Raíces y radicales: estimar, ubicar entre enteros y operar

En años anteriores calculaste raíces exactas, como √169 = 13 o ∛(−216) = −6. Pero la mayoría de las raíces no son exactas: √40 o ∛50 son números irracionales. En noveno año, el programa del MEP pide estimar esas raíces, ubicarlas entre dos enteros consecutivos y operar con ellas usando la calculadora, que en este tema es la herramienta adecuada.

En esta lección vas a repasar el vocabulario de los radicales, a estimar raíces cuadradas y cúbicas sin calculadora, a encontrar radicales entre dos enteros y a resolver operaciones y problemas con radicales.

Potencias y raíces: la tabla que conviene tener a mano#

Raíces y potencias son operaciones inversas: si 7² = 49, entonces √49 = 7, y si 4³ = 64, entonces ∛64 = 4. Para estimar raíces sirve tener presentes los cuadrados y los cubos de los primeros naturales:

n	n²	n³
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000
11	121	1331
12	144	1728

Si un natural aparece en la columna de los cuadrados, su raíz cuadrada es exacta; si aparece en la de los cubos, su raíz cúbica es exacta. Si un natural no es cuadrado perfecto, su raíz cuadrada es irracional y queda entre dos enteros consecutivos; lo mismo pasa con la raíz cúbica de un natural que no es cubo perfecto.

Estimar el valor de una raíz#

Para estimar √40 se buscan los cuadrados perfectos más cercanos: 6² = 36 < 40 < 49 = 7². Entonces √40 está entre 6 y 7. Además, 40 está a 4 unidades de 36 y a 9 unidades de 49, así que √40 queda más cerca de 6. Al probar con décimas, 6,3² = 39,69 < 40 < 40,96 = 6,4²: la raíz está entre 6,3 y 6,4. La calculadora da √40 = 6,3245…

Con las raíces cúbicas se razona igual, usando cubos. Como 3³ = 27 < 50 < 64 = 4³, ∛50 está entre 3 y 4, y como 50 está más cerca de 64, la raíz queda más cerca de 4: ∛50 = 3,684… Las raíces cúbicas de negativos también se estiman: (−3)³ = −27 y (−4)³ = −64, así que ∛(−30) está entre −4 y −3, muy cerca de −3 (∛(−30) = −3,107…).

Ejemplo. Sin calculadora, estima √110 con una cifra decimal y luego compruébalo.

Solución. Como 10² = 100 < 110 < 121 = 11², √110 está entre 10 y 11. El 110 queda casi en la mitad entre 100 y 121, un poco más cerca de 100, así que se espera algo menos de 10,5. Se prueba: 10,4² = 108,16 < 110 y 10,5² = 110,25 > 110, por lo que 10,4 < √110 < 10,5. La calculadora confirma la estimación: √110 = 10,488…

Radicales entre dos enteros consecutivos#

Entre dos enteros consecutivos hay muchas raíces irracionales. Para encontrarlas basta con elegir radicandos que queden entre las potencias de esos enteros.

Ejemplo. Escribe tres números irracionales con radicales que estén entre 5 y 6.

Solución. Como 5² = 25 y 6² = 36, cualquier √k con 25 < k < 36 cumple 5 < √k < 6, y como ningún número del 26 al 35 es cuadrado perfecto, todas esas raíces son irracionales. Por ejemplo, √27, √30 y √33. También sirven raíces cúbicas: como 5³ = 125 y 6³ = 216, los números ∛150 y ∛200 están entre 5 y 6.

Entre n y n + 1 hay exactamente 2n raíces cuadradas no exactas de números naturales, porque los radicandos posibles van de n² + 1 hasta n² + 2n, el número anterior a (n + 1)². Entre 5 y 6, por ejemplo, están √26, √27, …, √35: son 10, es decir, 2 · 5.

Ejemplo. ¿Entre qué enteros consecutivos está √83? ¿Y −∛100?

Solución. Como 9² = 81 < 83 < 100 = 10², se cumple 9 < √83 < 10, muy cerca de 9 (√83 = 9,110…). Para la otra, primero se ubica ∛100: 4³ = 64 < 100 < 125 = 5³, así que 4 < ∛100 < 5. Al cambiar el signo se invierten las desigualdades: −5 < −∛100 < −4. Con la calculadora, −∛100 = −4,641…

Operaciones con radicales usando la calculadora#

La calculadora científica tiene una tecla para la raíz cuadrada y, en muchos modelos, otras para la raíz cúbica y para raíces de cualquier índice; conviene revisar el manual del modelo que uses. Según el programa del MEP, en este tema la respuesta puede darse en cualquier representación: como decimal aproximado o con radicales.

