Un ladrillo, un dado, una barra de chocolate de forma triangular o la punta de un obelisco tienen algo en común: son cuerpos limitados por caras planas, y varios de ellos son prismas o pirámides. Antes de calcular áreas o volúmenes hay que saber nombrar cada parte de estos cuerpos y reconocerla aunque el cuerpo esté acostado o dibujado en perspectiva.
Definición
La pirámide se apoya en un único polígono, su base. Sobre cada lado de la base se levanta una cara lateral con forma de triángulo, y todas esas caras comparten un vértice que no está en el plano de la base: el ápice o cúspide. Un prisma tiene dos bases poligonales congruentes, situadas en planos paralelos, y sus caras laterales unen cada lado de una base con el lado correspondiente de la otra. El prisma es recto cuando esas caras laterales son rectángulos perpendiculares a las bases.
Los elementos de una pirámide#
Imagina una pirámide de base cuadrada apoyada sobre una mesa. Estos son sus elementos:
- Base: el polígono sobre el que se apoya. Le da nombre a la pirámide: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…
- Caras laterales: los triángulos que tienen un lado en la base y el vértice opuesto en la cúspide. Hay tantas como lados tiene la base.
- Ápice o cúspide: el vértice común a todas las caras laterales. No está en el plano de la base.
- Aristas: los segmentos donde se encuentran dos caras. Hay dos clases: las aristas de la base, que coinciden con los lados del polígono de la base, y las aristas laterales, que unen la cúspide con cada vértice de la base.
- Altura (h): el segmento que baja desde la cúspide hasta el plano de la base y forma ángulo recto con él. Su longitud es la distancia de la cúspide a la base.
- Apotema de la pirámide: el glosario del programa del MEP la define como «el segmento que tiene por extremos el ápice y el punto medio del lado de la base de una pirámide». Si las caras laterales son triángulos isósceles, la apotema es la altura de cada una de ellas.
- Apotema de la base: cuando la base es un polígono regular, es lo que el mismo glosario llama apotema del polígono: «el segmento que tiene por extremos el centro del polígono y el punto medio de su lado».
Se llama pirámide recta a la que tiene el pie de la altura justo en el centro de su base. Si esa base es, además, un polígono regular (un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular…), las caras laterales resultan triángulos isósceles congruentes entre sí, y la pirámide tiene una sola medida de apotema.
Con una base rectangular que no es cuadrada, las caras laterales vienen en dos parejas distintas: las dos que descansan sobre los lados largos y las dos que descansan sobre los lados cortos. Cada pareja tiene su apotema. Mide más la apotema de las caras que descansan sobre los lados cortos, porque el centro del rectángulo está más lejos de esos lados.
Tres segmentos que parten del ápice#
La altura, la apotema de la pirámide y una arista lateral tienen el mismo punto de partida, el ápice, pero terminan en lugares diferentes, y no todos forman ángulo recto con algo:
| Segmento | Punto de llegada | Con qué forma ángulo recto |
|---|---|---|
| Altura | Un punto del plano de la base; en la pirámide recta, el centro de la base | Con el plano de la base |
| Apotema de la pirámide | El punto medio de un lado de la base | Con ese lado de la base, si la cara lateral es un triángulo isósceles |
| Arista lateral | Un vértice de la base | Ni con la base ni con sus lados: llega inclinada |
La última columna explica el orden de sus medidas en una pirámide recta de base regular: la altura es el más corto de los tres segmentos y la arista lateral, el más largo. El camino más corto de un punto a un plano, o a una recta, es el que llega en ángulo recto. Por eso la altura, que cae perpendicular sobre la base, mide menos que la apotema, que llega a la base inclinada. Y dentro de una cara lateral, la apotema cae perpendicular sobre el lado de la base, mientras que la arista lateral va a uno de los extremos de ese lado: la apotema mide menos que la arista. Estas medidas se calculan en noveno año, en la lección pirámides rectas: apotema, área lateral y área total.
Ejemplo. En el dibujo de una pirámide recta de base cuadrada alguien anotó una altura de 10 cm y una apotema de 8 cm. ¿Pueden ser correctas esas medidas?
Solución. No. La apotema va de la cúspide a un punto de la base, y el camino más corto de la cúspide a la base es la altura. Por eso la apotema tiene que medir más que la altura: si la altura es de 10 cm, la apotema mide más de 10 cm, y 8 cm es imposible.
Caras, aristas y vértices#
Si la base de una pirámide tiene n lados, la pirámide tiene n caras laterales más la base, n aristas en la base más n laterales, y n vértices en la base más la cúspide. En un prisma cuyas bases tienen n lados hay n caras laterales más las dos bases, n aristas en cada base más n laterales, y n vértices en cada base.
| Cuerpo | Caras | Aristas | Vértices |
|---|---|---|---|
| Pirámide con base de n lados | n + 1 | 2n | n + 1 |
| Prisma con bases de n lados | n + 2 | 3n | 2n |
| Pirámide triangular (n = 3) | 4 | 6 | 4 |
| Pirámide cuadrangular (n = 4) | 5 | 8 | 5 |
| Prisma triangular (n = 3) | 5 | 9 | 6 |
| Prisma hexagonal (n = 6) | 8 | 18 | 12 |
En todos los casos, el número de caras más el de vértices es igual al de aristas más 2. Por ejemplo, en el prisma hexagonal, 8 + 12 = 18 + 2. Esta relación, conocida como relación de Euler, sirve para revisar un conteo.
Ejemplo. Una pirámide tiene 7 caras en total. ¿Qué polígono es su base y cuántas aristas y vértices tiene?
