Expresiones algebraicas: valor numérico y leyes de potencias

Si un bolígrafo cuesta ₡275, tres bolígrafos cuestan 275 · 3, y n bolígrafos cuestan 275n. La última escritura tiene una ventaja: sirve para cualquier cantidad de bolígrafos, porque basta reemplazar n para obtener su valor numérico. Las letras permiten escribir reglas generales, fórmulas y relaciones entre cantidades, y con ellas se forman las expresiones algebraicas.

Definición

Según el programa del MEP, una variable es «un símbolo que representa un número de un conjunto dado de números», y una expresión algebraica es «una colección de variables y constantes (números) que son combinadas con operaciones de suma, resta, división, multiplicación y potenciación». Por ejemplo, 4x − 7, 3a²b y (m + n)/2 son expresiones algebraicas.

Cómo reconocer una expresión algebraica#

Una expresión algebraica reúne números, letras y signos de operación, pero no lleva signo igual. El programa del MEP pide distinguirla de dos escrituras parecidas:

Escritura	Qué es	Ejemplo
Expresión algebraica	Números y letras unidos por operaciones, sin signo igual	5y² − 2y + 1
Ecuación	Una igualdad entre dos expresiones; puede cumplirse solo para algunos valores	3x + 4 = 19, que se cumple solo si x = 5
Identidad	Una igualdad que se cumple para todos los valores de las variables	4(x + 2) = 4x + 8

Las partes de una expresión separadas por los signos + o − se llaman términos. En el término −(4/5)k³m, el número −4/5 es el coeficiente o factor numérico, y k³m es la parte literal o factor literal. Un coeficiente que no se escribe vale 1, y un signo menos solo equivale a −1: el coeficiente de t⁴ es 1 y el de −ab es −1.

Del lenguaje común al lenguaje algebraico#

En palabras	En símbolos (n es el número)
El triple de la suma de un número y 4	3(n + 4)
La suma del triple de un número y 4	3n + 4
La mitad de un número, menos 6	n/2 − 6
El cuadrado de un número, menos 1	n² − 1
El cubo del antecesor de un número	(n − 1)³

Fíjate en el orden de las palabras: «el triple de la suma» dice que primero se suma y después se multiplica, y por eso hace falta el paréntesis. En «la suma del triple», primero se multiplica.

El valor numérico de una expresión#

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta al sustituir cada variable por un valor dado y efectuar las operaciones. Para no equivocarte:

Copia la expresión y cambia cada letra por su valor entre paréntesis, sobre todo si es negativo o es una fracción.
Resuelve respetando la prioridad de las operaciones: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas.
Revisa los signos: (−3)² = 9, pero −3² = −9.

Ejemplo. Calcula el valor numérico de 2x³ − 5x + 4 para x = −2.

Solución. Se sustituye con paréntesis: 2(−2)³ − 5(−2) + 4. La potencia va primero: (−2)³ = −8. Queda 2(−8) + 10 + 4 = −16 + 10 + 4 = −2.

Ejemplo. Calcula el valor numérico de (a − b)/(a + b) para a = 1/2 y b = −1/3.

Solución. El numerador es 1/2 − (−1/3) = 1/2 + 1/3 = 5/6, y el denominador, 1/2 + (−1/3) = 1/2 − 1/3 = 1/6. Entonces el valor es (5/6) ÷ (1/6) = 5.

Ejemplo. El área de un trapecio se calcula con la expresión (B + b) · h ÷ 2, donde B y b son las bases y h es la altura. ¿Cuál es el área si B = 7,5 m, b = 4,3 m y h = 2,8 m?

Solución. (7,5 + 4,3) · 2,8 ÷ 2 = 11,8 · 2,8 ÷ 2 = 33,04 ÷ 2 = 16,52 m². Aquí B y b son letras distintas: la mayúscula y la minúscula representan medidas diferentes.