Propiedades que conviene conocer#

• Producto: √a · √b = √(a · b), si a ≥ 0 y b ≥ 0. Por ejemplo, √3 · √12 = √36 = 6.
• Cociente: √a ÷ √b = √(a ÷ b), si a ≥ 0 y b > 0. Por ejemplo, √98 ÷ √2 = √49 = 7.
• Potencia: (√a)² = a, si a ≥ 0, y (∛a)³ = a para cualquier a. Por ejemplo, (√11)² = 11.
• Para la suma no hay una propiedad así: √36 + √64 = 6 + 8 = 14, mientras que √(36 + 64) = √100 = 10.

Ejemplo. Calcula √18 + √8 con la calculadora y compara el resultado con √26 y con 5√2.

Solución. √18 ≈ 4,2426 y √8 ≈ 2,8284, así que la suma es aproximadamente 7,0711. En cambio, √26 ≈ 5,0990, un número muy distinto: los radicandos no se suman. Por otro lado, 5√2 ≈ 7,0711 coincide con la suma, y no es casualidad: √18 = √(9 · 2) = 3√2 y √8 = √(4 · 2) = 2√2, de modo que √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2 exactamente.

Ejemplo. Calcula (2 + √3)(2 − √3).

Solución. Con la calculadora, 2 + √3 ≈ 3,7321 y 2 − √3 ≈ 0,2679, y su producto da 1. Se puede confirmar sin calculadora: (2 + √3)(2 − √3) = 4 − 2√3 + 2√3 − 3 = 1. Dos números irracionales pueden tener un producto racional.

Ejemplo. Calcula √7 · √11 en un solo paso con la calculadora y, por otro lado, redondeando antes cada raíz a las centésimas. ¿Qué se observa?

Solución. En un solo paso: √7 · √11 = √77 ≈ 8,775. Si antes se redondea, √7 ≈ 2,65 y √11 ≈ 3,32, y el producto es 2,65 · 3,32 = 8,798. La diferencia, de unas dos centésimas, aparece por redondear antes de operar. Conviene hacer las operaciones con los valores completos de la calculadora y redondear solo el resultado final.

Ejemplo. ¿Qué número m cumple √m = 3√6?

Solución. Se mete el 3 dentro de la raíz elevado al cuadrado: 3√6 = √(9 · 6) = √54. Por lo tanto, m = 54. Con la calculadora se comprueba que √54 y 3√6 dan lo mismo: aproximadamente 7,348.

Problemas con raíces#

Las raíces aparecen al buscar un lado o una arista a partir de un área o un volumen, y también al usar el teorema de Pitágoras. Los datos de estos problemas son inventados para practicar.

Ejemplo. Un tanque de agua con forma de cubo debe tener una capacidad de 2 m³. ¿Cuánto debe medir su arista?

Solución. Si la arista mide a, el volumen es a³ = 2, así que a = ∛2 m. Como 1³ = 1 < 2 < 8 = 2³, la arista está entre 1 m y 2 m, mucho más cerca de 1 m. La calculadora da ∛2 = 1,2599…, es decir, unos 1,26 m. Se comprueba: 1,26³ ≈ 2,0004, muy cerca de 2.

Ejemplo. Una cancha rectangular mide 60 m de largo y 40 m de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

Solución. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 60 m y 40 m. Por el teorema de Pitágoras, d² = 60² + 40² = 3600 + 1600 = 5200, así que d = √5200. Para estimarla: 72² = 5184 < 5200 < 5329 = 73², así que mide entre 72 m y 73 m, muy cerca de 72. Con la calculadora, √5200 ≈ 72,11 m. En forma exacta, √5200 = √(400 · 13) = 20√13.

Ponte a prueba#

¿Entre qué enteros consecutivos está √150 y a cuál de los dos está más cerca?#

¿Cuántas raíces cuadradas no exactas de números naturales hay entre 9 y 10?#

¿Se puede escribir √4 + √9 como una sola raíz, √13?#

¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 20 cm³?#

¿Cuánto da √2 · √50 y por qué el resultado es un número natural?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)