Unión, intersección y complemento de conjuntos numéricos e intervalos

Cuando una condición dice «x > −1 y x ≤ 3», los números que la cumplen son los que están en los dos conjuntos a la vez; cuando dice «x < −2 o x ≥ 5», basta con estar en uno de ellos. Esas dos palabras corresponden a dos operaciones con conjuntos: la intersección y la unión. La tercera operación, el complemento, reúne lo que queda fuera de un conjunto.

En esta lección vas a calcular uniones, intersecciones y complementos de conjuntos numéricos y de intervalos con ayuda de la recta numérica, y a usarlos para escribir dominios de funciones y conjuntos solución, que es para lo que el programa del MEP los pide en décimo año.

Las tres operaciones#

• Si A ∩ B = ∅, se dice que A y B son disjuntos: no tienen elementos en común.
• Siempre se cumple A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B: la intersección está contenida en cada conjunto, y cada conjunto, en la unión.
• Con conjuntos numéricos el universo suele ser ℝ, y entonces A^c también se escribe ℝ − A. La notación A^c es la misma que el programa usa para el complemento de un evento en Probabilidad.
• El complemento depende del universo: dentro de ℤ, el complemento de ℕ son los enteros negativos, ℤ⁻; dentro de ℝ, incluye además los racionales que no son enteros y los irracionales.

Con conjuntos finitos y con los conjuntos numéricos#

Ejemplo. Sean U = {x | x ∈ ℕ, x ≤ 12}, A = {x | x ∈ ℕ, x < 8} y B el conjunto de los números primos menores que 12. Calcula A ∪ B, A ∩ B, A^c y B^c.

Solución. Por extensión, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {2, 3, 5, 7, 11}. La unión reúne todos los elementos sin repetirlos: A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}. La intersección toma los comunes: A ∩ B = {2, 3, 5, 7}. En el universo U = {0, 1, 2, …, 12}, A^c = {8, 9, 10, 11, 12} y B^c = {0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

Con conjuntos infinitos se razona igual. Si P es el conjunto de los enteros pares e I el de los impares, entonces P ∪ I = ℤ y P ∩ I = ∅, porque todo entero es par o impar, pero no las dos cosas a la vez; dentro de ℤ, el complemento de P es I. Del mismo modo, ℚ ∪ 𝕀 = ℝ y ℚ ∩ 𝕀 = ∅, así que en ℝ el complemento de ℚ es 𝕀.

Unión e intersección de intervalos#

Con intervalos conviene dibujar los dos conjuntos en la misma recta numérica, uno encima del otro, y seguir estos pasos:

1. Marca en la recta todos los extremos, ordenados de menor a mayor.
2. Para la unión, toma todo lo que esté resaltado en al menos uno de los dos intervalos.
3. Para la intersección, toma solo la parte que está resaltada en los dos.
4. Revisa cada extremo por separado: está en la unión si pertenece a alguno de los intervalos, y en la intersección si pertenece a los dos.

Ejemplo. Si A = [−2, 3[ y B = [1, 6], calcula A ∪ B y A ∩ B.

Solución. Los intervalos se traslapan entre 1 y 3. La unión va desde −2, incluido, hasta 6, incluido: A ∪ B = [−2, 6]. La intersección va de 1 a 3. El 1 está en los dos intervalos (en A porque −2 ≤ 1 < 3, y en B porque es su extremo cerrado), pero el 3 no está en A, así que A ∩ B = [1, 3[.

Ejemplo. Calcula ]−∞, 2] ∪ ]2, ∞[ y ]−∞, 2] ∩ ]2, ∞[.

Solución. El 2 está en el primer intervalo y cualquier otro real está en uno de los dos, así que la unión es ℝ. Ningún número es a la vez menor o igual que 2 y mayor que 2, así que la intersección es ∅: los intervalos son disjuntos, y cada uno es el complemento del otro.

Ejemplo. Calcula [0, 1] ∪ [3, 5] y ]−3, 4] ∩ [4, 7].

Solución. En el primer caso hay un hueco entre 1 y 3 (el 2, por ejemplo, no está en ninguno de los dos), así que la unión no es un intervalo y se deja escrita como [0, 1] ∪ [3, 5]. En el segundo, el único número que está en los dos intervalos es el 4: ]−3, 4] ∩ [4, 7] = {4}. Una intersección de intervalos puede ser un solo punto.

El complemento de un intervalo#

En el universo ℝ, el complemento de un intervalo acotado está formado por dos semirrectas, y el complemento de una semirrecta es otra semirrecta. Al pasar al complemento, cada extremo cambia de situación: si estaba incluido queda excluido, y al revés. Ojo: junto a cada extremo se escribe el mismo signo de corchete que antes, pero como el trozo queda ahora al otro lado del número, ese corchete pasa de mirar hacia adentro a mirar hacia afuera, o al revés. En el ejemplo siguiente, el −1 lleva «[» en el intervalo y también en su complemento.

Ejemplo. Calcula el complemento en ℝ de [−1, 4[ y el de ]−∞, 5].

Solución. [−1, 4[^c = ]−∞, −1[ ∪ [4, ∞[: el −1 estaba incluido en el intervalo y ahora queda fuera, y el 4 estaba excluido y ahora entra. Por su parte, ]−∞, 5]^c = ]5, ∞[: el 5 pertenecía al intervalo, así que no pertenece al complemento.

El complemento de un solo número también es útil: {2}^c = ℝ − {2} = ]−∞, 2[ ∪ ]2, ∞[, es decir, todos los números reales menos el 2.

Para qué sirven: dominios y conjuntos solución#

En décimo año estas operaciones se usan, sobre todo, como lenguaje para escribir dominios de funciones y conjuntos solución de ecuaciones e inecuaciones.

Ejemplo. Escribe con intervalos los números x que cumplen «x > −1 y x ≤ 3» y los que cumplen «x < −2 o x ≥ 5».

Solución. La «y» es una intersección: ]−1, ∞[ ∩ ]−∞, 3] = ]−1, 3]. La «o» es una unión, que no se puede simplificar porque hay un hueco entre −2 y 5: ]−∞, −2[ ∪ [5, ∞[.

Ejemplo. ¿Cuál es el dominio de f(x) = √(x + 1) + 1/(x − 3)?

Solución. La raíz exige x + 1 ≥ 0, o sea, x ∈ [−1, ∞[. La fracción exige x − 3 ≠ 0, o sea, x ∈ ℝ − {3}. El dominio es la intersección de las dos condiciones: [−1, ∞[ ∩ (ℝ − {3}) = [−1, 3[ ∪ ]3, ∞[.

Ejemplo. Resuelve en ℝ la ecuación (x² − 9)/(x − 3) = 0.

Solución. Una fracción vale 0 cuando el numerador es 0 y el denominador no. La ecuación x² − 9 = 0 da x = 3 o x = −3, pero x = 3 anula el denominador. El conjunto solución es {−3, 3} ∩ (ℝ − {3}) = {−3}.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es la unión [−4, 2[ ∪ [0, 5]?#

¿Cuál es la intersección de ]−∞, 3] y ]1, 6[?#

¿Cuál es el complemento en ℝ del intervalo ]−2, 7]?#

¿Qué da la intersección de los racionales y los irracionales, y qué da su unión?#

¿Cuál es el dominio de f(x) = 5/(x + 1) escrito con intervalos?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)