La función cuadrática: situaciones, tablas y gráficas

En octavo año trabajaste con la función lineal, en la que la variable dependiente cambia siempre al mismo ritmo. Muchas situaciones no son así: el área de un terreno o la cantidad de partidos de un campeonato crecen de otra manera, y varias de ellas se describen con una función cuadrática.

En esta lección vas a reconocer situaciones que se pueden escribir en la forma y = ax² + bx + c y a representar una función cuadrática de tres maneras: con su criterio (representación algebraica), con una tabla de valores (representación tabular) y con su gráfica, una curva llamada parábola. En noveno año el enfoque es intuitivo; el análisis más formal llega en décimo, con la función cuadrática y sus problemas.

Situaciones que se expresan con y = ax² + bx + c#

Una situación es cuadrática cuando, al escribir la relación entre las variables, la mayor potencia de la variable independiente es el cuadrado. Suele pasar cuando se multiplican dos cantidades que dependen de la misma variable, como el largo y el ancho de un rectángulo.

Ejemplo. Doña Marta tiene 24 m de malla para cercar un corral rectangular para sus gallinas. Si uno de los lados mide x metros, ¿cómo se expresa el área del corral?

Solución. El perímetro es 24 m, así que un largo y un ancho suman la mitad: 12 m. Si un lado mide x, el otro mide 12 − x. El área es A = x(12 − x) = 12x − x², que ordenada queda A = −x² + 12x. Es una función cuadrática con a = −1, b = 12 y c = 0.

Ejemplo. En el campeonato de fútbol de un colegio, cada equipo juega dos veces contra cada uno de los demás, una de local y otra de visita. ¿Cuántos partidos hay si participan n equipos?

Solución. Cada uno de los n equipos juega de local contra los otros n − 1, y en cada partido hay exactamente un equipo local. Por eso hay P = n(n − 1) = n² − n partidos. Es cuadrática, con a = 1, b = −1 y c = 0. Con 6 equipos, por ejemplo, hay 6² − 6 = 30 partidos.

¿Lineal o cuadrática?#

Situación	Criterio	Tipo
Perímetro de un cuadrado de lado x	P = 4x	Lineal
Área de un cuadrado de lado x	A = x2	Cuadrática (a = 1, b = 0, c = 0)
Costo de x kilos de arroz a un precio fijo de ₡900 el kilo	C = 900x	Lineal
Área de un terreno cuyo largo mide 5 m más que su ancho x	A = x(x + 5) = x2 + 5x	Cuadrática (a = 1, b = 5, c = 0)
Partidos de ida y vuelta entre n equipos	P = n2 − n	Cuadrática (a = 1, b = −1, c = 0)

Un criterio puede venir escrito como producto: y = (x + 1)(x − 3) es cuadrática, porque al desarrollarlo queda y = x² − 2x − 3. En cambio, y = 4x + 1 no lo es, porque no tiene término en x².

La representación algebraica: identificar a, b y c#

Para leer un criterio cuadrático, primero se escribe ordenado, de la mayor potencia a la menor, y después se identifican los coeficientes. Los términos que no aparecen tienen coeficiente 0.

Criterio	a	b	c
y = 3x2 − 5x + 2	3	−5	2
y = −x2 + 12x	−1	12	0
y = 0,5x2 − 8	0,5	0	−8
y = 7 − 2x2	−2	0	7
y = (x + 4)(x − 1) = x2 + 3x − 4	1	3	−4

El valor de c tiene un significado directo: es el valor de y cuando x = 0, así que la gráfica corta el eje y en el punto (0, c). Y el signo de a indica hacia dónde se abre la parábola, como se verá más adelante.

La representación tabular#

Una tabla de valores se arma escogiendo valores de x, sustituyéndolos en el criterio y calculando y. Conviene tomar valores enteros seguidos, a ambos lados de donde la curva cambia de dirección. Por ejemplo, para y = x² − 4x + 3:

x	−1	0	1	2	3	4	5
y	8	3	0	−1	0	3	8

Para x = −1, se calcula y = (−1)² − 4 · (−1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8. Cuidado con los signos: (−1)² = 1 es positivo.

La tabla muestra dos rasgos típicos de una cuadrática. El primero es la simetría: los valores de y se repiten a ambos lados de x = 2 (3 y 3, 0 y 0, 8 y 8). El segundo es el ritmo de cambio: de un valor de y al siguiente, las diferencias son −5, −3, −1, 1, 3 y 5. No son constantes, como sí lo serían en una función lineal, pero aumentan siempre en 2. Cuando los valores de x van de uno en uno, esas «segundas diferencias» constantes delatan una función cuadrática.

