Intervalos de números reales: notación, gráfica y comprensión

Las soluciones de una desigualdad como 2x − 3 < 7 no son un solo número, sino infinitos: todos los números reales menores que 5. Para escribir conjuntos así, formados por todos los reales entre dos extremos o desde un extremo en adelante, se usan los intervalos. En décimo año sirven para escribir soluciones de inecuaciones y dominios de funciones.

En esta lección vas a representar intervalos de tres formas, con la notación del programa del MEP: en notación de intervalo, por comprensión y en la recta numérica. También vas a pasar de una forma a otra y a usar intervalos en problemas.

La notación del programa del MEP#

Para no confundir un intervalo con el par ordenado (a, b), el programa del MEP escribe los intervalos con corchetes: el corchete mira hacia adentro si el extremo está incluido y hacia afuera si está excluido.

• [a, b] es un intervalo cerrado: incluye a y b.
• ]a, b[ es un intervalo abierto: no incluye ni a ni b.
• [a, b[ y ]a, b] son semiabiertos: incluyen un extremo y el otro no.

En la recta numérica, un extremo incluido se marca con un punto relleno (●) y uno excluido, con un punto hueco (○); entre ellos se resalta el segmento. Si el intervalo no termina, se resalta una semirrecta con una flecha. Las ocho formas posibles son:

Notación de intervalo	Por comprensión	En la recta numérica
[a, b]	{x | x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b}	● en a, ● en b y el segmento entre ellos
]a, b[	{x | x ∈ ℝ, a < x < b}	○ en a, ○ en b y el segmento entre ellos
[a, b[	{x | x ∈ ℝ, a ≤ x < b}	● en a, ○ en b y el segmento entre ellos
]a, b]	{x | x ∈ ℝ, a < x ≤ b}	○ en a, ● en b y el segmento entre ellos
[a, ∞[	{x | x ∈ ℝ, x ≥ a}	● en a y flecha hacia la derecha
]a, ∞[	{x | x ∈ ℝ, x > a}	○ en a y flecha hacia la derecha
]−∞, a]	{x | x ∈ ℝ, x ≤ a}	● en a y flecha hacia la izquierda
]−∞, a[	{x | x ∈ ℝ, x < a}	○ en a y flecha hacia la izquierda

En otros libros se usan paréntesis para los extremos abiertos, por ejemplo (a, b) en lugar de ]a, b[. Significan lo mismo, pero en el colegio se sigue la notación del programa.

Intervalos acotados#

Cuando los dos extremos son números, el intervalo es acotado y su longitud es b − a, estén o no incluidos los extremos. Aunque mida poco, un intervalo acotado contiene infinitos números reales: entre dos números reales distintos siempre hay otro, por ejemplo, su promedio.

Ejemplo. Para el intervalo [−2, 3[, di si pertenecen −2, 3, 2,99 y 1/3; calcula su longitud y cuenta cuántos números enteros contiene.

Solución. −2 ∈ [−2, 3[, porque el corchete lo incluye; 3 ∉ [−2, 3[, porque el corchete lo excluye; 2,99 y 1/3 sí pertenecen, porque están entre −2 y 3. La longitud es 3 − (−2) = 5. Los enteros del intervalo son −2, −1, 0, 1 y 2, es decir, cinco; en cambio, los números reales que contiene son infinitos.

No hay que confundir el intervalo [1, 4], que contiene todos los reales desde 1 hasta 4, con el conjunto {1, 2, 3, 4}, que tiene solo cuatro elementos. El conjunto {x | x ∈ ℤ, 1 ≤ x ≤ 4} es igual a {1, 2, 3, 4} y no es un intervalo, porque le faltan, por ejemplo, 1,5 y √2.

Intervalos no acotados#

El símbolo ∞ (infinito) indica que el intervalo no termina por ese lado. No es un número: ningún número real es igual a ∞, así que ese extremo nunca se incluye y siempre lleva el corchete hacia afuera. Por ejemplo, [−1, ∞[ contiene el −1 y todos los reales mayores que él, y ]−∞, 0[ contiene todos los negativos. La recta completa también se escribe como intervalo, sin ningún extremo: ℝ = ]−∞, ∞[.

