Ecuaciones logarítmicas y modelos logarítmicos: cómo resolverlos

Q: ¿Cuántos decibeles tiene un sonido de intensidad 10⁻⁴ W/m², según el modelo del programa?

Se divide entre la intensidad de referencia: 10−4 ÷ 10−12 = 108. El logaritmo en base 10 de 108 es 8, y el modelo lo multiplica por 10: IdB = 10 · 8 = 80 dB. Son 10 dB más que un sonido de 10−5 W/m2, porque su intensidad es diez veces mayor.

Q: ¿Cuál es el pH de una disolución con una concentración de iones hidrógeno de 2,5 × 10⁻³ mol/L?

Se aplica la fórmula pH = −log[H+]: pH = −log(2,5 × 10−3) = −(log 2,5 − 3) ≈ −(0,398 − 3) ≈ 2,60. Como el resultado es menor que 7, la disolución es ácida. Si la concentración fuera diez veces menor, el pH subiría exactamente una unidad.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 13 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 10 min de lectura

En esta lección vas a resolver ecuaciones logarítmicas, vas a usar logaritmos para despejar la incógnita de una ecuación exponencial cuando las bases son distintas y vas a aplicar modelos logarítmicos, como la escala de decibeles y el pH, que propone el programa del MEP.

La idea que sostiene todo el tema es sencilla: un logaritmo es un exponente. Si dominas las potencias, tienes medio camino recorrido.

Definición

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro del argumento de un logaritmo, por ejemplo log₃(2x + 5) = log₃(x + 9). Se resuelve con la definición de logaritmo: si a > 0 y a ≠ 1, entonces log_a y = x significa lo mismo que a^x = y, con y > 0. Un modelo logarítmico es una fórmula con un logaritmo que describe una situación real.

Lo que hay que recordar antes de resolver#

El logaritmo en base a de un número positivo y es el exponente al que hay que elevar a para obtener y. Por ejemplo, log₂ 32 = 5 porque 2⁵ = 32, y log 1000 = 3 porque 10³ = 1000. Cuando no se escribe la base, se entiende que es 10. El logaritmo natural, que se escribe ln, tiene como base el número e ≈ 2,718.

Para números positivos M y N, se cumplen estas propiedades, que se deducen de las leyes de potencias:

Logaritmo de la unidad y de la base: log_a 1 = 0 y log_a a = 1.
Producto: log_a(M · N) = log_a M + log_a N.
Cociente: log_a(M ÷ N) = log_a M − log_a N.
Potencia: log_a(M^k) = k · log_a M.
Cambio de base: log_a M = log M ÷ log a.

La propiedad que resuelve las ecuaciones: la inyectividad#

La función logarítmica es inyectiva: dos números positivos distintos nunca tienen el mismo logaritmo en la misma base. Por eso, si log_a M = log_a N, entonces M = N. Lo mismo pasa con la función exponencial: si a^M = a^N, entonces M = N. Esto justifica «quitar» los logaritmos de los dos lados de una ecuación.

Fórmula

log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x)

Solo vale si f(x) > 0 y g(x) > 0: el logaritmo de cero o de un número negativo no existe.

Cómo resolver una ecuación logarítmica, paso a paso#

Anota las restricciones: cada expresión que esté dentro de un logaritmo tiene que ser positiva.
Usa las propiedades para dejar un solo logaritmo de cada lado, con la misma base. Si de un lado hay un número, escríbelo como logaritmo: por ejemplo, 3 = log₂ 8.
Iguala los argumentos (por la inyectividad) y resuelve la ecuación lineal o cuadrática que queda.
Comprueba cada solución en la ecuación original y descarta las que hagan cero o negativo algún argumento.

Ejemplo. Resuelve log₃(2x + 5) = log₃(x + 9).

Solución. Restricciones: 2x + 5 > 0 y x + 9 > 0. Se igualan los argumentos: 2x + 5 = x + 9, de donde x = 4. Comprobación: 2 · 4 + 5 = 13 y 4 + 9 = 13; los dos argumentos son positivos e iguales. La solución es x = 4.

Ejemplo. Resuelve log₂ x + log₂(x − 2) = 3.

Solución. Restricciones: x > 2. Por la propiedad del producto, el lado izquierdo es log₂[x(x − 2)], y el derecho es 3 = log₂ 8. Se igualan los argumentos: x(x − 2) = 8, es decir, x² − 2x − 8 = 0, que se factoriza como (x − 4)(x + 2) = 0. Salen x = 4 y x = −2. El −2 no cumple x > 2 (daría el logaritmo de un número negativo), así que se descarta. La única solución es x = 4, y se comprueba: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3.

