Histogramas y polígonos de frecuencias: cómo se construyen y se leen

Cuando los datos son mediciones, como una masa, una estatura o un tiempo, casi nunca se repiten exactamente, y por eso en noveno año se agrupan en clases y se resumen en un cuadro de distribución de frecuencias. El programa del MEP va más allá y pide representar ese cuadro con dos gráficos, el histograma y el polígono de frecuencias. Con ellos se ve de un vistazo dónde se concentran los datos, qué tan repartidos están y si hay valores poco comunes.

En esta lección vas a construir e interpretar un histograma y un polígono de frecuencias, a comparar dos grupos de distinto tamaño y a apoyarte en una hoja de cálculo. Como insiste el programa, lo más importante no es dibujar, sino interpretar. Los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Del cuadro de frecuencias al histograma#

Una cooperativa pesó 40 mangos de una finca, la finca A, y agrupó las masas en clases de 50 gramos. La clase «de 200 a menos de 250» incluye el 200, pero no el 250, que ya pertenece a la clase siguiente: así ningún mango queda en dos clases. Cada clase se representa con su marca de clase, que es su punto medio:

Masa (g)	Marca de clase	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Porcentaje
De 200 a menos de 250	225	2	0,050	5 %
De 250 a menos de 300	275	6	0,150	15 %
De 300 a menos de 350	325	13	0,325	32,5 %
De 350 a menos de 400	375	11	0,275	27,5 %
De 400 a menos de 450	425	6	0,150	15 %
De 450 a menos de 500	475	2	0,050	5 %
Total		40	1	100 %

Cómo se dibuja el histograma#

1. Traza dos ejes. En el horizontal va la variable (la masa, en gramos) y en el vertical, la frecuencia.
2. En el eje horizontal marca los límites de las clases: 200, 250, 300, 350, 400, 450 y 500. Un pequeño zigzag cerca del origen indica que se saltó el tramo de 0 a 200.
3. En el eje vertical usa una escala que empiece en cero y pase un poco de la frecuencia mayor; aquí, de 0 a 14 mangos.
4. Sobre cada clase dibuja un rectángulo que vaya de su límite inferior a su límite superior, con una altura igual a su frecuencia. Los rectángulos quedan pegados.
5. Escribe un título, el nombre de cada eje con sus unidades y, si usaste datos de otra persona o institución, de dónde salieron.

¿Por qué las barras van pegadas? Porque el eje horizontal es una escala numérica continua: donde termina una clase empieza la siguiente, sin huecos. En cambio, en el gráfico de barras de datos cualitativos cada barra es una categoría aparte, y por eso se dibujan separadas. Un espacio entre dos barras de un histograma sí tiene significado: indica una clase sin datos.

Cómo se lee un histograma#

Al mirar un histograma conviene hacerse tres preguntas:

• ¿Cuál es la barra más alta? Su clase es la clase modal, la que tiene más datos. En la finca A es la de 300 a menos de 350 g, con 13 mangos.
• ¿Dónde se concentran los datos? En la finca A, las dos clases centrales, de 300 a menos de 400 g, reúnen 24 de los 40 mangos.
• ¿Qué forma tiene? Si las barras bajan más o menos igual hacia los dos lados, la distribución es aproximadamente simétrica, como en la finca A. Si de un lado se alarga una «cola» de barras bajas, es asimétrica. Por ejemplo, si casi todo un grupo vive cerca del colegio y unas pocas personas viven muy lejos, el histograma de las distancias tiene una cola larga hacia la derecha.

Ejemplo. Con el histograma de la finca A, responde: ¿cuántos mangos pesan menos de 300 g? ¿Qué porcentaje pesa 350 g o más? ¿En qué clase se cuenta un mango de exactamente 350 g?

Solución. Menos de 300 g pesan los mangos de las dos primeras barras: 2 + 6 = 8 mangos, es decir, 8 ÷ 40 = 0,2, el 20 %. Pesan 350 g o más los de las tres últimas barras: 11 + 6 + 2 = 19 mangos, y 19 ÷ 40 = 0,475, el 47,5 %. Un mango de exactamente 350 g se cuenta en la clase «de 350 a menos de 400», porque la clase anterior llega hasta menos de 350.

Histograma de frecuencias relativas o porcentuales#

El histograma también se puede dibujar con las frecuencias relativas o con los porcentajes en el eje vertical. La forma no cambia: cada barra conserva su altura en proporción con las demás; solo cambia la escala. En la finca A, la barra de 13 mangos llega a 32,5 % y la de 2 mangos, a 5 %.

Esta versión permite comparar grupos de distinto tamaño y se lee como una probabilidad: si se escoge al azar uno de esos 40 mangos, la probabilidad de que pese de 300 a menos de 350 g es 13 ÷ 40 = 0,325.

Un cuidado importante: las clases deben tener el mismo ancho. Si una clase midiera el doble que las otras, recogería más datos solo por ser más ancha, y su barra se vería más grande aunque los datos no estuvieran más concentrados en ella. El programa del MEP, además, recomienda usar de preferencia clases del mismo tamaño.

