En la feria del agricultor, Lucía compra 3 kilos de papas y, en otro puesto, 5 kilos más: en total lleva 8 kilos de papas. Nadie diría que lleva «8 kilos de papa al cuadrado», y tampoco sumaría los kilos de papa con los manojos de culantro como si fueran la misma cosa. Con las letras del álgebra pasa lo mismo: 3x + 5x = 8x, pero 3x + 5y no se puede juntar en un solo término. Esa es la idea que está detrás de los monomios semejantes.
Cada regla es una que ya usas con los números: el álgebra solo la escribe de forma general, con letras.
Definición
Un monomio es una expresión algebraica de un solo término: un número, o un número multiplicado por una o varias letras, en la que las letras llevan exponentes naturales y no aparecen en un denominador ni dentro de una raíz. Por ejemplo, −5x2y, (3/4)ab y 7m son monomios. Un número solo, como 12, también es un monomio.
Las partes de un monomio: coeficiente, factor literal y grado#
Todo monomio tiene dos partes. El coeficiente o factor numérico es el número que multiplica, con su signo. El factor literal está formado por las letras con sus exponentes. Si delante de las letras no aparece ningún número, el coeficiente vale 1, o −1 si solo hay un signo menos, como se ve en la tabla con m4 y −xy3z.
El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras. Una letra que no lleva exponente escrito tiene exponente 1, y un número solo tiene grado 0.
| Monomio | Coeficiente | Factor literal | Grado |
|---|---|---|---|
| −8a2b | −8 | a2b | 2 + 1 = 3 |
| m4 | 1 | m4 | 4 |
| −xy3z | −1 | xy3z | 1 + 3 + 1 = 5 |
| (2/5)p2q2 | 2/5 | p2q2 | 2 + 2 = 4 |
| 15 | 15 | no tiene | 0 |
En cambio, no son monomios 4x + 1, porque tiene dos términos; 6/y, porque la letra está en el denominador, ni √x, porque la letra está dentro de una raíz. Las tres son expresiones algebraicas, pero ninguna es un monomio.
Cómo reconocer monomios semejantes#
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen exactamente el mismo factor literal: las mismas letras, y cada letra con el mismo exponente. Los coeficientes pueden ser distintos. Para reconocerlos, se separa en cada monomio su coeficiente de su factor literal y se comparan solo los factores literales.
- 9x2y y −(1/3)x2y son semejantes: los dos tienen el factor literal x2y.
- 4ab2 y 4a2b no son semejantes: tienen las mismas letras y el mismo coeficiente, pero los exponentes están intercambiados.
- 6mn y −nm sí son semejantes, porque el orden de los factores no altera el producto: nm = mn.
- 7t3 y 7t no son semejantes: la letra es la misma, pero el exponente no.
Los números solos, como 5 y −11, también son semejantes entre sí, porque ninguno tiene factor literal.
Ejemplo. Agrupa en familias de monomios semejantes: 3x2, −w, 0,5x2, 8xw, −2w, wx.
Solución. Hay tres familias. Con factor literal x2 están 3x2 y 0,5x2. Con factor literal w están −w y −2w. Con factor literal xw están 8xw y wx, porque wx es lo mismo que xw.
Suma y resta de monomios#
Solo los monomios semejantes se pueden reducir a uno solo. Para sumarlos o restarlos se suman o se restan los coeficientes y se conserva el mismo factor literal. Es la propiedad distributiva leída de derecha a izquierda: 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x, igual que 3 docenas de huevos más 5 docenas son 8 docenas.
Fórmula
a·xn + b·xn = (a + b)·xn
El factor literal no cambia al sumar: xn + xn es 2xn, nunca x2n.
Ejemplo. Calcula 6k3 − 11k3 + 2k3.
Solución. Los tres monomios son semejantes, con factor literal k3. Se operan los coeficientes: 6 − 11 + 2 = −3. El resultado es −3k3.
Ejemplo. Calcula (3/4)ab + (1/6)ab.
Solución. Se suman las fracciones con el denominador común 12: 3/4 = 9/12 y 1/6 = 2/12, así que 9/12 + 2/12 = 11/12. El resultado es (11/12)ab.
Para restar un monomio se suma su opuesto. Si el monomio que se resta es negativo, los dos signos menos se combinan en uno más: 4p2q − (−9p2q) = 4p2q + 9p2q = 13p2q.
Cuando en una expresión hay monomios de varias familias, se reduce cada familia por separado y los que no son semejantes quedan indicados: 8a − 3b + 2a + 7b − a = 9a + 4b. Ese resultado ya no se simplifica más; escribir 13ab sería un error.
Multiplicación de monomios#
Para multiplicar monomios no hace falta que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes, con la regla de los signos de los números enteros, y después los factores literales: cada letra se escribe una sola vez y sus exponentes se suman, porque am · an = am + n.
Ejemplo. Multiplica (−3x2y)(5xy4).
Solución. Coeficientes: (−3)(5) = −15. Letras: x2 · x = x3; y · y4 = y5. El producto es −15x3y5. Su grado, 8, es la suma de los grados de los dos factores, 3 y 5.
Ejemplo. Multiplica (3/5)a3 por −(10/9)ab2.