Ejemplo. Construye la tabla del área del corral de doña Marta, A = −x² + 12x, para x = 0, 2, 4, 6, 8, 10 y 12. ¿Qué medidas dan el área mayor?

Solución. Al sustituir se obtienen las áreas 0, 20, 32, 36, 32, 20 y 0 m². La tabla es simétrica alrededor de x = 6, donde el área llega a su valor mayor: 36 m², cuando el corral es un cuadrado de 6 m por 6 m. Con x = 0 o x = 12 el área es 0, porque no habría corral: en esta situación solo tienen sentido los valores de x entre 0 y 12.

La representación gráfica: la parábola#

Cada pareja de la tabla es un punto (x, y) del plano cartesiano. Al ubicar los puntos de y = x² − 4x + 3, que son (−1, 8), (0, 3), (1, 0), (2, −1), (3, 0), (4, 3) y (5, 8), y unirlos con una curva suave (no con segmentos rectos), aparece una parábola. En ella conviene señalar:

• El vértice, el punto donde la parábola cambia de dirección: aquí es (2, −1), el punto más bajo de la curva.
• El eje de simetría, la recta vertical que pasa por el vértice: x = 2. Cada lado de la parábola es el reflejo del otro.
• Los cortes con el eje x, donde y = 0: (1, 0) y (3, 0). Sus abscisas, 1 y 3, se llaman ceros de la función.
• El corte con el eje y, donde x = 0: (0, 3), que es el punto (0, c).

Esta parábola se abre hacia arriba porque a = 1 es positivo. Si a es negativo, se abre hacia abajo y el vértice es el punto más alto. La primera coordenada del vértice también se puede calcular con x = −b ÷ (2a): aquí, x = −(−4) ÷ (2 · 1) = 2, y al sustituir, y = 4 − 8 + 3 = −1.

Ejemplo. Representa en una tabla y en una gráfica la función y = −x² + 2x + 3, para x de −2 a 4.

Solución. Para x = −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4 se obtienen y = −5, 0, 3, 4, 3, 0 y −5. Por ejemplo, para x = −2: y = −(−2)² + 2 · (−2) + 3 = −4 − 4 + 3 = −5. Ojo: −(−2)² es −4, porque primero se eleva y después se aplica el signo de afuera. Como a = −1 es negativo, la parábola se abre hacia abajo. El vértice es el punto más alto, (1, 4), y el eje de simetría es x = 1; la fórmula lo confirma: x = −2 ÷ (2 · (−1)) = 1. La gráfica corta el eje x en (−1, 0) y (3, 0), y el eje y en (0, 3).

De una representación a otra#

Las tres representaciones dicen lo mismo de distinta forma. Del criterio se obtienen la tabla, sustituyendo, y datos como el corte con el eje y. De la tabla se dibuja la gráfica y se ven la simetría y el vértice. De la gráfica se lee el comportamiento: dónde baja, dónde sube y cuál es el valor menor o el mayor.

Ejemplo. Con el criterio de los partidos de ida y vuelta, P = n² − n, haz la tabla para 2 a 8 equipos. ¿Cuántos equipos hacen falta para que haya 90 partidos?

Solución. Para n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se obtienen P = 2, 6, 12, 20, 30, 42 y 56. Las diferencias son 4, 6, 8, 10, 12 y 14, y aumentan siempre en 2, como corresponde a una cuadrática. Como n es una cantidad de equipos, solo tienen sentido los números naturales: la gráfica son puntos sueltos que siguen la forma de una parábola, y no se unen. Para 90 partidos se busca n con n² − n = 90. Siguiendo la tabla, con 9 equipos hay 81 − 9 = 72 partidos y con 10 hay 100 − 10 = 90. Hacen falta 10 equipos.

La gráfica también sirve para leer soluciones de ecuaciones: los ceros de y = x² − 4x + 3, que son 1 y 3, son los valores de x que cumplen x² − 4x + 3 = 0. Resolver una ecuación de segundo grado equivale a buscar dónde la parábola corta una recta horizontal.

Ponte a prueba#

¿Cuál de estas situaciones es cuadrática: el costo de x cuadernos a ₡1200 cada uno o el área de un rectángulo cuyo largo es el doble de su ancho x?#

¿Cuáles son los valores de a, b y c en y = (x − 2)(x + 5)?#

¿Qué valores tiene la tabla de y = 2x² − 3 para x = −2, −1, 0, 1 y 2?#

¿Cuál es el vértice de la parábola y = x² + 6x + 5 y en qué puntos corta los ejes?#

¿Qué criterio tiene el área de un corral rectangular cercado con 30 m de malla y cuál es el área mayor posible?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)