El teorema de Thales: rectas paralelas y segmentos proporcionales

Las líneas de una hoja de cuaderno son paralelas y están a la misma distancia unas de otras. Si trazas sobre ellas un segmento inclinado, los tramos que quedan entre dos líneas seguidas miden todos lo mismo, por inclinado que esté. Y si trazas dos segmentos inclinados distintos, las partes de uno y las del otro guardan la misma proporción. Esa es la idea del teorema de Thales (también escrito Tales), una herramienta muy útil para calcular longitudes que no se pueden medir directamente.

Definición

Teorema de Thales. Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales, los segmentos que las paralelas determinan en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes que determinan en la otra. Si las paralelas cortan a una transversal en A, B y C, y a la otra en A′, B′ y C′, entonces AB/BC = A′B′/B′C′.

Cómo se leen las proporciones del teorema#

Imagina tres rectas paralelas, r, s y t, y dos transversales, m y n. La recta m corta a las paralelas en A, B y C, y la recta n las corta en A′, B′ y C′, en el mismo orden. Son segmentos correspondientes los que quedan entre las mismas dos paralelas: AB con A′B′, BC con B′C′ y AC con A′C′.

Fórmula

AB/BC = A′B′/B′C′ · A′B′/AB = B′C′/BC = A′C′/AC

Las dos formas dicen lo mismo. La primera compara las partes de cada transversal entre sí; la segunda dice que, al pasar de una transversal a la otra, todos los segmentos se multiplican por un mismo número.

Un error frecuente es meter en la proporción segmentos que están sobre las paralelas, como el que une A con A′. El teorema habla de los segmentos que quedan sobre las transversales. Los segmentos sobre las paralelas cumplen otra relación, que aparece en el caso del triángulo.

Ejemplo. Tres rectas paralelas cortan a una transversal en A, B y C, con AB = 3 cm y BC = 5 cm, y a otra transversal en A′, B′ y C′, con A′B′ = 4,2 cm. ¿Cuánto miden B′C′ y A′C′?

Solución. Por el teorema, AB/BC = A′B′/B′C′, es decir, 3/5 = 4,2/B′C′. Al despejar, B′C′ = 4,2 · 5 ÷ 3 = 7 cm. Otra forma de verlo: al pasar de la primera transversal a la segunda, 3 cm se convirtieron en 4,2 cm, o sea, se multiplicaron por 4,2 ÷ 3 = 1,4; entonces B′C′ = 5 · 1,4 = 7 cm. Además, A′C′ = 4,2 + 7 = 11,2 cm, que es 1,4 veces AC = 8 cm.

El teorema de Thales dentro de un triángulo#

Si en un triángulo ABC se traza una recta paralela al lado BC que corta al lado AB en D y al lado AC en E, los lados AB y AC hacen de transversales que se cruzan en el vértice A, y DE y BC son paralelas (puedes imaginar una tercera paralela que pasa por A). Entonces se cumple:

Fórmula

AD/DB = AE/EC · AD/AB = AE/AC = DE/BC

La primera proporción compara las partes de cada lado. La segunda compara el triángulo pequeño ADE con el grande ABC, que son semejantes; por eso en ella sí aparece DE, el segmento paralelo. Cuando se usa DE, se compara con los lados completos (AD con AB), no con las partes (AD con DB).

Ejemplo. En △ABC, el segmento DE es paralelo a BC, con D en AB y E en AC. Si AD = 6 cm, DB = 4 cm, AE = 7,5 cm y BC = 12 cm, calcula EC y DE.

Solución. Con la primera proporción, 6/4 = 7,5/EC, así que EC = 7,5 · 4 ÷ 6 = 5 cm. Para DE se usa la segunda, con el lado completo AB = 6 + 4 = 10 cm: DE/12 = 6/10, de donde DE = 12 · 0,6 = 7,2 cm. Si por error se usara la razón 6/4, saldría DE = 18 cm, más que BC, lo cual es imposible: DE está más cerca del vértice A que BC.

La propiedad también funciona al revés (es su recíproco): si un segmento DE, con D en AB y E en AC, cumple AD/DB = AE/EC, entonces DE es paralelo a BC. Así se puede comprobar un paralelismo midiendo longitudes.

Ejemplo. En un triángulo ABC, AD = 4,5 cm, DB = 3 cm, AE = 6 cm y EC = 4 cm. ¿Es DE paralelo a BC? ¿Y si EC midiera 5 cm?

Solución. 4,5/3 = 1,5 y 6/4 = 1,5. Las razones coinciden, así que DE es paralelo a BC. Si EC midiera 5 cm, 6/5 = 1,2, distinto de 1,5, y DE no sería paralelo a BC.

Un caso especial: la paralela media#

El programa del MEP propone deducir del teorema de Thales el teorema de la paralela media: el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de él.

La deducción es corta. Si D es el punto medio de AB, entonces AD/DB = 1. Si por D se traza la paralela a BC, por el teorema AE/EC = 1, así que la paralela llega justo al punto medio E del lado AC. Además, DE/BC = AD/AB = 1/2: DE mide la mitad de BC.

Ejemplo. Un triángulo tiene lados de 9 cm, 13 cm y 16 cm. Se unen, de dos en dos, los puntos medios de sus lados. ¿Qué perímetro tiene el triángulo que se forma?

