Suma, resta, multiplicación y división de números enteros

Una deuda que crece, una temperatura que baja, un buzo que desciende o un marcador de juego que suma y resta puntos: todas esas situaciones se calculan con operaciones de números enteros. Las reglas se parecen a las que ya conoces para la suma y la multiplicación de números naturales, con una diferencia: ahora hay que llevar la cuenta del signo.

En esta lección vas a aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, a entender por qué funciona la ley de signos y a usar estas operaciones para resolver problemas.

Suma de números enteros#

En la recta numérica, sumar un número positivo es avanzar hacia la derecha y sumar un número negativo es avanzar hacia la izquierda. Por ejemplo, 3 + (−8) se representa así: se parte del 3 y se avanzan 8 unidades hacia la izquierda; se llega al −5. Para no dibujar la recta cada vez, se usan dos reglas:

• Si los sumandos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo: (−7) + (−5) = −12, porque 7 + 5 = 12 y los dos son negativos.
• Si tienen signos distintos, se resta el valor absoluto menor del mayor y se pone el signo del número que tiene mayor valor absoluto: (−9) + 4 = −5, porque 9 − 4 = 5 y el −9 tiene mayor valor absoluto; en cambio, 12 + (−5) = 7.

Un caso especial: un número más su opuesto da 0, porque se compensan. Por ejemplo, 15 + (−15) = 0.

Ejemplo. Andrés debe ₡2 500 a una compañera y pide prestados ₡1 500 más. ¿Qué número representa su situación?

Solución. Las dos deudas son negativas y se suman: (−2 500) + (−1 500) = −4 000. Andrés debe ₡4 000.

Ejemplo. Calcula 8 + (−3) + (−10) + 6.

Solución. Conviene juntar los positivos y los negativos por aparte: 8 + 6 = 14 y (−3) + (−10) = −13. Luego 14 + (−13) = 1. El resultado es 1.

Resta de números enteros#

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. Así, toda resta se convierte en una suma y se aplican las reglas anteriores.

Resta	Se convierte en	Resultado
4 − 9	4 + (−9)	−5
(−6) − 7	(−6) + (−7)	−13
(−3) − (−10)	(−3) + 10	7
0 − (−8)	0 + 8	8

En la recta numérica, el signo de la resta indica un cambio de sentido: para calcular (−3) − (−10) no se avanza 10 unidades a la izquierda, como indicaría el −10, sino 10 unidades a la derecha. Por eso restar un negativo hace que el resultado aumente.

Ejemplo. Un día, la temperatura máxima en un lugar fue de 5 °C y la mínima, de −4 °C. ¿Cuál fue la diferencia entre la máxima y la mínima?

Solución. Se resta la mínima de la máxima: 5 − (−4) = 5 + 4 = 9. La diferencia fue de 9 °C. En la recta se ve igual: del −4 al 0 hay 4 unidades y del 0 al 5 hay 5 más.

Ejemplo. Una buceadora está a 11 m bajo el nivel del mar y desciende 6 m más. ¿A qué profundidad queda?

Solución. Su posición inicial es −11 y descender es sumar un negativo: (−11) + (−6) = −17. Queda a 17 m bajo el nivel del mar.

Multiplicación de números enteros y la ley de signos#

Multiplicar un número positivo por un negativo se entiende como una suma repetida: 4 · (−3) = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12. Un positivo por un negativo da negativo.

Para el producto de dos negativos se usa la idea de opuesto: (−4) es el opuesto de 4, así que (−4) · (−3) es el opuesto de 4 · (−3). Como 4 · (−3) = −12, se tiene (−4) · (−3) = −(−12) = 12. Un negativo por un negativo da positivo.

La tabla muestra el mismo resultado con un patrón: cada vez que el segundo factor baja 1, el producto aumenta 3. Al pasar del 0 a los negativos, el patrón continúa y los productos se vuelven positivos.

