B₁ ≈ 63,15° y B₂ ≈ 116,85°. Los dos sirven, porque 35° + 63,15° = 98,15° y 35° + 116,85° = 151,85° son menores que 180°. Hay dos triángulos: en el primero, C₁ ≈ 81,85° y c₁ ≈ 15,53 cm; en el segundo, C₂ ≈ 28,15° y c₂ ≈ 7,40 cm, calculados con los ángulos sin redondear. Un problema con estos datos tiene que decir cuál de los dos describe, o pedir los dos.

Ejemplo. Con A = 60°, a = 5 cm y b = 8 cm, ¿cuántos triángulos hay?

Solución. sen B = 8 · sen 60° ÷ 5 = 4√3/5 ≈ 1,39. Ningún ángulo tiene un seno mayor que 1, así que no existe ningún triángulo con esos datos. Se ve también con la altura desde C: mide b · sen A ≈ 6,93 cm, más que los 5 cm del lado a, que no alcanza a llegar a la base.

Ponte a prueba#

¿Cuánto valen el coseno y la tangente de un ángulo agudo α si sen α = 11/61?#

¿Puede un ángulo tener el seno y el coseno iguales a 0,7?#

¿Cuánto mide el lado a de un triángulo si A = 28°, B = 110° y b = 20 cm?#

¿Cuántos triángulos hay con A = 30°, a = 6 cm y b = 10 cm?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)