Solución. Cada lado del nuevo triángulo es una paralela media y mide la mitad del lado al que es paralelo: 4,5 cm, 6,5 cm y 8 cm. Su perímetro es 4,5 + 6,5 + 8 = 19 cm, la mitad del perímetro del triángulo original, que es 9 + 13 + 16 = 38 cm.

Dividir un segmento en partes iguales#

Con el teorema de Thales se puede dividir un segmento en cualquier número de partes iguales sin medir las partes. Sirve cuando la división no da una medida exacta: si una tira de 10 cm se quiere partir en 3 trozos iguales, cada uno mediría 10/3 cm = 3,333… cm, y esa medida no aparece en ninguna regla. Se procede así:

Traza el segmento AB de 10 cm.
Desde A, traza una semirrecta inclinada cualquiera.
Sobre la semirrecta, marca con el compás tres segmentos iguales seguidos, de la medida que quieras (por ejemplo, 4 cm). Llama P₁, P₂ y P₃ a las marcas.
Une P₃ con B.
Con regla y escuadra, traza por P₁ y P₂ rectas paralelas a P₃B. Los dos puntos donde cortan a AB lo dividen en tres partes iguales.

¿Por qué funciona? Las paralelas cortan la semirrecta en tres partes iguales y, por el teorema de Thales, las partes correspondientes sobre AB también son iguales entre sí. Con el mismo método se reparte un segmento en 7, 9 o cualquier otro número de partes.

Problemas en distintos contextos#

Ejemplo. Un terreno está limitado por una calle y por la orilla recta de un río, que no son paralelas. Sus dos linderos laterales son paralelos, y se va a dividir en tres lotes con dos cercas paralelas a esos linderos. Sobre la calle, los frentes de los lotes miden 30 m, 45 m y 25 m. Sobre la orilla del río, el terreno mide 120 m en total. ¿Cuánto mide cada lote a lo largo del río?

Solución. La calle y el río son dos transversales cortadas por cuatro paralelas: los dos linderos y las dos cercas. Sobre la calle, el terreno mide 30 + 45 + 25 = 100 m, y sobre el río, 120 m, así que cada medida de la calle se multiplica por 120 ÷ 100 = 1,2. Los lotes miden 30 · 1,2 = 36 m, 45 · 1,2 = 54 m y 25 · 1,2 = 30 m a lo largo del río. Comprobación: 36 + 54 + 30 = 120 m.

Ejemplo. Una rampa recta sube desde el suelo hasta un descanso que está 0,6 m más alto, en un recorrido horizontal de 7,2 m. ¿A qué altura sobre el suelo está la rampa a 3 m del inicio, medidos en horizontal?

Solución. La rampa y el suelo se cortan en el punto donde empieza la rampa y, con el muro vertical del descanso, forman un triángulo. Una vara vertical colocada a 3 m del inicio es paralela a ese muro, así que, por el teorema de Thales en el triángulo, altura/0,6 = 3/7,2. Entonces la altura es 0,6 · 3 ÷ 7,2 = 0,25 m, es decir, 25 cm.

Para introducir la semejanza de triángulos, el programa del MEP sugiere una breve reseña de Thales de Mileto, a quien sitúa en el siglo VI a. C. Según el programa, se cuenta que Thales midió la altura de las pirámides de Egipto observando sus sombras en el momento en que la sombra de un palo clavado verticalmente era igual a su altura. La idea es la de esta lección: como los rayos del sol caen paralelos entre sí, en ese momento cualquier objeto vertical mide lo mismo que su sombra.

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide B′C′ si tres rectas paralelas determinan AB = 4 cm y BC = 6 cm en una transversal, y A′B′ = 5 cm en la otra?#

Por el teorema de Thales, AB/BC = A′B′/B′C′, es decir, 4/6 = 5/B′C′. Al despejar, B′C′ = 5 · 6 ÷ 4 = 7,5 cm. También se puede razonar así: al pasar de una transversal a la otra, los segmentos se multiplican por 5 ÷ 4 = 1,25, y 6 · 1,25 = 7,5 cm.

¿Cuánto mide EC si en un triángulo ABC el segmento DE es paralelo a BC, con AD = 8 cm, DB = 2 cm y AE = 10 cm?#

Como DE es paralelo a BC, los lados quedan divididos en la misma proporción: AD/DB = AE/EC. Entonces 8/2 = 10/EC, y EC = 10 · 2 ÷ 8 = 2,5 cm. Tiene sentido: D está mucho más cerca de B que de A, y del mismo modo E queda mucho más cerca de C que de A.

¿Qué longitud tiene el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo si el tercer lado mide 17 cm?#

Mide 8,5 cm. Por el teorema de la paralela media, que se deduce del teorema de Thales, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y mide la mitad de él: 17 ÷ 2 = 8,5 cm. La razón entre el triángulo pequeño y el grande es 1/2.

¿Por qué no se puede usar la razón AD/DB para calcular DE en un triángulo ABC con DE paralelo a BC?#

Porque DE corresponde a BC, que es un lado completo del triángulo grande. La proporción correcta es DE/BC = AD/AB, con el lado completo AB. Por ejemplo, si AD = DB = 3 cm y BC = 10 cm, entonces DE = 10 · 3 ÷ 6 = 5 cm. Con la razón equivocada AD/DB = 1 saldría DE = 10 cm, igual que BC, lo cual es imposible.