Problemas con ecuaciones de segundo grado: plantear y resolver

Q: ¿Cuál es el número positivo cuyo cuadrado, sumado con el triple del número, da 70?

Si el número es x, la condición es x2 + 3x = 70. Se pasa todo a un lado: x2 + 3x − 70 = 0. Dos números que multiplicados dan −70 y sumados dan 3 son 10 y −7, así que (x + 10)(x − 7) = 0 y x = −10 o x = 7. Como se pide un número positivo, se descarta −10. El número es 7; se comprueba: 49 + 21 = 70.

Q: ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si, al aumentar cada lado en 3 cm, el área queda en 64 cm²?

Sea x el lado original, en centímetros. El nuevo lado mide x + 3 y su área es (x + 3)2 = 64. Entonces x + 3 = 8 o x + 3 = −8, de donde x = 5 o x = −11. Se descarta −11, porque un lado no puede medir una cantidad negativa. El lado original mide 5 cm; con el aumento, 8 cm, y 82 = 64.

Q: ¿Cuáles son las medidas de un rectángulo de 40 m² de área y 26 m de perímetro?

Si el perímetro es 26 m, el largo y el ancho suman 13 m. Sea x el ancho; el largo es 13 − x. El área da la ecuación x(13 − x) = 40, que se ordena como x2 − 13x + 40 = 0 y se factoriza como (x − 5)(x − 8) = 0. Las soluciones son 5 y 8, y las dos describen el mismo rectángulo: mide 5 m por 8 m. Comprobación: 5 · 8 = 40 y 2(5 + 8) = 26.

Q: ¿Cuántos lados tiene un polígono convexo con 20 diagonales?

Desde cada vértice de un polígono de n lados salen n − 3 diagonales (no se cuentan el propio vértice ni sus dos vecinos), y cada diagonal se cuenta dos veces, una por cada extremo. Así, hay n(n − 3)/2 diagonales. La ecuación n(n − 3)/2 = 20 da n2 − 3n − 40 = 0, o sea, (n − 8)(n + 5) = 0. Se descarta n = −5, porque la cantidad de lados de un polígono no puede ser negativa. El polígono tiene 8 lados: es un octágono.

Q: ¿Para qué valor de k la ecuación x² + 6x + k = 0 tiene una sola solución?

Una ecuación de segundo grado tiene una sola solución real cuando su discriminante vale cero. Aquí Δ = 62 − 4 · 1 · k = 36 − 4k, y 36 − 4k = 0 cuando k = 9. Con ese valor la ecuación es x2 + 6x + 9 = 0, es decir, (x + 3)2 = 0, y su única solución es x = −3. Si k < 9 hay dos soluciones reales, y si k > 9, ninguna.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 22 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

Muchas situaciones llevan a una ecuación en la que la incógnita aparece al cuadrado: el área de un terreno, el tiempo que tarda en caer un objeto o la forma de repartir un gasto. En noveno año, el programa del MEP pide plantear y resolver problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita y usar distintos métodos para resolverlas: factorización, completar cuadrados, la fórmula general, la gráfica o la calculadora.

Resolver la ecuación es solo una parte del trabajo. Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una o ninguna, y no todas tienen por qué servir: un largo no puede ser negativo ni una cantidad de personas, fraccionaria. En esta lección vas a practicar el proceso completo con problemas resueltos. Todos los datos son inventados para practicar.

Definición

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede escribir en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Sus soluciones o raíces son los valores de x que la hacen verdadera. En un problema, solo se aceptan las soluciones que tienen sentido en la situación.

Las herramientas para resolver#

Producto nulo. Si A · B = 0, entonces A = 0 o B = 0. Por eso, si la ecuación se factoriza como (x − p)(x − q) = 0, sus soluciones son x = p y x = q.
Raíz cuadrada. Si x² = k y k ≥ 0, entonces x = √k o x = −√k. Sirve cuando no hay término en x.
Completar cuadrados. Se escribe el lado con x como (x + h)² y se despeja con la raíz cuadrada.
Fórmula general. Sirve siempre, aunque la ecuación no se pueda factorizar fácilmente.

Fórmula

x = (−b ± √Δ)/(2a), con Δ = b² − 4ac

El discriminante Δ dice cuántas soluciones reales hay: dos si Δ > 0, una si Δ = 0 y ninguna si Δ < 0.

