Prismas rectos: área lateral y área total

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 14 de 24

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Una caja de cartón, un aula, una tienda de campaña o una caja de regalo de forma triangular son prismas. Cuando hay que forrar una caja, pintar las paredes de un cuarto o cortar la tela de una tienda, la pregunta es la misma: ¿cuánta superficie tiene? En esta lección vas a calcular el área lateral y el área total de prismas rectos de base cuadrada, rectangular y triangular.

La idea central es sencilla: si se desarma un prisma recto y se despliega en un plano, sus caras laterales forman un solo rectángulo. Con esa imagen, las fórmulas se entienden en lugar de memorizarse. Las medidas de los ejemplos son inventadas para practicar.

Definición

Un prisma recto es un cuerpo geométrico con dos bases iguales y paralelas, que son polígonos, y caras laterales rectangulares, perpendiculares a las bases. La altura (h) es la distancia entre las bases y, en un prisma recto, mide lo mismo que cada arista lateral. El área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales, y el área total es el área lateral más el área de las dos bases.

El desarrollo plano y las fórmulas#

Imagina que cortas una caja por una arista lateral y por los bordes de las bases, y que la extiendes. Las caras laterales quedan una al lado de la otra y forman un rectángulo: su altura es la altura del prisma, h, y su base es la suma de los lados de la base del prisma, es decir, el perímetro de la base (P). A ese rectángulo quedan pegadas las dos bases.

Fórmula

A_L = P · h · A_T = A_L + 2 · A_B

Donde P es el perímetro de la base, h la altura del prisma y A_B el área de una base.

La fórmula del área lateral sirve para cualquier prisma recto, sea cual sea su base, porque todas sus caras laterales son rectángulos con la misma altura. Lo que cambia de un prisma a otro es cómo se calculan el perímetro y el área de la base:

Base	Perímetro P	Área de la base A_B
Cuadrado de lado l	4l	l²
Rectángulo de lados l y m	2l + 2m	l · m
Triángulo de lados a, b y c, con b como base y h_t como su altura	a + b + c	b · h_t ÷ 2
Triángulo equilátero de lado l	3l	l²√3 ÷ 4

En el prisma triangular hay dos alturas distintas: la del prisma (h), que separa las dos bases, y la del triángulo de la base (h_t), que solo sirve para calcular el área de la base.

Prismas de base cuadrada y rectangular#

Ejemplo. Un prisma recto de base cuadrada tiene 5 cm de lado y 12 cm de altura. Calcula su área lateral y su área total.

Solución. El perímetro de la base es P = 4 · 5 = 20 cm, así que A_L = 20 · 12 = 240 cm². Cada base mide 5² = 25 cm² y hay dos, de modo que A_T = 240 + 2 · 25 = 290 cm².

Ejemplo. Una caja cerrada mide 30 cm de largo, 20 cm de ancho y 15 cm de alto. ¿Cuánto cartón tiene, sin contar pestañas?

Solución. Si se toman como bases la tapa y el fondo, de 30 cm por 20 cm, el perímetro de la base es 2 · 30 + 2 · 20 = 100 cm y la altura es 15 cm: A_L = 100 · 15 = 1500 cm². Cada base mide 30 · 20 = 600 cm², así que A_T = 1500 + 2 · 600 = 2700 cm². Se puede comprobar de otra forma: la caja tiene tres pares de caras iguales, de 30 · 20 = 600, 30 · 15 = 450 y 20 · 15 = 300 cm², y 2 · (600 + 450 + 300) = 2700 cm².

En una caja, cualquier par de caras opuestas puede hacer de bases. El área total no cambia, pero el área lateral sí depende de cuáles se escojan: si en la caja anterior las bases fueran las caras de 30 cm por 15 cm, la altura sería 20 cm y el área lateral, 90 · 20 = 1800 cm²; con las dos bases de 450 cm², el total vuelve a ser 2700 cm². Por eso conviene decir cuáles caras se toman como bases.

El cubo es un caso particular del prisma de base cuadrada: sus seis caras son cuadrados iguales, así que su área total es 6l².

Prismas de base triangular#

Si la base es un triángulo, el área lateral sigue siendo el perímetro por la altura. Para el área de la base hace falta la altura del triángulo, que a veces se calcula con el teorema de Pitágoras.

Ejemplo. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cm, y la altura del prisma es de 10 cm. Calcula su área total.

Solución. Primero hace falta el tercer lado del triángulo, la hipotenusa: √(9² + 12²) = √225 = 15 cm. El perímetro es 9 + 12 + 15 = 36 cm y A_L = 36 · 10 = 360 cm². En un triángulo rectángulo, un cateto sirve de base y el otro de altura: A_B = 9 · 12 ÷ 2 = 54 cm². Entonces A_T = 360 + 2 · 54 = 468 cm².

Ejemplo. Una caja de regalo tiene forma de prisma recto cuya base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado, y mide 10 cm de largo. Calcula su área total.

Solución. La altura del prisma es el largo de la caja, 10 cm, porque es la distancia entre las dos bases triangulares. El perímetro es 3 · 4 = 12 cm, así que A_L = 12 · 10 = 120 cm². La altura del triángulo mide 4√3 ÷ 2 = 2√3 ≈ 3,46 cm, y A_B = 4 · 2√3 ÷ 2 = 4√3 ≈ 6,93 cm². Por tanto, A_T = 120 + 8√3 ≈ 133,86 cm².