Solución. Coeficientes: (3/5)(−10/9) = −30/45 = −2/3. Letras: a3 · a = a4, y b2 pasa tal cual, porque solo aparece en un factor. El producto es −(2/3)a4b2.
Ejemplo. La huerta del colegio es un rectángulo de 4n metros de largo y 3n metros de ancho. ¿Qué monomio da su área? ¿Cuánto mide el área si n = 2,5?
Solución. Área = largo · ancho = (4n)(3n) = 12n2 metros cuadrados. Con n = 2,5 queda 12 · 2,52 = 12 · 6,25 = 75 m2. Se puede comprobar con las medidas: el largo mide 10 m y el ancho 7,5 m, y 10 · 7,5 = 75. El perímetro, en cambio, es una suma de semejantes: 4n + 3n + 4n + 3n = 14n, que con n = 2,5 da 35 m.
División de monomios#
Para dividir un monomio entre otro distinto de cero, se divide coeficiente entre coeficiente y, en cada letra que se repite, al exponente del dividendo se le quita el del divisor, porque am ÷ an = am − n. Si una letra queda con exponente 0, desaparece del resultado, ya que a0 = 1 cuando a ≠ 0.
Ejemplo. Divide 20a4b3 entre −4ab.
Solución. Coeficientes: 20 ÷ (−4) = −5. Letras: a4 ÷ a = a3; b3 ÷ b = b2. El cociente es −5a3b2. La división se comprueba con una multiplicación: (−4ab)(−5a3b2) = 20a4b3, que es el dividendo.
Ejemplo. Divide 21m5n2 entre 7m5n.
Solución. 21 ÷ 7 = 3; m5 ÷ m5 = m0 = 1; n2 ÷ n = n. El cociente es 3n: la letra m ya no aparece.
Si alguna letra del divisor tiene un exponente mayor que en el dividendo, el cociente no es un monomio. Por ejemplo, 10x2 ÷ 5x4 = 2/x2, que tiene la letra en el denominador. Ese tipo de expresiones se estudia en noveno año.
Errores frecuentes y cómo detectarlos#
Una manera sencilla de revisar una operación con monomios es darle un valor a cada letra y comparar los dos lados. En la tabla se usa x = 3 (y, cuando aparece, y = 1):
| Lo que se escribió mal | Lo correcto | Prueba con números |
|---|---|---|
| 2x + 4x = 6x2 | 2x + 4x = 6x | 6 + 12 = 18, que es 6 · 3; en cambio, 6 · 32 = 54 |
| x · x = 2x | x · x = x2 | 3 · 3 = 9, que es 32; en cambio, 2 · 3 = 6 |
| 5x + 2y = 7xy | 5x + 2y no se reduce | 15 + 2 = 17; en cambio, 7 · 3 · 1 = 21 |
| (4x3)(2x2) = 8x6 | (4x3)(2x2) = 8x5 | 108 · 18 = 1944, que es 8 · 35; en cambio, 8 · 36 = 5832 |
Probar con un número no demuestra que una regla valga para todos los valores, pero un solo caso que no coincida basta para saber que hay un error. Recuerda la diferencia: al sumar semejantes, los exponentes se quedan iguales; al multiplicar, los exponentes de cada letra se suman.
Ponte a prueba#
¿Son semejantes los monomios 6a²b y −6ab²?#
No. Para ser semejantes deben tener el mismo factor literal, con las mismas letras y los mismos exponentes. En 6a2b la a tiene exponente 2 y la b exponente 1; en −6ab2 ocurre al revés. Que los coeficientes tengan el mismo valor absoluto no importa: lo que decide es el factor literal. Por eso la resta 6a2b − 6ab2 no se puede reducir a un solo término.
¿Cuánto da 8y³ − 3y³ + y³ − 10y³?#
Los cuatro monomios son semejantes, porque todos tienen el factor literal y3. Se operan solo los coeficientes, recordando que y3 tiene coeficiente 1: 8 − 3 + 1 − 10 = −4. El resultado es −4y3. El exponente no cambia al sumar o restar: sigue siendo 3.
¿Cuál es el producto de −4m²n por −2,5mn³?#
Primero se multiplican los coeficientes: (−4)(−2,5) = 10, con signo más, porque el producto de dos números negativos es positivo. Después las letras, sumando los exponentes: m2 · m = m3 y n · n3 = n4. El producto es 10m3n4, un monomio de grado 7.
¿Cuánto da 35x⁵y² dividido entre −7x²y?#
Se dividen los coeficientes: 35 ÷ (−7) = −5. Luego se restan los exponentes de cada letra: x5 ÷ x2 = x3, y en la otra letra y2 ÷ y da y. El cociente es −5x3y. Para comprobarlo se multiplica por el divisor: (−7x2y)(−5x3y) = 35x5y2, que es el dividendo.
¿Qué monomio representa el área de un cuadrado de lado 6c y cuánto vale si c = 1,5?#
El área de un cuadrado es lado por lado: (6c)(6c). Se multiplican los coeficientes, 6 · 6 = 36, y las letras, c · c = c2. El área es 36c2. Si c = 1,5, el área vale 36 · 1,52 = 36 · 2,25 = 81. Se comprueba con la medida del lado: 6 · 1,5 = 9 y 9 · 9 = 81.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