Ejemplo. Para una venta de tamales, una cooperativa estudiantil calcula su ganancia con la expresión 600t − 15 000, donde t es la cantidad de tamales vendidos. ¿Cuál es la ganancia si se venden 40 tamales? ¿Y si se venden 20?

Solución. Con t = 40: 600 · 40 − 15 000 = 24 000 − 15 000 = ₡9000. Con t = 20: 600 · 20 − 15 000 = 12 000 − 15 000 = −₡3000. El valor negativo indica una pérdida: con 20 tamales no se recuperan los ₡15 000 de gastos fijos.

Hay valores para los que una expresión no tiene valor numérico. En (x + 1)/(x − 3), si x = 3 el denominador vale 0, y no se puede dividir entre cero.

Las leyes de potencias#

Con n natural, aⁿ es una forma corta de escribir un producto en el que a aparece n veces como factor. Las leyes que ya conoces con las potencias de números valen también cuando la base es una variable, porque una variable representa un número. Si a y b son distintos de cero, y m y n son enteros:

Ley	En símbolos	Con números	Con variables
Producto de potencias de igual base	a^m · aⁿ = a^{m + n}	3² · 3³ = 3⁵ = 243	x⁴ · x⁶ = x¹⁰
Cociente de potencias de igual base	a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}	5⁷ ÷ 5⁵ = 5² = 25	y⁸ ÷ y³ = y⁵
Potencia de una potencia	(a^m)ⁿ = a^{m · n}	(2³)² = 2⁶ = 64	(m²)⁷ = m¹⁴
Potencia de un producto	(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(4 · 5)² = 4² · 5² = 400	(2x)⁴ = 16x⁴
Potencia de un cociente	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(5/2)³ = 125/8	(y/5)² = y²/25
Exponente cero	a⁰ = 1	11⁰ = 1	(−2pq)⁰ = 1
Exponente negativo	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	6⁻² = 1/36	m⁻³ = 1/m³

Las leyes del producto y del cociente solo se aplican a potencias de la misma base: en x³ · y² las bases son distintas y los exponentes no se juntan. Y ninguna ley sirve para sumar o restar: x² + x³ no es x⁵, y (x + y)² no es x² + y². Basta un caso para verlo: (1 + 2)² = 9, mientras que 1² + 2² = 5.

Simplificar expresiones con las leyes de potencias#

Simplificar es escribir la expresión de la forma más corta posible, con cada base una sola vez y sin exponentes negativos ni exponente cero. Los coeficientes se operan como números, y a cada letra se le aplican las leyes de potencias. En los ejemplos, las variables son distintas de cero.

Ejemplo. Simplifica (4a²b)(−3a⁵b⁴).

Solución. Los coeficientes se multiplican: 4 · (−3) = −12. Con la base a se suman los exponentes: a^{2 + 5} = a⁷; con la base b, b^{1 + 4} = b⁵, porque b sin exponente es b¹. Resultado: −12a⁷b⁵.

Ejemplo. Simplifica 18x⁷y³ ÷ (6x²y).

Solución. 18 ÷ 6 = 3; x^{7 − 2} = x⁵; y^{3 − 1} = y². Resultado: 3x⁵y².

Ejemplo. Simplifica (−2m³n²)³.

Solución. Cada factor se eleva al cubo: (−2)³ · (m³)³ · (n²)³ = −8m⁹n⁶. El signo queda negativo porque la base −2 está elevada a un exponente impar.

Ejemplo. Simplifica (x⁴)³ · x⁻⁵ ÷ x².

Solución. Se empieza por la potencia de una potencia: (x⁴)³ = x¹². Luego el producto: x¹² · x⁻⁵ = x⁷. Por último el cociente: x⁷ ÷ x² = x⁵.

Ejemplo. Simplifica (3a²/b³)² · b⁸/(9a³).

Solución. (3a²/b³)² = 9a⁴/b⁶. Al multiplicar por b⁸/(9a³), el 9 se cancela, a⁴ ÷ a³ = a y b⁸ ÷ b⁶ = b². Resultado: ab².