Ejemplo. Resuelve log(x² − 5) = log(4x).

Solución. Restricciones: x² − 5 > 0 y 4x > 0. Se igualan los argumentos: x² − 5 = 4x, o sea, x² − 4x − 5 = 0, que da (x − 5)(x + 1) = 0. Con x = 5, los argumentos valen 25 − 5 = 20 y 4 · 5 = 20, ambos positivos: sirve. Con x = −1, el argumento 4x vale −4, que es negativo: se descarta. El conjunto solución es {5}.

Ecuaciones exponenciales con bases distintas#

Cuando las bases no se pueden escribir como potencias de una misma base (por ejemplo, 2 y 3), se aplica logaritmo a los dos lados, y la propiedad de la potencia «baja» los exponentes. El programa pide resolver ecuaciones de la forma a^f(x) = b^g(x), donde f y g son polinomios de grado menor que 3.

Fórmula

a^f(x) = b^g(x) ⇒ f(x) · log a = g(x) · log b

Con a y b positivos y distintos de 1. Se puede usar log o ln: el resultado es el mismo.

Ejemplo. Resuelve 5^x = 12.

Solución. Se aplica logaritmo a los dos lados: x · log 5 = log 12, así que x = log 12 ÷ log 5 ≈ 1,544. Tiene sentido: 5¹ = 5 y 5² = 25, y 12 está entre esos dos valores.

Ejemplo. Resuelve 2^{x + 1} = 3^x.

Solución. Se aplica logaritmo: (x + 1) log 2 = x log 3. Se distribuye y se agrupan los términos con x: x log 2 + log 2 = x log 3, de donde log 2 = x(log 3 − log 2). Entonces x = log 2 ÷ (log 3 − log 2) ≈ 1,71. Con ese valor sin redondear, los dos lados valen unos 6,54.

Ejemplo. Resuelve 2^{x² − 1} = 5^{x − 1}.

Solución. Aquí el exponente de la izquierda es cuadrático. Se aplica logaritmo: (x² − 1) log 2 = (x − 1) log 5. Como x² − 1 = (x − 1)(x + 1), se pasa todo a un lado y se saca el factor común (x − 1): (x − 1)[(x + 1) log 2 − log 5] = 0. Un producto es cero si alguno de sus factores lo es. Si x − 1 = 0, entonces x = 1. Si (x + 1) log 2 = log 5, entonces x = log 5 ÷ log 2 − 1 ≈ 1,322. Las dos son soluciones (con x = 1, ambos lados valen 1). Si se dividiera entre (x − 1) al principio, se perdería la solución x = 1.

Modelos logarítmicos: decibeles, pH y magnitud de un temblor#

El programa no pide construir estos modelos, sino usarlos: se da la fórmula, se resuelve y se interpreta. Estos tres los propone el propio programa del MEP.

El nivel de intensidad del sonido, en decibeles#

Fórmula

I_dB = 10 · log(I ÷ I₀)

I_dB es el nivel de intensidad en decibeles (dB); I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado (W/m²) e I₀ = 10⁻¹² W/m² es el umbral de audición, que sirve de referencia.

Ejemplo. ¿Cuántos decibeles corresponden a un sonido de intensidad 10⁻⁵ W/m²?

Solución. Primero se divide: I ÷ I₀ = 10⁻⁵ ÷ 10⁻¹² = 10⁷, y log 10⁷ = 7. Entonces I_dB = 10 · 7 = 70 dB. Según el programa, el ámbito audible para el ser humano va de 10⁻¹² a 1 W/m²; con el modelo, eso equivale a ir de 0 dB a 120 dB.

Ejemplo. ¿Qué intensidad tiene un sonido de 85 dB?

Solución. Se plantea la ecuación logarítmica 85 = 10 · log(I ÷ 10⁻¹²), o sea, log(I ÷ 10⁻¹²) = 8,5. Por la definición de logaritmo, I ÷ 10⁻¹² = 10^8,5, de donde I = 10^8,5 · 10⁻¹² = 10^−3,5 ≈ 3,16 × 10⁻⁴ W/m².

El pH de una disolución#

Fórmula

pH = −log[H⁺]

[H⁺] es la concentración de iones hidrógeno, en moles por litro. Según el programa, el pH va de 0 a 14 (algunas disoluciones muy concentradas se salen de ese ámbito), y el agua pura, que es neutra, tiene pH 7 a 25 °C.

Ejemplo. Una disolución de laboratorio tiene [H⁺] = 3,2 × 10⁻⁵ mol/L. ¿Cuál es su pH?

