Ángulos de elevación y de depresión: qué son y cómo se usan

Para calcular la altura de un edificio, de un árbol o de una torre no hace falta subir con una cinta métrica: basta con medir una distancia en el suelo y el ángulo con que se ve la parte más alta. Ese ángulo, medido desde la horizontal, se llama ángulo de elevación. Cuando se mira hacia abajo, por ejemplo desde un mirador, se habla de ángulo de depresión.

En esta lección de noveno año vas a reconocer y dibujar estos ángulos, a entender por qué el ángulo de elevación y el de depresión entre dos puntos miden lo mismo, y a resolver problemas en distintos contextos con las razones trigonométricas.

Cómo se reconocen y se dibujan#

En el dibujo de un problema se traza primero una recta horizontal que pase por el ojo del observador. Luego se traza la línea visual hasta el objeto. Si la línea visual queda por encima de la horizontal, el ángulo entre ellas es de elevación; si queda por debajo, es de depresión. En los dos casos, el ángulo está entre 0° y 90°.

• Una persona en la calle que mira la punta de un edificio la ve con un ángulo de elevación.
• Una persona en lo alto del edificio que mira un carro en la calle lo ve con un ángulo de depresión.
• Mientras más cerca se está de un objeto alto, mayor es el ángulo de elevación con que se ve su punta; mientras más lejos, menor.

Casi siempre aparece un triángulo rectángulo formado por la horizontal, la vertical que baja del objeto (o del observador) y la línea visual, que es la hipotenusa. Con ese triángulo se usan el seno, el coseno y la tangente.

Por qué el ángulo de elevación y el de depresión son iguales#

Si un punto A está abajo y un punto B está arriba, el ángulo de elevación con que A ve a B y el ángulo de depresión con que B ve a A miden lo mismo. La razón es que la horizontal que pasa por A y la que pasa por B son paralelas, y la línea visual AB las corta: los dos ángulos son alternos internos entre paralelas, y por eso son iguales.

Para verlo en el dibujo: el ángulo de elevación está en A, entre la línea visual y la horizontal que sale de A hacia el lado de B; el de depresión está en B, entre la línea visual y la horizontal que sale de B hacia el lado de A. Los dos quedan entre las dos horizontales y a lados opuestos de la línea visual, que es justo la posición de los ángulos alternos internos.

Esto permite llevar el dato al triángulo que conviene. Un error frecuente es colocar el ángulo de depresión entre la línea visual y la vertical: ese otro ángulo es el complemento, 90° menos el de depresión.

Ejemplo. Desde la azotea de un edificio de 30 m, Andrés ve a su amiga en la calle con un ángulo de depresión de 35°. ¿Con qué ángulo de elevación lo ve ella, y a qué distancia horizontal del edificio está? (Datos inventados; no se toma en cuenta la estatura de las personas.)

Solución. El ángulo de elevación desde la calle mide lo mismo que el de depresión, 35°, por ser alternos internos. En el triángulo rectángulo con vértice en la amiga, la altura de 30 m es el cateto opuesto al ángulo de 35° y la distancia horizontal d es el adyacente: tan 35° = 30 ÷ d, así que d = 30 ÷ tan 35° ≈ 42,84 m.

Cómo resolver un problema paso a paso#

1. Haz un dibujo con la horizontal que pasa por el ojo del observador, la línea visual y la vertical del objeto.
2. Ubica el ángulo dado y, si conviene, pásalo al otro extremo de la línea visual: la elevación y la depresión entre dos puntos son iguales.
3. Identifica el triángulo rectángulo y nombra sus lados respecto al ángulo: opuesto, adyacente e hipotenusa.
4. Escoge la razón que relacione el dato conocido con el que buscas: con la altura y la distancia horizontal, la tangente; si interviene la línea visual, el seno o el coseno.
5. Calcula y, si el problema lo pide, suma la altura de los ojos del observador sobre el suelo.

Ejemplo. A 60 m de la base de una torre de telecomunicaciones, Laura mira la punta con un ángulo de elevación de 38°. Sus ojos están a 1,5 m del suelo. ¿Cuánto mide la torre? (Datos inventados.)