Multiplicar exponentes donde hay que sumarlos: y³ · y⁶ = y⁹, no y¹⁸.
Olvidar elevar el coeficiente: (4t)² = 16t², no 4t².
Confundir 5a² con (5a)²: en el primero solo a va al cuadrado; el segundo es 25a².
Leer el signo menos del exponente como un resultado negativo: x⁻² = 1/x², un valor positivo para cualquier x distinto de cero.

Simplificar primero y sustituir después#

Cuando una expresión tiene muchas potencias, conviene simplificarla antes de sustituir: las cuentas son más cortas y hay menos riesgo de error.

Ejemplo. Calcula el valor numérico de 12x⁵y³ ÷ (4x³y) para x = −2 y y = 5.

Solución. Primero se simplifica: 12 ÷ 4 = 3, x^{5 − 3} = x² y y^{3 − 1} = y², así que la expresión es 3x²y². Luego se sustituye: 3 · (−2)² · 5² = 3 · 4 · 25 = 300. Sustituir de una vez también lleva a 300, pero por un camino más largo: arriba queda 12 · (−32) · 125 = −48 000, abajo 4 · (−8) · 5 = −160, y −48 000 ÷ (−160) = 300.

Ejemplo. Calcula el valor numérico de (a²)³ · a⁻⁴ para a = 3/2.

Solución. Se simplifica: (a²)³ · a⁻⁴ = a⁶ · a⁻⁴ = a². Con a = 3/2, el valor es (3/2)² = 9/4.

Ponte a prueba#

¿Cuál de estas escrituras es una expresión algebraica: 3x − 8 = 10, 3x − 8 o 3(x − 8) = 3x − 24?#

La expresión algebraica es 3x − 8, porque combina un número, una variable y operaciones sin signo igual. La primera, 3x − 8 = 10, es una ecuación: solo se cumple cuando x = 6, ya que 3 · 6 − 8 = 10. La tercera es una identidad: se cumple para cualquier valor de x, porque al multiplicar 3 por cada término del paréntesis se obtiene 3x − 24.

¿Cuál es el valor numérico de x² − 4x + 1 para x = −3?#

Se sustituye x por (−3), con paréntesis: (−3)² − 4(−3) + 1. La potencia da 9, porque el exponente par vuelve positivo el resultado, y −4 · (−3) = 12. Entonces el valor es 9 + 12 + 1 = 22. Sin el paréntesis se podría calcular por error −3² = −9 y obtener un resultado equivocado.

¿Cómo se simplifica (5a³b)² · a⁻⁴?#

Primero se eleva al cuadrado cada factor del paréntesis: 5² = 25, (a³)² = a⁶ y b² = b², así que (5a³b)² = 25a⁶b². Luego se multiplica por a⁻⁴ sumando los exponentes de a: 6 + (−4) = 2. El resultado es 25a²b², con a distinto de cero.

¿Por qué m² · m⁵ es igual a m⁷ y no a m¹⁰?#

Porque m² son dos factores m y m⁵ son cinco factores m. Al juntarlos en un solo producto quedan 2 + 5 = 7 factores m, es decir, m⁷. Los exponentes se multiplican en otro caso, la potencia de una potencia: (m²)⁵ son cinco grupos de dos factores, 10 factores en total, o sea, m¹⁰.

¿Cuánto vale el perímetro 2(2x + 3) + 2x de un rectángulo de largo 2x + 3 y ancho x cuando x = 4,5?#

Se sustituye x por 4,5. Dentro del paréntesis, 2 · 4,5 + 3 = 9 + 3 = 12, así que el largo mide 12. El primer término vale 2 · 12 = 24, y el segundo, 2 · 4,5 = 9. El perímetro es 24 + 9 = 33. Se puede comprobar sumando los cuatro lados: 12 + 12 + 4,5 + 4,5 = 33.