Un prisma no siempre está «parado» sobre una base: en una caja triangular acostada, las bases quedan a los lados. Para no confundirse, primero se identifican las dos caras iguales y paralelas; la altura del prisma es la distancia entre ellas.

Problemas de la vida diaria#

Ejemplo. Un aula mide 8 m de largo, 6 m de ancho y 3 m de alto. Se van a pintar las paredes y el cielo raso, pero no el piso, la puerta (de 1 m por 2 m) ni dos ventanas (de 2 m por 1,5 m cada una). Si cada galón de pintura alcanza para 35 m² (dato inventado), ¿cuántos galones hay que comprar?

Solución. Las paredes son el área lateral: P = 2 · 8 + 2 · 6 = 28 m y A_L = 28 · 3 = 84 m². Se restan la puerta, 1 · 2 = 2 m², y las ventanas, 2 · (2 · 1,5) = 6 m²: quedan 76 m². El cielo raso es una de las bases: 8 · 6 = 48 m². En total hay que pintar 76 + 48 = 124 m², y 124 ÷ 35 ≈ 3,54 galones. Como tres galones no alcanzan, hay que comprar 4.

Ejemplo. Una tienda de campaña tiene forma de prisma triangular: el frente es un triángulo isósceles de 1,6 m de base y lados iguales de 1,7 m, y la tienda mide 2,2 m de largo. ¿Cuánta tela lleva si también tiene piso?

Solución. La altura del triángulo del frente cae en el punto medio de la base, así que se calcula con Pitágoras sobre la mitad de la base, 0,8 m: √(1,7² − 0,8²) = √(2,89 − 0,64) = √2,25 = 1,5 m. Cada triángulo mide 1,6 · 1,5 ÷ 2 = 1,2 m², y los dos, 2,4 m². Las caras laterales, incluido el piso, suman P · h = (1,7 + 1,7 + 1,6) · 2,2 = 5 · 2,2 = 11 m². La tienda lleva 2,4 + 11 = 13,4 m² de tela, sin contar costuras.

Datos que casan y errores frecuentes#

Antes de calcular, revisa que los datos sean posibles. Si la base es un triángulo rectángulo, sus lados tienen que cumplir el teorema de Pitágoras: unos lados de 9, 12 y 14 cm no forman un triángulo rectángulo, porque 9² + 12² = 225 y 14² = 196. Y si un problema da el lado y la altura de un triángulo equilátero, la altura tiene que ser l√3 ÷ 2.

Sumar una sola base: el área total lleva dos bases.
Confundir la altura del prisma con la altura del triángulo de la base.
Multiplicar el área de la base por la altura: eso da el volumen, no el área.
Mezclar unidades: si una medida está en metros y otra en centímetros, primero se pasan todas a la misma unidad.
Olvidar que el área se expresa en unidades cuadradas, como cm² o m².

Ponte a prueba#

¿Cuál es el área total de un prisma recto de base cuadrada de 7 cm de lado y 20 cm de altura?#

El perímetro de la base es 4 · 7 = 28 cm, así que el área lateral es 28 · 20 = 560 cm². Cada base es un cuadrado de 7² = 49 cm², y como son dos, suman 98 cm². El área total es 560 + 98 = 658 cm².

¿Cuánto cartón se necesita para una caja cerrada de 40 cm por 25 cm por 10 cm?#

La caja tiene tres pares de caras iguales: dos de 40 · 25 = 1000 cm², dos de 40 · 10 = 400 cm² y dos de 25 · 10 = 250 cm². El área total es 2 · (1000 + 400 + 250) = 3300 cm². Con la fórmula se llega a lo mismo: el perímetro de la base de 40 por 25 es 130 cm, por la altura de 10 cm da 1300 cm², y las dos bases suman 2000 cm².

¿Cuál es el área total de un prisma recto de 15 cm de altura cuya base es un triángulo equilátero de 6 cm de lado?#

El área lateral es el perímetro por la altura: 3 · 6 · 15 = 270 cm². El área de cada base triangular es 6²√3 ÷ 4 = 9√3 ≈ 15,59 cm². Con las dos bases, el área total es 270 + 18√3 ≈ 301,18 cm². Hay que fijarse en no confundir los 15 cm, que separan las bases, con la altura del triángulo.

¿Qué altura tiene un prisma recto de base rectangular de 5 cm por 3 cm si su área lateral es de 128 cm²?#

El área lateral es el perímetro de la base por la altura. El perímetro es 2 · 5 + 2 · 3 = 16 cm, así que 16 · h = 128 y h = 128 ÷ 16 = 8 cm. Con ese dato también se obtiene el área total: 128 + 2 · (5 · 3) = 128 + 30 = 158 cm².

¿Por qué el área lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base por la altura?#

Porque todas las caras laterales de un prisma recto son rectángulos con la misma altura, la del prisma. Si se cortan por una arista lateral y se extienden, quedan una junto a otra y forman un solo rectángulo. La altura de ese rectángulo es h y su base es la suma de los lados de la base del prisma, es decir, el perímetro P. Por eso A_L = P · h.