Secciones planas de pirámides y prismas: qué figuras se obtienen

Si cortas un bloque de plastilina con forma de caja usando un cuchillo bien recto, la cara que queda al descubierto es una figura plana: puede ser un rectángulo, un triángulo, un trapecio y hasta un hexágono, según por dónde y con qué inclinación pases el cuchillo, pues hay muchas secciones planas distintas. Esa figura es una sección plana del cuerpo.

El programa del MEP sugiere usar modelos de plastilina u otro material que se pueda cortar: si puedes, haz los cortes mientras lees.

Definición

El glosario del programa del MEP define la sección plana como «la intersección entre un plano y un cuerpo geométrico». En un prisma o en una pirámide, esa sección es un polígono: sus lados son los segmentos que el plano marca sobre las caras del cuerpo, y sus vértices son los puntos donde el plano corta las aristas.

Dos ideas para predecir la figura#

Antes de cortar, conviene pensar en dos propiedades que valen para cualquier prisma o pirámide:

Cada lado de la sección está sobre una cara. Si el plano atraviesa 3 caras, la sección es un triángulo; si atraviesa 4, un cuadrilátero; si atraviesa 5, un pentágono. Por eso la sección nunca tiene más lados que caras tiene el cuerpo.
Dos caras paralelas dejan lados paralelos. Si el plano corta dos caras paralelas entre sí, los lados de la sección que quedan sobre ellas son paralelos.

Cuerpo	Número de caras	Sección con más lados posible
Prisma de base cuadrada o rectangular	6	Hexágono
Prisma de base triangular	5	Pentágono
Pirámide de base cuadrada o rectangular	5	Pentágono
Pirámide de base triangular	4	Cuadrilátero

Para dibujar una sección se marcan los puntos donde el plano corta las aristas y se unen, de dos en dos, los que están sobre una misma cara.

Prisma recto de base cuadrada o rectangular#

Piensa en una caja de base rectangular apoyada sobre una mesa. Según la posición del plano, se obtiene:

Posición del plano de corte	Sección que resulta
Paralelo a las bases	Un cuadrado o un rectángulo congruente con la base
Perpendicular a las bases	Un rectángulo tan alto como el prisma; su ancho es el segmento que el plano marca en la base
Inclinado, cortando las cuatro aristas laterales	Un paralelogramo; según la inclinación, puede ser un rectángulo o un rombo
Inclinado cerca de un vértice, cortando solo las tres aristas que llegan a él	Un triángulo
Inclinado, atravesando cinco o seis caras	Un pentágono o un hexágono

El paralelogramo se explica con la segunda idea: las caras laterales opuestas de la caja son paralelas, así que los lados de la sección que quedan en ellas también lo son. Un caso llamativo es el del cubo: un plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal que une dos vértices opuestos corta las seis caras por los puntos medios de seis aristas, y la sección es un hexágono regular.

Ejemplo. Un bloque de queso tiene forma de prisma recto: sus bases, en los extremos, son cuadrados de 9 cm de lado, y su largo es de 22 cm. ¿Qué figura queda y qué área tiene si se corta a) con un plano paralelo a las bases; b) a lo largo, con un plano perpendicular a las bases que pasa por los puntos medios de dos lados opuestos de una base?

Solución. a) Un cuadrado congruente con las bases, de 9 cm de lado, que ocupa 9 · 9 = 81 cm². b) Un rectángulo. Su ancho es el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado, que mide lo mismo que un lado, 9 cm, y su largo es el del bloque, 22 cm. Ocupa 9 · 22 = 198 cm².

Prisma recto de base triangular#

Posición del plano de corte	Sección que resulta
Paralelo a las bases	Un triángulo congruente con las bases
Perpendicular a las bases	Un rectángulo tan alto como el prisma
Inclinado, cortando las tres aristas laterales	Un triángulo, en general distinto de las bases
Inclinado, cortando las dos bases y dos caras laterales	Un trapecio, porque los lados que quedan en las bases son paralelos
Inclinado, atravesando las cinco caras	Un pentágono

Ejemplo. Una pieza de madera tiene forma de prisma recto de 30 cm de largo, y sus bases son triángulos de lados 7 cm, 8 cm y 10 cm. a) ¿Qué perímetro tiene la sección paralela a las bases? b) ¿Qué figura se obtiene, y con qué medidas, si se corta con un plano perpendicular a las bases que pasa por los puntos medios de los lados de 7 cm y de 8 cm de una base?

Solución. a) Es un triángulo congruente con las bases, así que su perímetro es 7 + 8 + 10 = 25 cm. b) Es un rectángulo de 30 cm de largo. Su ancho es el segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo de la base: por el teorema de la paralela media, mide la mitad del tercer lado, 10 ÷ 2 = 5 cm. El rectángulo mide 5 cm por 30 cm, y su área es 150 cm².

Pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular#

Posición del plano de corte	Sección que resulta
Paralelo a la base	Un polígono semejante a la base, más pequeño: un cuadrado, un rectángulo con las mismas proporciones o un triángulo semejante
Perpendicular a la base, pasando por la cúspide	Un triángulo
Perpendicular a la base, sin pasar por la cúspide	Un triángulo o un cuadrilátero; si el plano es paralelo a un lado de la base y pasa entre ese lado y el pie de la altura, es un trapecio
Inclinado, cortando todas las aristas laterales	Un polígono con tantos lados como la base, en general no semejante a ella
Inclinado, atravesando la base y todas las caras laterales	Un pentágono en la de base cuadrada o rectangular; un cuadrilátero en la triangular

El corte paralelo a la base funciona como una homotecia con centro en la cúspide. En cada cara lateral, el plano traza un segmento paralelo a la arista de la base y, por el teorema de Thales, ese segmento se reduce en la misma razón que hay entre la distancia del plano a la cúspide y la altura de la pirámide. Si el plano está a la mitad de la altura, cada lado de la sección mide la mitad del lado correspondiente de la base.

Ejemplo. Una pirámide recta tiene por base un cuadrado de 20 cm de lado y mide 16 cm de altura. Un plano paralelo a la base la corta 4 cm por encima de la base. ¿Qué figura se obtiene y cuánto mide su lado?

Solución. Hay que medir desde la cúspide: el plano queda a 16 − 4 = 12 cm de ella, y 12/16 = 3/4. La sección es un cuadrado semejante a la base con razón 3/4, así que su lado mide 20 · 3/4 = 15 cm.

Ejemplo. Una pirámide recta tiene por base un rectángulo de 12 cm por 8 cm. ¿Qué sección produce un plano paralelo a la base que pasa por los puntos medios de las aristas laterales?

Solución. El plano está a la mitad de la altura, así que la sección es un rectángulo con lados de la mitad: 6 cm por 4 cm. Conserva la proporción de la base (12/8 = 6/4 = 1,5). Su área es 6 · 4 = 24 cm², la cuarta parte de la de la base, que mide 12 · 8 = 96 cm².

Ejemplo. ¿Qué figura se obtiene al cortar una pirámide recta de base cuadrada con un plano perpendicular a la base que pasa por la cúspide y por dos vértices opuestos de la base?

Solución. Un triángulo isósceles. Su base es una diagonal del cuadrado, sus otros dos lados son aristas laterales, que miden lo mismo, y su altura es la altura de la pirámide, porque el centro de la base está sobre esa diagonal. Si el plano pasara por la cúspide y por los puntos medios de dos lados opuestos de la base, también saldría un triángulo isósceles, pero sus lados iguales serían dos apotemas de la pirámide.

Errores frecuentes#

Creer que el corte paralelo a la base de una pirámide es igual a la base. Tiene la misma forma, pero es más pequeño. En un prisma, en cambio, el corte paralelo a las bases sí es congruente con ellas.
Esperar figuras con más lados que caras. Una pirámide de base cuadrada tiene 5 caras, así que ningún corte produce un hexágono.
Confundir cortar una arista con cortar una cara. Los vértices de la sección están sobre las aristas; los lados, sobre las caras.
Pensar que un corte inclinado siempre da la misma figura. Depende de cuántas caras atraviese el plano: al cambiar un poco la inclinación, un cuadrilátero puede volverse un pentágono.

Ponte a prueba#

¿Qué figura se obtiene al cortar una pirámide recta de base triangular con un plano paralelo a su base?#

Un triángulo semejante a la base, pero más pequeño. El corte paralelo actúa como una homotecia con centro en la cúspide: los ángulos se conservan y cada lado se reduce en la misma razón. Esa razón es la distancia del plano a la cúspide dividida entre la altura de la pirámide; por ejemplo, a la mitad de la altura, los lados miden la mitad.

¿Puede salir un hexágono al cortar una pirámide de base cuadrada con un plano?#

No. Cada lado de una sección plana está sobre una cara distinta del cuerpo, y una pirámide de base cuadrada tiene solo 5 caras: la base y cuatro caras laterales. Por eso la sección tiene como máximo 5 lados; el pentágono aparece cuando un plano inclinado atraviesa la base y las cuatro caras laterales. En cambio, un prisma de base cuadrada tiene 6 caras y sí admite un hexágono.

¿Cuánto mide el lado de la sección de una pirámide recta de base cuadrada de 12 cm de lado y 8 cm de altura si se corta con un plano paralelo a la base a 2 cm de la cúspide?#

La sección es un cuadrado semejante a la base. La razón es la distancia del plano a la cúspide entre la altura: 2/8 = 1/4. Entonces su lado mide 12 · 1/4 = 3 cm. Hay que fijarse en desde dónde se mide la distancia: si los 2 cm se contaran desde la base, la razón sería 6/8 y el lado mediría 9 cm.

¿Qué figura se obtiene al cortar un prisma recto de base triangular con un plano perpendicular a sus bases?#

Un rectángulo. El plano corta cada base en un segmento, y esos dos segmentos son iguales y paralelos; los otros dos lados de la sección quedan sobre las caras laterales y son verticales, tan largos como la altura del prisma. Por eso la sección tiene cuatro ángulos rectos: su ancho es el segmento marcado en la base y su largo, la altura.

¿Por qué es un paralelogramo la sección de una caja cortada por un plano inclinado que corta sus cuatro aristas laterales?#

Porque el plano atraviesa las cuatro caras laterales, y en una caja esas caras forman dos pares de caras paralelas. Cuando un plano corta dos caras paralelas, los segmentos que deja en ellas son paralelos. Así, los lados opuestos de la sección son paralelos dos a dos, y la figura es un paralelogramo, que puede ser un rectángulo o un rombo según la inclinación.