También se puede pensar en la gráfica: resolver ax² + bx + c = d es buscar los valores de x en los que la función y = ax² + bx + c toma el valor d. Por eso una calculadora graficadora permite estimar las soluciones antes de calcularlas.

Cómo plantear un problema#

Lee el problema completo e identifica qué se pregunta.
Escoge la incógnita y escribe qué representa, con sus unidades: «x = ancho del terreno, en metros».
Expresa las demás cantidades en términos de la incógnita y escribe la ecuación.
Pasa todo a un lado para tener la forma ax² + bx + c = 0 y resuélvela con el método que más convenga.
Revisa cada solución en el contexto: descarta las que no tengan sentido y di por qué.
Comprueba con los datos del enunciado y responde con una oración completa y con unidades.

Problemas con números#

Ejemplo. El producto de dos números enteros consecutivos es 132. ¿Cuáles son?

Solución. Sea n el menor; el siguiente es n + 1. La ecuación es n(n + 1) = 132, es decir, n² + n − 132 = 0. Se buscan dos números que multiplicados den −132 y sumados den 1: son 12 y −11. Entonces (n + 12)(n − 11) = 0, y n = −12 o n = 11. Aquí las dos soluciones sirven, porque se habla de enteros: los números son 11 y 12, o bien −12 y −11. Se comprueba: 11 · 12 = 132 y (−12) · (−11) = 132. Si el problema dijera «números naturales», solo quedarían 11 y 12.

Este ejemplo muestra que no siempre se descarta una solución: depende de lo que permita el enunciado.

Problemas de áreas#

Ejemplo. El huerto de un colegio es rectangular, tiene 54 m² de área y su largo mide 3 m más que su ancho. ¿Cuáles son sus medidas?

Solución. Sea x el ancho, en metros; el largo es x + 3. El área es x(x + 3) = 54, o sea, x² + 3x − 54 = 0. Por inspección, 9 y −6 multiplican −54 y suman 3: (x + 9)(x − 6) = 0, así que x = −9 o x = 6. Se descarta x = −9, porque una longitud no puede ser negativa. El ancho es 6 m y el largo, 9 m; se comprueba que 6 · 9 = 54.

La misma ecuación se puede resolver completando cuadrados: x² + 3x = 54; se suma (3/2)² = 2,25 a los dos lados y queda (x + 1,5)² = 56,25. Entonces x + 1,5 = 7,5 o x + 1,5 = −7,5, de donde x = 6 o x = −9. El resultado no depende del método.

Ejemplo. Una piscina rectangular de 10 m por 6 m se rodea con un andén de ancho uniforme. Si el andén ocupa 36 m², ¿cuánto mide su ancho?

Solución. Sea x el ancho del andén, en metros. La piscina con el andén forma un rectángulo de (10 + 2x) por (6 + 2x), porque el andén aparece a los dos lados de cada medida. El área del andén es la del rectángulo grande menos la de la piscina: (10 + 2x)(6 + 2x) − 60 = 36. Al desarrollar, 60 + 32x + 4x² − 60 = 36, es decir, 4x² + 32x − 36 = 0, y al dividir entre 4, x² + 8x − 9 = 0. Con la fórmula general, Δ = 64 + 36 = 100 y x = (−8 ± 10)/2: x = 1 o x = −9. Se descarta −9, porque un ancho no puede ser negativo. El andén mide 1 m de ancho. Comprobación: el rectángulo grande mide 12 m por 8 m, y 96 − 60 = 36.

Una caída libre y un gasto compartido#

El programa del MEP da como ejemplo el modelo d = 4,9t² para la distancia que recorre una bola que se deja caer, t segundos después de soltarla. En este problema la distancia se mide en metros y se supone que el aire no frena la caída.

Ejemplo. Se deja caer una piedra desde un puente que está a 44,1 m sobre el agua. ¿Cuánto tarda en llegar al agua?

Solución. Hay que hallar t para que 4,9t² = 44,1. Al dividir entre 4,9, t² = 9, así que t = 3 o t = −3. Se descarta t = −3, porque el tiempo se cuenta desde que se suelta la piedra y no puede ser negativo. La piedra tarda 3 segundos. Comprobación: 4,9 · 3² = 4,9 · 9 = 44,1.