Ejemplo. Escribe en notación de intervalo y describe la gráfica de: a) los reales x tales que x ≥ −1; b) los reales x tales que x < 4; c) los números reales positivos.

Solución. a) [−1, ∞[: punto relleno en −1 y flecha hacia la derecha. b) ]−∞, 4[: punto hueco en 4 y flecha hacia la izquierda. c) Los positivos son los mayores que 0, sin incluir el 0, así que forman ]0, ∞[: punto hueco en 0 y flecha hacia la derecha.

Pasar de una representación a otra#

Las inecuaciones son la fuente más común de intervalos. Se resuelven como una ecuación, con una diferencia: al multiplicar o dividir los dos lados por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo. Resuelve 5 − 2x > 1 y escribe la solución como intervalo y por comprensión.

Solución. Se resta 5 a los dos lados: −2x > −4. Se divide entre −2 y la desigualdad cambia de sentido: x < 2. La solución es ]−∞, 2[ = {x | x ∈ ℝ, x < 2}, con punto hueco en 2 y flecha hacia la izquierda. Se comprueba con un valor del intervalo: si x = 0, entonces 5 − 0 = 5, y 5 > 1.

Ejemplo. Resuelve la doble desigualdad −3 ≤ 2x + 1 < 9.

Solución. Se resta 1 en las tres partes: −4 ≤ 2x < 8. Se divide entre 2, que es positivo, así que no cambia nada: −2 ≤ x < 4. La solución es [−2, 4[ = {x | x ∈ ℝ, −2 ≤ x < 4}: punto relleno en −2, punto hueco en 4 y el segmento entre ellos.

Ejemplo. En una recta numérica hay un punto hueco en −5, un punto relleno en 1/2 y el segmento entre ellos resaltado. ¿Qué intervalo es?

Solución. El −5 está excluido y el 1/2 está incluido, así que es ]−5, 1/2], que por comprensión se escribe {x | x ∈ ℝ, −5 < x ≤ 1/2}.

Un consejo práctico: si un extremo lleva coma decimal, como 2,5, conviene escribirlo como fracción (5/2) para que esa coma no se confunda con la que separa los extremos.

Intervalos en situaciones de la vida diaria#

Las situaciones siguientes son inventadas para practicar.

• Una beca es para estudiantes con al menos 12 años cumplidos y menos de 18. Las edades posibles forman el intervalo [12, 18[.
• Un experimento debe hacerse a una temperatura entre 20 °C y 25 °C, ambas incluidas: [20, 25].
• La función f(x) = √(x − 3) solo da un número real si x − 3 ≥ 0, es decir, si x ≥ 3. Su dominio es [3, ∞[.

Ejemplo. Una tienda da un descuento en las compras de más de ₡20 000 y de hasta ₡50 000. ¿Qué intervalo forman los montos con descuento? ¿Reciben descuento una compra de ₡20 000 y otra de ₡50 000?

Solución. «Más de ₡20 000» excluye ese monto y «hasta ₡50 000» incluye el otro, así que el intervalo es ]20 000, 50 000]. Una compra de exactamente ₡20 000 no recibe descuento, porque 20 000 ∉ ]20 000, 50 000]; una de ₡50 000 sí lo recibe.

Ponte a prueba#

¿Cómo se escribe en notación de intervalo el conjunto {x | x ∈ ℝ, −4 < x ≤ 1}?#

¿Pertenece el número 3 al intervalo ]−1, 3[?#

¿Qué intervalo es el conjunto solución de 3x − 5 ≥ 7?#

¿Cuántos números enteros y cuántos números reales hay en el intervalo [−3, 2[?#

¿Por qué el símbolo ∞ siempre lleva el corchete hacia afuera?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)