Gráfica de la función cuadrática: vértice y efecto de a, b y c

Toda función cuadrática y = ax² + bx + c tiene por gráfica una curva llamada parábola. Lo interesante es que todas esas parábolas salen de una sola, la de y = x², al estirarla, encogerla, voltearla o trasladarla. Ese es el camino que propone el programa del MEP de noveno año: partir de la gráfica de y = x² y construir las demás con traslaciones y homotecias.

En esta lección vas a trazar parábolas a partir de una tabla de valores y de su vértice, a pasar del criterio y = ax² + bx + c a la forma y = a(x − h)² + k, y a analizar qué le pasa a la gráfica cuando cambian a, b o c. Para esto último, el programa recomienda usar un programa graficador o una calculadora graficadora.

La parábola de referencia: y = x²#

Para graficar una función se hace una tabla de valores, se ubican los pares ordenados en el plano y se unen con una curva suave. Con y = x²:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y = x2	9	4	1	0	1	4	9

Se observan tres cosas. Los valores de y nunca son negativos, porque un número al cuadrado es mayor o igual que cero. El valor más pequeño, 0, se obtiene en x = 0, así que el vértice es el origen (0, 0) y es un mínimo. Y x y −x dan el mismo resultado, porque (−x)² = x²: la gráfica es simétrica respecto al eje y, que es su eje de simetría. Por eso basta calcular los valores para x ≥ 0 y reflejarlos.

Al unir los puntos se traza una curva redondeada, no segmentos rectos: entre x = 1 y x = 2 hay infinitos puntos, como (1,5; 2,25), que también están en la gráfica.

El efecto de a: abrir, cerrar y voltear#

En y = ax², cada valor de x² se multiplica por a. El programa señala que esta función es un caso de proporcionalidad directa: y es directamente proporcional a x², con constante a. Compara las tablas:

x	−2	−1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	4
y = 2x2	8	2	0	2	8
y = 0,5x2	2	0,5	0	0,5	2
y = −x2	−4	−1	0	−1	−4

• Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si a < 0, abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
• Si |a| > 1, los valores de y se alejan del vértice más rápido que en y = x² y la parábola se ve más estrecha, pegada al eje y.
• Si 0 < |a| < 1, los valores se alejan del vértice más despacio y la parábola se ve más ancha.
• Cambiar a por −a refleja la parábola respecto al eje x: y = −x² es el reflejo de y = x².

El programa describe y = ax² como una homotecia de y = x²: es la misma curva a otra escala, con centro en el origen. La razón de esa homotecia es 1/a, no a. Con a = 2, la razón es 1/2: el punto (2, 4) de y = x² va a parar a (1, 2), que está en y = 2x² porque 2 · 1² = 2. Si a < 0, la razón es negativa y la parábola queda volteada.

Traslaciones: la forma y = a(x − h)² + k#

La gráfica de y = a(x − h)² es la de y = ax² trasladada h unidades en horizontal: hacia la derecha si h > 0 y hacia la izquierda si h < 0. Al sumar k, y = a(x − h)² + k, la parábola sube k unidades si k > 0 o baja si k < 0.

Ejemplo. Grafica y = (x − 4)² − 2 a partir de y = x².

Solución. Aquí a = 1, h = 4 y k = −2. La parábola tiene la misma forma que y = x², pero trasladada 4 unidades a la derecha y 2 hacia abajo. El vértice es (4, −2), un mínimo, y el eje es x = 4. Con valores alrededor del vértice: x = 2, 3, 4, 5 y 6 dan y = 2, −1, −2, −1 y 2. Corta el eje y en (0, 14), porque (0 − 4)² − 2 = 14, y corta el eje x donde (x − 4)² = 2, es decir, en x = 4 ± √2, aproximadamente 2,59 y 5,41.

Ejemplo. Describe la gráfica de y = −3(x + 2)² + 1.

Solución. Como a = −3 < 0, la parábola abre hacia abajo, y como |a| = 3 > 1, es más estrecha que y = x². Además, h = −2 y k = 1, así que el vértice es (−2, 1), que es un máximo, y el eje es x = −2. La tabla para x = −4, −3, −2, −1 y 0 da y = −11, −2, 1, −2 y −11: valores simétricos alrededor del eje. Corta el eje y en (0, −11).

