Pirámides rectas: apotema, área lateral y área total

El techo de un rancho, una caja de regalo con punta o una maqueta de cartulina pueden tener forma de pirámide. Para saber cuánto material hace falta para construirlas hay que calcular su área, y para eso se necesita una medida que no siempre se da: la apotema de la pirámide.

En esta lección vas a distinguir la apotema de la pirámide de la apotema de su base, a calcularla con el teorema de Pitágoras cuando la base es un cuadrado o un triángulo equilátero, y a hallar el área lateral y el área total de pirámides rectas de base cuadrada, rectangular o triangular. Las medidas de los ejemplos son inventadas para practicar.

Los elementos de una pirámide recta#

Una pirámide tiene una sola base, que es un polígono, y caras laterales triangulares que se juntan en un punto, la cúspide o ápice. Los lados de la base son las aristas de la base, y los segmentos que van de la cúspide a los vértices de la base son las aristas laterales.

Cuando la pirámide es recta y su base es un polígono regular, como un cuadrado o un triángulo equilátero, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Por eso todas tienen la misma altura, y esa altura común es la apotema de la pirámide.

Hay tres medidas que salen de la cúspide y que conviene no confundir:

• La altura h va por dentro de la pirámide, de la cúspide al centro de la base.
• La apotema de la pirámide a_p va por una cara lateral, de la cúspide al punto medio de una arista de la base.
• La arista lateral va por el borde, de la cúspide a un vértice de la base.
• De las tres, la más corta es la altura; luego viene la apotema, y la más larga es la arista lateral.

Cómo se calcula la apotema de la pirámide#

Dentro de la pirámide se esconde un triángulo rectángulo: el ángulo recto está en el centro de la base, los catetos son la altura h y la apotema de la base a_b, y la hipotenusa es la apotema de la pirámide a_p. Por el teorema de Pitágoras:

La apotema de la base#

Base de lado l	Apotema de la base	Por qué
Cuadrado	ab = l ÷ 2	Del centro al punto medio de un lado hay medio lado.
Triángulo equilátero	ab = l√3 ÷ 6	Es la tercera parte de la altura del triángulo, que mide l√3 ÷ 2.

En el triángulo equilátero, el centro está sobre cada una de sus alturas, a un tercio de su longitud contado desde el lado. Por eso la apotema de la base es la tercera parte de la altura del triángulo.

Ejemplo. Una pirámide recta de base cuadrada tiene 16 cm de lado y 15 cm de altura. ¿Cuánto mide su apotema?

Solución. La apotema de la base es la mitad del lado: a_b = 16 ÷ 2 = 8 cm. Con Pitágoras, a_p² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, así que a_p = √289 = 17 cm. Como era de esperar, la apotema (17 cm) es mayor que la altura (15 cm).

Ejemplo. La apotema de una pirámide recta de base cuadrada mide 25 m y el lado de la base, 14 m. ¿Cuánto miden su altura y su arista lateral?

Solución. Ahora la incógnita es un cateto. La apotema de la base es 14 ÷ 2 = 7 m, y h² = 25² − 7² = 625 − 49 = 576, así que h = 24 m. La arista lateral es la hipotenusa de otro triángulo rectángulo, el que forman, dentro de una cara, la apotema de la pirámide y la mitad de la arista de la base: √(25² + 7²) = √674 ≈ 25,96 m.

Área lateral y área total#

El área lateral (A_L) es la suma de las áreas de las caras laterales, y el área total (A_T) es el área lateral más el área de la base (A_B). Al recortar la pirámide por sus aristas laterales y desplegarla en un plano se obtiene su desarrollo plano: la base rodeada de triángulos.

En una pirámide recta de base regular con n lados, las caras laterales son n triángulos iguales de base l y altura a_p. Juntas miden n · l · a_p ÷ 2, y como n · l es el perímetro P de la base:

Ejemplo. Calcula el área lateral y el área total de la pirámide de base cuadrada de 16 cm de lado y 15 cm de altura.

Solución. Ya se sabe que a_p = 17 cm. El perímetro de la base es P = 4 · 16 = 64 cm, así que A_L = 64 · 17 ÷ 2 = 544 cm². La base mide A_B = 16² = 256 cm², y el área total es A_T = 544 + 256 = 800 cm². Un error frecuente es usar la altura (15 cm) en lugar de la apotema: daría 64 · 15 ÷ 2 = 480 cm² de área lateral, menos de lo que en realidad mide.