Ejemplo. Un grupo de estudiantes alquila una buseta para una gira por ₡60 000 y paga en partes iguales. Si fueran 5 estudiantes más, cada uno pagaría ₡1000 menos. ¿Cuántos estudiantes son?

Solución. Sea n la cantidad de estudiantes. Cada uno paga 60 000/n colones; si fueran n + 5, pagarían 60 000/(n + 5). La diferencia es 1000: 60 000/n − 60 000/(n + 5) = 1000. Al multiplicar los dos lados por n(n + 5): 60 000(n + 5) − 60 000n = 1000n(n + 5), o sea, 300 000 = 1000n² + 5000n. Al dividir entre 1000 y ordenar: n² + 5n − 300 = 0, que se factoriza como (n + 20)(n − 15) = 0. Se descarta n = −20, porque no hay cantidades negativas de personas. Son 15 estudiantes. Comprobación: 60 000/15 = ₡4000 y 60 000/20 = ₡3000, que es ₡1000 menos.

Cuando el problema no tiene solución#

El discriminante también sirve para saber de antemano si lo que pide un problema es posible.

Ejemplo. ¿Existen dos números reales cuya suma sea 8 y cuyo producto sea 20?

Solución. Si uno de los números es x, el otro es 8 − x, y la condición es x(8 − x) = 20. Al ordenar: x² − 8x + 20 = 0. El discriminante es Δ = (−8)² − 4 · 1 · 20 = 64 − 80 = −16, que es negativo, así que la ecuación no tiene soluciones reales: no existen esos números.

La gráfica explica por qué. La función y = x(8 − x) es una parábola que abre hacia abajo, con vértice en x = 4 y valor máximo 4 · 4 = 16. El producto de dos números que suman 8 nunca pasa de 16, así que no puede llegar a 20.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el número positivo cuyo cuadrado, sumado con el triple del número, da 70?#

Si el número es x, la condición es x² + 3x = 70. Se pasa todo a un lado: x² + 3x − 70 = 0. Dos números que multiplicados dan −70 y sumados dan 3 son 10 y −7, así que (x + 10)(x − 7) = 0 y x = −10 o x = 7. Como se pide un número positivo, se descarta −10. El número es 7; se comprueba: 49 + 21 = 70.

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si, al aumentar cada lado en 3 cm, el área queda en 64 cm²?#

Sea x el lado original, en centímetros. El nuevo lado mide x + 3 y su área es (x + 3)² = 64. Entonces x + 3 = 8 o x + 3 = −8, de donde x = 5 o x = −11. Se descarta −11, porque un lado no puede medir una cantidad negativa. El lado original mide 5 cm; con el aumento, 8 cm, y 8² = 64.

¿Cuáles son las medidas de un rectángulo de 40 m² de área y 26 m de perímetro?#

Si el perímetro es 26 m, el largo y el ancho suman 13 m. Sea x el ancho; el largo es 13 − x. El área da la ecuación x(13 − x) = 40, que se ordena como x² − 13x + 40 = 0 y se factoriza como (x − 5)(x − 8) = 0. Las soluciones son 5 y 8, y las dos describen el mismo rectángulo: mide 5 m por 8 m. Comprobación: 5 · 8 = 40 y 2(5 + 8) = 26.

¿Cuántos lados tiene un polígono convexo con 20 diagonales?#

Desde cada vértice de un polígono de n lados salen n − 3 diagonales (no se cuentan el propio vértice ni sus dos vecinos), y cada diagonal se cuenta dos veces, una por cada extremo. Así, hay n(n − 3)/2 diagonales. La ecuación n(n − 3)/2 = 20 da n² − 3n − 40 = 0, o sea, (n − 8)(n + 5) = 0. Se descarta n = −5, porque la cantidad de lados de un polígono no puede ser negativa. El polígono tiene 8 lados: es un octágono.

¿Para qué valor de k la ecuación x² + 6x + k = 0 tiene una sola solución?#

Una ecuación de segundo grado tiene una sola solución real cuando su discriminante vale cero. Aquí Δ = 6² − 4 · 1 · k = 36 − 4k, y 36 − 4k = 0 cuando k = 9. Con ese valor la ecuación es x² + 6x + 9 = 0, es decir, (x + 3)² = 0, y su única solución es x = −3. Si k < 9 hay dos soluciones reales, y si k > 9, ninguna.