Parámetro	Qué hace con y = x2
a	Abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0); la estrecha (|a| > 1) o la ensancha (|a| < 1)
h	La traslada en horizontal: a la derecha si h > 0, a la izquierda si h < 0
k	La traslada en vertical: hacia arriba si k > 0, hacia abajo si k < 0

Del criterio y = ax² + bx + c al vértice#

Toda función y = ax² + bx + c se puede escribir en la forma y = a(x − h)² + k completando cuadrados. Al hacerlo en general se obtiene una fórmula directa para el vértice:

Ejemplo. Halla el vértice de y = 2x² − 8x + 5 y escribe la función en la forma y = a(x − h)² + k.

Solución. Con a = 2 y b = −8: h = −(−8)/(2 · 2) = 8/4 = 2. Luego k = 2 · 2² − 8 · 2 + 5 = 8 − 16 + 5 = −3. El vértice es (2, −3) y la función es y = 2(x − 2)² − 3. Se comprueba al desarrollar: 2(x² − 4x + 4) − 3 = 2x² − 8x + 5. La gráfica es la de y = 2x² trasladada 2 unidades a la derecha y 3 hacia abajo.

Dos datos más salen casi gratis. El corte con el eje y es siempre (0, c), aquí (0, 5), y por simetría el punto (4, 5) también está en la gráfica, porque 0 y 4 están a 2 unidades del eje x = 2. Los cortes con el eje x se hallan resolviendo 2(x − 2)² − 3 = 0: x = 2 ± √1,5, aproximadamente 0,78 y 3,22. Como señala el programa, si la parábola corta el eje x en dos puntos, el vértice queda justo en medio de ellos: su primera coordenada es el promedio de los dos cortes.

Trazar la gráfica paso a paso#

Ejemplo. Traza la gráfica de y = −x² + 6x − 8.

Solución. Se siguen los pasos de la lista de abajo. 1) a = −1 < 0: abre hacia abajo. 2) h = −6/(2 · (−1)) = 3 y k = −9 + 18 − 8 = 1: el vértice es (3, 1), un máximo, y el eje es x = 3. 3) Corta el eje y en (0, −8), y su simétrico es (6, −8). 4) Para los cortes con el eje x se resuelve −x² + 6x − 8 = 0, que equivale a x² − 6x + 8 = 0, o sea, (x − 2)(x − 4) = 0: corta en (2, 0) y (4, 0). La primera coordenada del vértice está en medio: (2 + 4)/2 = 3. 5) La tabla completa la forma.

x	0	1	2	3	4	5	6
y = −x2 + 6x − 8	−8	−3	0	1	0	−3	−8

1. Mira el signo de a para saber si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
2. Calcula el vértice con h = −b/(2a) y k = f(h), y traza el eje de simetría x = h.
3. Ubica el corte con el eje y, (0, c), y su punto simétrico respecto al eje.
4. Si los hay, halla los cortes con el eje x (por factorización o con la fórmula general).
5. Completa con una tabla de valores alrededor del vértice y une los puntos con una curva suave, sin picos.

Qué cambia al mover a, b o c con un graficador#

Con un programa graficador se pueden crear deslizadores para a, b y c y observar la parábola mientras cambia uno solo de ellos. Esto es lo que se ve:

Al cambiar c#

Sumar un número a la función sube o baja todos los puntos lo mismo. En y = x² − 2x + c, con c = −3, 0 y 2, los vértices son (1, −4), (1, −1) y (1, 1): la parábola se desplaza en vertical sin cambiar de forma ni de eje, y siempre corta el eje y en (0, c).

Al cambiar a#

Cambia la forma: más estrecha, más ancha o volteada. El corte con el eje y sigue en (0, c), porque a no interviene en él. Como h = −b/(2a), si b no es cero, el vértice también se mueve.

Al cambiar b#

Es el más sorprendente. En y = x² + bx + 1, con b = −4, −2, 0, 2 y 4, los vértices son (2, −3), (1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (−2, −3). La forma no cambia (a sigue valiendo 1) y todas pasan por (0, 1), pero el vértice cambia de lugar en las dos direcciones. Si se marcan esos vértices, quedan sobre otra parábola: y = −x² + 1. El programa propone justamente esto: variar b, observar el movimiento del vértice y hacer conjeturas. Además, con a > 0, si b es positivo el vértice queda a la izquierda del eje y, y si b es negativo, a la derecha.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el vértice de y = 3(x − 1)² + 4 y hacia dónde abre la parábola?#

¿Cómo se obtiene la gráfica de y = (x + 5)² − 3 a partir de la de y = x²?#

¿Dónde está el vértice de y = x² − 2x − 15 y cuáles son sus intersecciones con los ejes?#

¿Qué cambia en la gráfica de y = ax² si a pasa de 1 a −0,25?#

¿Qué tienen en común las gráficas de y = x² + bx − 2 para cualquier valor de b?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)