El polígono de frecuencias#

El polígono de frecuencias muestra la misma información con una línea. Se construye así:

1. En el eje horizontal ubica las marcas de clase: 225, 275, 325, 375, 425 y 475.
2. Sobre cada marca dibuja un punto a la altura de la frecuencia de su clase: (225, 2), (275, 6), (325, 13), (375, 11), (425, 6) y (475, 2).
3. Para cerrar el polígono, imagina una clase vacía antes de la primera y otra después de la última, con frecuencia 0. Sus marcas son 225 − 50 = 175 y 475 + 50 = 525, así que se agregan los puntos (175, 0) y (525, 0).
4. Une los puntos en orden con segmentos de recta.

Si el polígono se dibuja encima del histograma, cada punto queda en el centro del borde superior de una barra. Con clases del mismo ancho, el polígono cerrado encierra la misma área que el histograma, porque cada segmento le quita a una barra un triángulo igual al que le agrega a la barra vecina. En la finca A, las dos áreas valen 50 · 40 = 2000: el ancho de cada clase por el total de mangos.

Su gran ventaja: se pueden dibujar varios polígonos en el mismo plano sin que se tapen, cosa que no ocurre con dos histogramas encimados.

Comparar dos grupos con polígonos de frecuencias#

La cooperativa pesó también 20 mangos de otra finca, la finca B, con las mismas clases. Como de la finca A se pesó el doble de mangos, sus frecuencias absolutas saldrían mayores aunque las dos fincas dieran mangos parecidos. Por eso, como indica el programa, se comparan los porcentajes.

Masa (g)	Marca	Finca A: mangos	Finca A: %	Finca B: mangos	Finca B: %
De 200 a menos de 250	225	2	5 %	1	5 %
De 250 a menos de 300	275	6	15 %	2	10 %
De 300 a menos de 350	325	13	32,5 %	3	15 %
De 350 a menos de 400	375	11	27,5 %	5	25 %
De 400 a menos de 450	425	6	15 %	6	30 %
De 450 a menos de 500	475	2	5 %	3	15 %
Total		40	100 %	20	100 %

Ejemplo. Se dibujan en el mismo plano los dos polígonos de frecuencias porcentuales. ¿Qué se concluye al compararlos?

Solución. El polígono de la finca B está corrido hacia la derecha: su punto más alto está en la marca 425 (30 %), mientras que el de la finca A está en la marca 325 (32,5 %). Los porcentajes lo confirman: en la finca A pesa menos de 350 g el 5 + 15 + 32,5 = 52,5 % de los mangos, y en la finca B, solo el 5 + 10 + 15 = 30 %. Pesan 400 g o más el 15 + 5 = 20 % en la finca A y el 30 + 15 = 45 % en la finca B. Los mangos de la finca B tienden a ser más pesados.

Fíjate en lo que el gráfico no dice: no explica por qué los mangos de la finca B pesan más (podría ser la variedad, el riego o la fecha de cosecha). Además, 20 mangos son pocos: con otra muestra de la misma finca los porcentajes podrían cambiar algo.

Histogramas y polígonos con una hoja de cálculo#

El programa del MEP recomienda usar la computadora para construir los cuadros y los gráficos, y dedicar el esfuerzo a interpretarlos. Estos pasos sirven en LibreOffice Calc, una hoja de cálculo gratuita; otras tienen herramientas parecidas.

1. Escribe las 40 masas en una columna, por ejemplo, de la celda A2 a la A41.
2. Cuenta los datos de cada clase con la función CONTAR.SI.CONJUNTO, que cuenta los valores que cumplen varias condiciones a la vez. Para la primera clase: =CONTAR.SI.CONJUNTO(A2:A41;”>=200″;A2:A41;”<250″). Las dos condiciones respetan la regla «de 200 a menos de 250». Repite con los límites de cada clase.
3. Divide cada frecuencia entre 40 para obtener la relativa y multiplícala por 100 para el porcentaje. Suma cada columna y comprueba que da 40, 1 y 100.
4. Para el histograma, inserta un gráfico de columnas con las frecuencias, usa las clases como rótulos y deja en cero el espacio entre columnas.
5. Para el polígono, inserta un gráfico de líneas o de dispersión con líneas, con las marcas de clase en el eje horizontal, sin olvidar los dos puntos de cierre con frecuencia 0.

Si tu hoja de cálculo separa los argumentos con comas, cambia los punto y coma por comas. Y recuerda que la computadora dibuja lo que le pidas, aunque se haya colado un dato mal digitado: revisar el cuadro e interpretar el gráfico sigue siendo tu trabajo.

Ponte a prueba#

¿Qué forma tiene el histograma de los minutos que tardan 30 estudiantes en llegar al colegio si, con clases de 10 minutos desde 0, las barras miden 12, 9, 5, 2, 1 y 1?#

¿Por qué las barras de un histograma van pegadas y las de un gráfico de barras de datos cualitativos van separadas?#

¿Cuál es la clase modal y qué porcentaje de estudiantes mide menos de 155 cm si un histograma de 50 estaturas, con clases de 5 cm desde 145 hasta 175 cm, tiene barras de 4, 9, 16, 13, 6 y 2 estudiantes?#

¿Cuáles son los puntos del polígono de frecuencias, incluidos los de cierre, si las clases son de 10 a menos de 20, de 20 a menos de 30 y de 30 a menos de 40, con frecuencias 5, 8 y 3?#

¿Cuántos estudiantes representa el punto (165, 30) de un polígono de frecuencias porcentuales de 60 estaturas, con clases de 10 cm?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)
• LibreOffice — Ayuda de Calc: función CONTAR.SI.CONJUNTO