Multiplicación	Producto
(−3) · 2	−6
(−3) · 1	−3
(−3) · 0	0
(−3) · (−1)	3
(−3) · (−2)	6

Signos de los factores	Signo del producto	Ejemplo
+ por +	+	6 · 7 = 42
− por −	+	(−6) · (−7) = 42
+ por −	−	6 · (−7) = −42
− por +	−	(−6) · 7 = −42

Con más de dos factores, si ninguno es 0, se cuentan los negativos: si hay una cantidad par de factores negativos, el producto es positivo; si hay una cantidad impar, es negativo.

Ejemplo. Calcula (−2) · (−5) · (−3) y (−1) · (−2) · 3 · (−4) · (−5).

Solución. En el primero hay tres factores negativos (cantidad impar): 2 · 5 · 3 = 30, y el producto es −30. En el segundo hay cuatro factores negativos (cantidad par): 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120, y el producto es 120.

División exacta de números enteros#

En sétimo año se trabajan divisiones de enteros con cociente entero y residuo cero. El signo del cociente sigue la misma ley de signos que la multiplicación, porque dividir es la operación inversa de multiplicar: (−36) ÷ (−4) = 9, porque 9 · (−4) = −36.

División	Cociente	Comprobación
(−36) ÷ (−4)	9	9 · (−4) = −36
45 ÷ (−9)	−5	(−5) · (−9) = 45
(−56) ÷ 7	−8	(−8) · 7 = −56
0 ÷ (−6)	0	0 · (−6) = 0

La división entre 0 no está definida: no existe ningún número que multiplicado por 0 dé, por ejemplo, −5.

Ejemplo. Un pequeño negocio perdió ₡84 000 en 4 meses, la misma cantidad cada mes. ¿Qué número representa el resultado de cada mes?

Solución. Se divide la pérdida total entre los meses: (−84 000) ÷ 4 = −21 000. Cada mes perdió ₡21 000. Comprobación: (−21 000) · 4 = −84 000.

Problemas con operaciones de números enteros#

Ejemplo. Marcos le debe ₡40 000 a su hermana. Le paga ₡15 000 y después le pide prestados ₡8 000 más. ¿Cuánto le debe ahora?

Solución. La deuda inicial es −40 000, el pago suma 15 000 y el nuevo préstamo es −8 000: (−40 000) + 15 000 + (−8 000) = (−25 000) + (−8 000) = −33 000. Marcos le debe ₡33 000.

Ejemplo. La temperatura dentro de un congelador es de −15 °C. Se desconecta y la temperatura sube 3 °C cada hora. ¿Qué temperatura tendrá después de 4 horas?

Solución. En 4 horas sube 4 · 3 = 12 grados. Entonces −15 + 12 = −3. Después de 4 horas tendrá −3 °C.

Ejemplo. En un concurso de preguntas, cada respuesta correcta suma 5 puntos y cada incorrecta resta 3. Valeria tuvo 6 correctas y 9 incorrectas. ¿Cuántos puntos obtuvo?

Solución. Las correctas dan 6 · 5 = 30 puntos y las incorrectas, 9 · (−3) = −27. En total, 30 + (−27) = 3. Valeria obtuvo 3 puntos.

Ejemplo. Un submarino de exploración desciende desde la superficie hasta −24 m en 6 tramos iguales. ¿Cuántos metros desciende en cada tramo?

Solución. Se divide: (−24) ÷ 6 = −4. En cada tramo desciende 4 m, es decir, su posición cambia en −4 m.

Dos propiedades del valor absoluto#

Con las operaciones ya aprendidas se pueden verificar con ejemplos dos propiedades. La primera: el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos, |a · b| = |a| · |b|. Por ejemplo, |(−3) · 5| = |−15| = 15 y |−3| · |5| = 3 · 5 = 15. La segunda: el valor absoluto de una suma nunca es mayor que la suma de los valores absolutos, |a + b| ≤ |a| + |b|. Por ejemplo, |(−3) + 5| = 2, que es menor que |−3| + |5| = 8.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es (−17) + 9 − (−6)?#

¿Por qué (−6) · (−7) da un resultado positivo?#

¿Cuánto es (−72) ÷ (−8) y cómo se comprueba?#

¿Cuál es la diferencia entre una temperatura máxima de 3 °C y una mínima de −9 °C?#

¿Qué signo tiene el producto (−1) · (−2) · (−1) · (−3) · (−2)?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)