Solución. pH = −log(3,2 × 10⁻⁵) = −(log 3,2 − 5) ≈ −(0,505 − 5) ≈ 4,49. Como es menor que 7, la disolución es ácida.

Ejemplo. ¿Qué concentración de iones hidrógeno tiene una disolución de pH 8,3?

Solución. Se resuelve la ecuación 8,3 = −log[H⁺], es decir, log[H⁺] = −8,3. Por la definición de logaritmo, [H⁺] = 10^−8,3 ≈ 5,0 × 10⁻⁹ mol/L. Como el pH es mayor que 7, la disolución es básica (alcalina).

La magnitud de un temblor#

El programa presenta la escala de Richter con el modelo M = log(x ÷ x₀): x es la lectura del sismógrafo en milímetros y x₀ = 0,001 mm, la de un temblor de nivel cero, medidas a la misma distancia del epicentro.

Ejemplo. Si un sismógrafo registra una lectura de 25 mm, ¿qué magnitud le asigna el modelo?

Solución. x ÷ x₀ = 25 ÷ 0,001 = 25 000, y M = log 25 000 ≈ 4,4. Como M aumenta en 1 cada vez que la lectura se multiplica por 10, un temblor de magnitud 5,4 daría una lectura diez veces mayor.

Un problema en contexto: la incógnita en el exponente#

Muchos problemas reales llevan a una ecuación exponencial que solo se despeja con logaritmos, y al final hay que preguntarse si el resultado tiene sentido. Los datos de este ejemplo son inventados.

Ejemplo. Ana deposita ₡500 000 en una cuenta que paga un 6 % anual compuesto mensualmente, y no hace retiros ni nuevos depósitos. ¿Cuánto tiempo tarda en tener ₡750 000? Usa el modelo C(t) = C₀(1 + i ÷ n)^nt.

Solución. Aquí C₀ = 500 000, i = 0,06 y n = 12, así que la tasa mensual es 0,06 ÷ 12 = 0,005. Se plantea 750 000 = 500 000 · 1,005^12t, o sea, 1,005^12t = 1,5. Se aplica logaritmo: 12t · log 1,005 = log 1,5, de donde 12t = log 1,5 ÷ log 1,005 ≈ 81,3 meses, y t ≈ 6,77 años. Como los intereses se suman cada mes, el saldo alcanza los ₡750 000 al cerrar el mes 82: a los 6 años y 10 meses.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la solución de la ecuación log₂(3x − 1) = log₂(x + 7)?#

Las bases son iguales, así que, por la inyectividad del logaritmo, se igualan los argumentos: 3x − 1 = x + 7. Al despejar, 2x = 8 y x = 4. Falta comprobar las restricciones: 3 · 4 − 1 = 11 y 4 + 7 = 11, los dos positivos. Por lo tanto, x = 4 es la solución.

¿Qué valor de x cumple que 4 elevado a x sea igual a 20?#

No se puede escribir 20 como una potencia entera de 4, así que se aplica logaritmo a los dos lados: x · log 4 = log 20. Entonces x = log 20 ÷ log 4 ≈ 2,161. El valor es razonable, porque 4² = 16 y 4³ = 64, y 20 está entre esos dos números, mucho más cerca de 16.

¿Por qué la ecuación log x + log(x + 2) = log 3 tiene una sola solución?#

Por la propiedad del producto, log[x(x + 2)] = log 3, y al igualar los argumentos queda x² + 2x − 3 = 0, que se factoriza como (x + 3)(x − 1) = 0. Salen x = 1 y x = −3. Pero x = −3 haría negativo el argumento de log x, que no existe, así que se descarta. La única solución es x = 1: log 1 + log 3 = 0 + log 3.

¿Cuántos decibeles tiene un sonido de intensidad 10⁻⁴ W/m², según el modelo del programa?#

Se divide entre la intensidad de referencia: 10⁻⁴ ÷ 10⁻¹² = 10⁸. El logaritmo en base 10 de 10⁸ es 8, y el modelo lo multiplica por 10: I_dB = 10 · 8 = 80 dB. Son 10 dB más que un sonido de 10⁻⁵ W/m², porque su intensidad es diez veces mayor.

¿Cuál es el pH de una disolución con una concentración de iones hidrógeno de 2,5 × 10⁻³ mol/L?#

Se aplica la fórmula pH = −log[H⁺]: pH = −log(2,5 × 10⁻³) = −(log 2,5 − 3) ≈ −(0,398 − 3) ≈ 2,60. Como el resultado es menor que 7, la disolución es ácida. Si la concentración fuera diez veces menor, el pH subiría exactamente una unidad.