Solución. Las caras son n + 1 = 7, así que n = 6: la base es un hexágono y la pirámide es hexagonal. Tiene 2 · 6 = 12 aristas y 6 + 1 = 7 vértices. Comprobación con la relación de Euler: 7 + 7 = 12 + 2.
Los elementos de un prisma recto#
- Bases: los dos polígonos congruentes y paralelos. Le dan nombre al prisma: triangular, cuadrangular, pentagonal…
- Caras laterales: en el prisma recto son rectángulos, uno por cada lado de la base.
- Aristas: las básicas son los lados de las bases, y las laterales unen cada vértice de una base con el vértice correspondiente de la otra. Las aristas laterales son paralelas y miden lo mismo.
- Altura (h): la separación entre los planos de las dos bases. En un prisma recto es igual a lo que mide cualquier arista lateral, porque esas aristas caen perpendiculares sobre las bases.
Si las caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos, el prisma es oblicuo: está inclinado, y su altura es menor que sus aristas laterales. Una caja de zapatos es un prisma recto de base rectangular, también llamado ortoedro, y el cubo es el caso especial en que las seis caras son cuadrados.
Las bases de un prisma no siempre están arriba y abajo. Una barra de chocolate con forma de prisma triangular, acostada sobre la mesa, tiene sus bases en los dos extremos, y su altura como prisma es lo que mide de un extremo al otro. Para encontrar las bases, busca las dos caras congruentes y paralelas que no son rectángulos; si todas las caras son rectángulos, como en un ladrillo, las bases pueden ser cualquiera de los tres pares de caras opuestas.
Ejemplo. Un prisma recto tiene por bases dos triángulos de lados 4 cm, 7 cm y 9 cm, y sus aristas laterales miden 14 cm. Describe sus caras laterales y di cuánto mide su altura.
Solución. Tiene tres caras laterales, una por cada lado del triángulo: rectángulos de 4 cm por 14 cm, de 7 cm por 14 cm y de 9 cm por 14 cm. Como el prisma es recto, la altura mide lo mismo que una arista lateral: 14 cm. En total tiene 5 caras, 9 aristas y 6 vértices.
Modelos con pajillas y plastilina#
Una buena forma de visualizar estos cuerpos es armar su esqueleto con pajillas y bolitas de plastilina: cada pajilla es una arista y cada bolita, un vértice. Para saber cuánto material se necesita, se suman las longitudes de las aristas.
Ejemplo. Se va a armar con pajillas una pirámide recta de base cuadrada de 9 cm de lado, cuyas aristas laterales miden 15 cm. ¿Cuántas pajillas, cuántos centímetros de pajilla y cuántas bolitas de plastilina se necesitan?
Solución. La pirámide tiene 8 aristas: 4 en la base, de 9 cm, y 4 laterales, de 15 cm. Se necesitan 8 pajillas y 4 · 9 + 4 · 15 = 36 + 60 = 96 cm de pajilla. Hacen falta 5 bolitas, una por vértice: las cuatro esquinas de la base y la cúspide, que es la bolita a la que llegan cuatro pajillas.
Ejemplo. ¿Y para un prisma recto cuyas bases son triángulos equiláteros de 8 cm de lado y cuya altura es de 13 cm?
Solución. El prisma triangular tiene 9 aristas: 3 en cada base, de 8 cm, y 3 laterales, que en un prisma recto miden lo mismo que la altura, 13 cm. En total se usan 6 · 8 + 3 · 13 = 48 + 39 = 87 cm de pajilla y 6 bolitas de plastilina.
Ponte a prueba#
¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene una pirámide pentagonal?#
Su base es un pentágono, así que n = 5. Tiene 5 caras laterales más la base, es decir, 6 caras; 5 aristas en la base y 5 laterales, 10 aristas en total; y 5 vértices en la base más la cúspide, 6 vértices. Se cumple la relación de Euler: 6 + 6 = 10 + 2.
¿Cuál es la diferencia entre la altura y la apotema de una pirámide recta?#
Las dos salen del ápice, pero terminan en lugares distintos. La altura termina en el centro de la base y forma ángulo recto con ella. La apotema de la pirámide recorre una cara lateral y termina en el punto medio de un lado de la base, adonde llega inclinada. Como el camino perpendicular es el más corto, la altura siempre mide menos que la apotema.
¿Cuánto mide la altura de un prisma recto cuyas aristas laterales miden 12 cm?#
Mide 12 cm. En un prisma recto, las aristas laterales son perpendiculares a las bases, así que cada una mide exactamente la distancia entre los planos de las dos bases, que es la altura. En un prisma oblicuo no pasa lo mismo: las aristas laterales están inclinadas y la altura es menor que ellas.
¿Cuántas apotemas distintas tiene una pirámide recta de base rectangular de 9 cm por 15 cm?#
Tiene dos. Las dos caras que descansan sobre los lados de 15 cm son congruentes y comparten una apotema; las dos que descansan sobre los lados de 9 cm tienen otra. Mide más la segunda, porque el centro de la base está a 15 ÷ 2 = 7,5 cm de los lados de 9 cm y solo a 9 ÷ 2 = 4,5 cm de los lados de 15 cm.
¿Cuántos centímetros de alambre hacen falta para el esqueleto de un prisma recto de base cuadrada de 6 cm de lado y 13 cm de altura?#
El prisma cuadrangular tiene 12 aristas: 4 en cada base, de 6 cm, y 4 laterales, que miden lo mismo que la altura, 13 cm. Hacen falta 8 · 6 + 4 · 13 = 48 + 52 = 100 cm de alambre, sin contar lo que se use para amarrar las esquinas.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
