División de polinomios: entre un monomio y con división larga
Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 17 de 24Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 8 min de lectura
Si un terreno rectangular tiene un área de 2x2 + 7x + 3 metros cuadrados y su ancho mide x + 3 metros, ¿cuánto mide el largo? Para responder hay que dividir polinomios. Es la operación inversa de la multiplicación de polinomios, igual que la división de números es la inversa de la multiplicación.
En esta lección vas a dividir un polinomio entre un monomio y a usar la división larga para dividir entre un binomio o un trinomio. Son los casos que pide el programa del MEP para noveno año: binomio entre monomio; trinomio entre monomio, con una o dos variables; binomio entre binomio, y trinomio entre binomio o entre trinomio, en una variable. Al final de cada división, una comprobación te dirá si todo salió bien.
Definición
Dividir un polinomio P (el dividendo) entre un polinomio D distinto de cero (el divisor) es encontrar un polinomio Q (el cociente) y un polinomio R (el residuo) tales que P = D · Q + R, donde R es 0 o tiene un grado menor que el de D. Si el residuo es 0, la división es exacta y D es un factor de P.
Lo que hace falta recordar#
Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las letras iguales, según la ley de potencias am ÷ an = am − n. Por ejemplo, 12x5 ÷ 4x2 = 3x3 y −10a3b ÷ 5ab = −2a2. Un término dividido entre sí mismo da 1, no 0: 7xy ÷ 7xy = 1.
Con los números pasa algo parecido: 47 ÷ 5 da cociente 9 y residuo 2, porque 47 = 5 · 9 + 2 y el residuo es menor que el divisor. En los polinomios, «menor» se mide por el grado.
Fórmula
Dividendo = divisor · cociente + residuo
El residuo es 0 o tiene un grado menor que el del divisor. Esta igualdad sirve para comprobar cualquier división.
Dividir un polinomio entre un monomio#
Se divide cada término del polinomio entre el monomio y se suman los resultados. Es como repartir: (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c.
Ejemplo. Divide (12x4 − 8x2) ÷ 4x2.
Solución. Se divide término a término: 12x4 ÷ 4x2 = 3x2 y −8x2 ÷ 4x2 = −2. El cociente es 3x2 − 2 y el residuo es 0. Comprobación: 4x2(3x2 − 2) = 12x4 − 8x2.
Ejemplo. Divide (15a3b2 − 10a2b + 5ab) ÷ 5ab.
Solución. Término a término: 15a3b2 ÷ 5ab = 3a2b; −10a2b ÷ 5ab = −2a; 5ab ÷ 5ab = 1. El cociente es 3a2b − 2a + 1. Ese último 1 es importante: si se olvida, al multiplicar por 5ab no se recupera el dividendo.
La división larga, paso a paso#
Para dividir entre un binomio o un trinomio se usa la división larga, que se parece mucho a la de números. Antes de empezar, el dividendo y el divisor se ordenan de la mayor potencia a la menor.
- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: el resultado es el primer término del cociente.
- Ese término se multiplica por todo el divisor, y el producto se resta del dividendo (al restar, se cambian todos los signos del producto).
- Con lo que queda se repite el proceso: primer término entre el primer término del divisor, multiplicar y restar.
- Se para cuando lo que queda tiene un grado menor que el del divisor: eso es el residuo.
Ejemplo. Divide (x2 + 5x + 9) ÷ (x + 2).
Solución. Primer término del cociente: x2 ÷ x = x. Se multiplica x(x + 2) = x2 + 2x y se resta: (x2 + 5x + 9) − (x2 + 2x) = 3x + 9. Segundo término: 3x ÷ x = 3. Se multiplica 3(x + 2) = 3x + 6 y se resta: (3x + 9) − (3x + 6) = 3. Como 3 tiene grado 0, menor que el del divisor, se para. Cociente: x + 3; residuo: 3. Comprobación: (x + 2)(x + 3) + 3 = x2 + 5x + 6 + 3 = x2 + 5x + 9.
La tabla resume la división (6x2 + x − 15) ÷ (2x − 3):
| Paso | Término del cociente | Producto por 2x − 3 | Queda después de restar |
|---|---|---|---|
| 1 | 6x2 ÷ 2x = 3x | 6x2 − 9x | 10x − 15 |
| 2 | 10x ÷ 2x = 5 | 10x − 15 | 0 |
Esa división es exacta: el cociente es 3x + 5 y el residuo, 0. Eso quiere decir que 6x2 + x − 15 = (2x − 3)(3x + 5), así que la división también sirve para factorizar.
Cuando faltan términos: binomio entre binomio#
Si al dividendo le falta alguna potencia, se escribe con coeficiente 0 para guardarle el lugar. Así los términos semejantes quedan alineados y no se mezclan.
Ejemplo. Divide (x3 + 8) ÷ (x + 2).
Solución. Se escribe el dividendo completo: x3 + 0x2 + 0x + 8. Primer paso: x3 ÷ x = x2; x2(x + 2) = x3 + 2x2, y al restar queda −2x2 + 0x + 8. Segundo: −2x2 ÷ x = −2x; −2x(x + 2) = −2x2 − 4x, y al restar queda 4x + 8. Tercero: 4x ÷ x = 4; 4(x + 2) = 4x + 8, y al restar queda 0. El cociente es x2 − 2x + 4 y la división es exacta.