Pirámides de base triangular#

Si la base es un triángulo equilátero de lado l, las tres caras laterales son iguales. La altura del triángulo de la base mide l√3 ÷ 2, su área es l · (l√3 ÷ 2) ÷ 2 = l²√3 ÷ 4 y la apotema de la base es l√3 ÷ 6.

Ejemplo. Una pirámide recta tiene por base un triángulo equilátero de 12 cm de lado y su altura es de 6 cm. Calcula su apotema, su área lateral y su área total.

Solución. La apotema de la base es a_b = 12√3 ÷ 6 = 2√3 ≈ 3,46 cm. Con Pitágoras, a_p² = 6² + (2√3)² = 36 + 12 = 48, así que a_p = √48 = 4√3 ≈ 6,93 cm. El perímetro es P = 3 · 12 = 36 cm, de modo que A_L = 36 · 4√3 ÷ 2 = 72√3 ≈ 124,71 cm². La base mide A_B = 12² · √3 ÷ 4 = 36√3 ≈ 62,35 cm². En total, A_T = 72√3 + 36√3 = 108√3 ≈ 187,06 cm².

Un caso especial es el tetraedro regular: una pirámide de base triangular cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros iguales. Su área total es cuatro veces el área de una cara.

Pirámides de base rectangular#

Si la base es un rectángulo que no es cuadrado, la pirámide recta tiene dos pares de caras iguales: dos triángulos levantados sobre los lados largos y dos sobre los lados cortos. Como el centro del rectángulo no está a la misma distancia de todos sus lados, hay dos apotemas distintas: la de las caras sobre los lados largos se calcula con la mitad del lado corto, y la de las caras sobre los lados cortos, con la mitad del lado largo.

Ejemplo. Una pirámide recta tiene una base rectangular de 8 m por 6 m y una altura de 4 m. Calcula su área lateral y su área total.

Solución. Para las caras sobre los lados de 8 m, la distancia del centro de la base al lado es la mitad de 6, o sea 3 m: a₁ = √(4² + 3²) = √25 = 5 m. Para las caras sobre los lados de 6 m, la distancia es la mitad de 8, o sea 4 m: a₂ = √(4² + 4²) = √32 = 4√2 ≈ 5,66 m. El área lateral es 2 · (8 · 5 ÷ 2) + 2 · (6 · 4√2 ÷ 2) = 40 + 24√2 ≈ 73,94 m². La base mide 8 · 6 = 48 m², así que el área total es 88 + 24√2 ≈ 121,94 m². Aquí no sirve la fórmula P · a_p ÷ 2, porque las caras no tienen todas la misma altura.

Un problema de la vida diaria y datos que casan#

Ejemplo. El techo de un rancho tiene forma de pirámide recta de base cuadrada, de 6 m de lado y 2 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados de lámina se necesitan para cubrirlo, sin contar traslapes?

Solución. El techo solo tiene caras laterales: la base es el espacio abierto que queda debajo, así que se calcula el área lateral. La apotema de la base es 6 ÷ 2 = 3 m, y a_p = √(2² + 3²) = √13 ≈ 3,61 m. Entonces A_L = 24 · √13 ÷ 2 = 12√13 ≈ 43,27 m². En una obra se compra un poco más, por los traslapes y los cortes.

¿Casan los datos?#

La apotema de la pirámide es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma con la altura y la apotema de la base, así que siempre es mayor que las dos. Si la base es un cuadrado de 10 cm de lado, la apotema de la base ya mide 5 cm, y un problema que diera 4 cm como apotema de la pirámide sería imposible: tiene que medir más de 5 cm. Si un problema da la altura, la apotema y el lado, comprueba que cumplan a_p² = h² + a_b².

Ponte a prueba#

¿Cuánto miden la apotema, el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada de 10 cm de lado y 12 cm de altura?#

¿Cuánto mide la apotema de una pirámide recta de 4 cm de altura cuya base es un triángulo equilátero de 18 cm de lado?#

¿Puede una pirámide recta de base cuadrada de 20 cm de lado tener una apotema de 9 cm?#

¿Cuánta cartulina se necesita para una pirámide recta cerrada de base rectangular de 10 cm por 6 cm y 4 cm de altura?#

¿Cuál es el área total de un tetraedro regular de 6 cm de arista?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)