Solución. La horizontal pasa por los ojos de Laura, a 1,5 m del suelo. En el triángulo rectángulo, la distancia de 60 m es el cateto adyacente al ángulo de 38°, y la parte de la torre que queda por encima de los ojos, x, es el opuesto: x = 60 · tan 38° ≈ 46,88 m. Se le suma la altura de los ojos: la torre mide unos 46,88 + 1,5 = 48,38 m. Si se olvida ese 1,5 m, el resultado queda corto.

Ejemplo. Desde un mirador que está a 120 m de altura sobre el nivel de un río, se ve una lancha con un ángulo de depresión de 18°. ¿A qué distancia horizontal está la lancha y cuánto mide la línea visual? (Datos inventados.)

Solución. El ángulo de elevación desde la lancha también mide 18°. La altura, 120 m, es el cateto opuesto a ese ángulo y la distancia horizontal d es el adyacente: d = 120 ÷ tan 18° ≈ 369,32 m. La línea visual es la hipotenusa: 120 ÷ sen 18° ≈ 388,33 m. Como debe ser, la hipotenusa es mayor que los dos catetos.

Problemas con dos ángulos#

A veces se conocen dos ángulos medidos desde dos puntos distintos, y la incógnita aparece en dos triángulos rectángulos a la vez. Se plantea una ecuación con cada triángulo y se resuelven juntas.

Ejemplo. Desde un punto del suelo se ve la punta de un edificio con un ángulo de elevación de 30°. Al caminar 20 m en línea recta hacia el edificio, el ángulo de elevación pasa a 45°. ¿Cuánto mide el edificio? (Datos inventados; los ángulos se miden desde el nivel del suelo.)

Solución. Sea h la altura y x la distancia del segundo punto al edificio. Con 45°: tan 45° = h ÷ x = 1, así que x = h. Desde el primer punto la distancia es x + 20 = h + 20, y tan 30° = h ÷ (h + 20). Como tan 30° = 1/√3, queda √3 · h = h + 20, o sea, h(√3 − 1) = 20, y h = 20 ÷ (√3 − 1) = 10(√3 + 1) ≈ 27,32 m. Al acercarse, el ángulo aumentó, como se esperaba.

Ejemplo. Desde lo alto de un faro, a 45 m sobre el nivel del mar, se ven dos botes alineados con el faro y del mismo lado, con ángulos de depresión de 40° y 25°. ¿Qué distancia hay entre los botes? (Datos inventados.)

Solución. El bote más cercano es el que se ve con el ángulo mayor. Su distancia horizontal al pie del faro es 45 ÷ tan 40° ≈ 53,63 m, y la del más lejano, 45 ÷ tan 25° ≈ 96,50 m. La distancia entre los botes es la diferencia: 96,50 − 53,63 ≈ 42,87 m.

Más situaciones: sombras y papalotes#

El ángulo de elevación del sol es el que forman sus rayos con el suelo horizontal. Un objeto vertical, su sombra y el rayo que pasa por la punta del objeto forman un triángulo rectángulo.

Ejemplo. Un árbol de 7 m da una sombra de 10 m sobre un terreno plano. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol en ese momento? (Datos inventados.)

Solución. El árbol es el cateto opuesto al ángulo de elevación del sol, que se mide en la punta de la sombra, y la sombra es el adyacente: tan α = 7 ÷ 10 = 0,7, así que α = tan⁻¹ 0,7 ≈ 34,99°, casi 35°.

Ejemplo. Sofía eleva un papalote con 60 m de cuerda, tensa y recta, que forma un ángulo de elevación de 50°. Su mano está a 1,2 m del suelo. ¿A qué altura vuela el papalote? (Datos inventados.)

Solución. La cuerda es la hipotenusa, y la altura del papalote sobre la mano es el cateto opuesto al ángulo de 50°: 60 · sen 50° ≈ 45,96 m. Sumando la altura de la mano, el papalote vuela a unos 45,96 + 1,2 = 47,16 m del suelo.

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide un edificio si desde 25 m de su base se ve la azotea con un ángulo de elevación de 56°, y los ojos del observador están a 1,5 m del suelo?#

¿A qué distancia horizontal está un bote que se ve con un ángulo de depresión de 15° desde lo alto de un acantilado de 80 m?#

¿Cuál es el ángulo de elevación del sol si un poste vertical de 5 m da una sombra de 3 m?#

¿Qué ángulo forma la línea visual con la vertical si el ángulo de depresión mide 25°?#

¿A qué altura vuela un dron que está a 80 m en línea recta de una persona que lo ve con un ángulo de elevación de 40°?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)