Otro caso de binomio entre binomio: (x2 − 49) ÷ (x − 7) = x + 7, con residuo 0, como confirma la diferencia de cuadrados: x2 − 49 = (x + 7)(x − 7).
Trinomio entre trinomio#
Ejemplo. Divide (x4 + x2 + 1) ÷ (x2 + x + 1).
Solución. Completo, el dividendo es x4 + 0x3 + x2 + 0x + 1. Paso 1: x4 ÷ x2 = x2; x2(x2 + x + 1) = x4 + x3 + x2, y al restar queda −x3 + 0x2 + 0x + 1. Paso 2: −x3 ÷ x2 = −x; −x(x2 + x + 1) = −x3 − x2 − x, y al restar queda x2 + x + 1. Paso 3: x2 ÷ x2 = 1, y al restar 1 · (x2 + x + 1) queda 0. El cociente es x2 − x + 1 y la división es exacta.
Ejemplo. Divide (2x4 + 3x2 − 5) ÷ (x2 − x + 1).
Solución. Con el dividendo completo, 2x4 + 0x3 + 3x2 + 0x − 5: primero, 2x4 ÷ x2 = 2x2, y al restar 2x4 − 2x3 + 2x2 queda 2x3 + x2 + 0x − 5. Luego, 2x3 ÷ x2 = 2x, y al restar 2x3 − 2x2 + 2x queda 3x2 − 2x − 5. Por último, 3x2 ÷ x2 = 3, y al restar 3x2 − 3x + 3 queda x − 8. Como x − 8 tiene grado 1, menor que 2, se para. Cociente: 2x2 + 2x + 3; residuo: x − 8. Comprobación: (x2 − x + 1)(2x2 + 2x + 3) + (x − 8) = 2x4 + 3x2 − x + 3 + x − 8 = 2x4 + 3x2 − 5.
Un problema y errores frecuentes#
Ejemplo. Un terreno rectangular tiene un área de 2x2 + 7x + 3 metros cuadrados y su ancho mide x + 3 metros. ¿Cuánto mide el largo?
Solución. El largo es el área dividida entre el ancho. Por división larga: 2x2 ÷ x = 2x; 2x(x + 3) = 2x2 + 6x, y al restar queda x + 3. Luego x ÷ x = 1; 1 · (x + 3) = x + 3, y al restar queda 0. El largo mide 2x + 1 metros. Con un valor concreto se ve que tiene sentido: si x = 5, el ancho mide 8 m, el largo 11 m y el área 88 m2, que es justo lo que da 2 · 25 + 7 · 5 + 3.
- Dividir solo un término entre el monomio: (6x2 + 9x) ÷ 3x no es 2x + 9x, sino 2x + 3.
- Cancelar sumandos: (x + 6) ÷ (x + 2) no es 3. Al dividir se obtiene cociente 1 y residuo 4.
- Olvidar cambiar los signos al restar el producto en la división larga.
- No dejar el lugar, con coeficiente 0, de las potencias que faltan.
- Seguir dividiendo cuando lo que queda ya tiene un grado menor que el del divisor.
Ponte a prueba#
¿Cuánto da (20x⁵ − 12x³ + 4x²) ÷ 4x²?#
Se divide cada término entre 4x2, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes: 20x5 ÷ 4x2 = 5x3; −12x3 ÷ 4x2 = −3x; 4x2 ÷ 4x2 = 1. El cociente es 5x3 − 3x + 1. Comprobación: 4x2(5x3 − 3x + 1) = 20x5 − 12x3 + 4x2.
¿Cuál es el cociente de (x² − x − 20) ÷ (x − 5)?#
Por división larga: x2 ÷ x = x; x(x − 5) = x2 − 5x, y al restar queda 4x − 20. Luego 4x ÷ x = 4; 4(x − 5) = 4x − 20, y al restar queda 0. El cociente es x + 4 y la división es exacta, así que x2 − x − 20 = (x − 5)(x + 4).
¿Qué cociente y qué residuo da (2x² + 3x + 4) ÷ (x + 1)?#
Primero, 2x2 ÷ x = 2x; 2x(x + 1) = 2x2 + 2x, y al restar queda x + 4. Luego, x ÷ x = 1; 1 · (x + 1) = x + 1, y al restar queda 3. Como 3 tiene grado 0, se para: el cociente es 2x + 1 y el residuo, 3. Comprobación: (x + 1)(2x + 1) + 3 = 2x2 + 3x + 1 + 3 = 2x2 + 3x + 4.
¿Cómo se divide x³ − 27 entre x − 3?#
Se completa el dividendo con ceros: x3 + 0x2 + 0x − 27. Luego, x3 ÷ x = x2, y al restar x3 − 3x2 queda 3x2 + 0x − 27. Después, 3x2 ÷ x = 3x, y al restar 3x2 − 9x queda 9x − 27. Por último, 9x ÷ x = 9, y al restar 9x − 27 queda 0. El cociente es x2 + 3x + 9 y la división es exacta.
¿Cuánto da (18m³n² − 6m²n + 9mn²) ÷ 3mn?#
Se divide cada término entre 3mn: 18m3n2 ÷ 3mn = 6m2n; −6m2n ÷ 3mn = −2m; 9mn2 ÷ 3mn = 3n. El cociente es 6m2n − 2m + 3n. Al multiplicarlo por 3mn se recupera el dividendo, lo que confirma el resultado.
Fuentes#
También en matemáticas
