Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

Q: ¿Cuál es la distancia entre los puntos (−7, 2) y (1, −13)?

Se restan las coordenadas: Δx = 1 − (−7) = 8 y Δy = −13 − 2 = −15. Se elevan al cuadrado y se suman: 8² + (−15)² = 64 + 225 = 289. La distancia es √289 = 17 unidades. Si se nombran los puntos en el otro orden, las diferencias cambian de signo, pero sus cuadrados son los mismos y el resultado no cambia.

Q: ¿A qué distancia del origen está el punto (20, −21)?

La distancia al origen es √(x² + y²). Con x = 20 y y = −21: √(20² + (−21)²) = √(400 + 441) = √841 = 29 unidades. El signo negativo de la y no afecta, porque el cuadrado de −21 es 441, un número positivo. Los números 20, 21 y 29 forman una terna pitagórica.

Q: ¿Es rectángulo el triángulo de vértices K(0, 0), L(6, 3) y M(4, 7)?

Se calculan los cuadrados de los lados: KL² = 6² + 3² = 45, LM² = (4 − 6)² + (7 − 3)² = 4 + 16 = 20 y KM² = 4² + 7² = 65. El lado mayor es KM, y KL² + LM² = 45 + 20 = 65 = KM². Por el recíproco del teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo, con el ángulo recto en L. Como sus tres lados son distintos, también es escaleno.

Q: ¿Qué valores puede tomar x si el punto (x, 2) está a 13 unidades del punto (1, −3)?

Se plantea la fórmula al cuadrado: (x − 1)² + (2 − (−3))² = 13², o sea, (x − 1)² + 25 = 169. Entonces (x − 1)² = 144, y x − 1 puede ser 12 o −12. Hay dos respuestas: x = 13 o x = −11. Tiene sentido: sobre la recta horizontal y = 2 hay dos puntos a 13 unidades de (1, −3), uno a cada lado.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 7 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

En un mapa cuadriculado o en el plano cartesiano, cada lugar se describe con un par de coordenadas. Si se conocen las coordenadas de dos puntos, ¿cómo se calcula la distancia en línea recta que los separa sin medirla con una regla? La respuesta está en el teorema de Pitágoras: el segmento que une los dos puntos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un cateto horizontal y otro vertical.

En esta lección de noveno año vas a calcular distancias entre puntos que están en una misma recta horizontal o vertical, a deducir la fórmula de la distancia entre dos puntos cualesquiera y a usarla para clasificar triángulos y resolver problemas.

Definición

La distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) del plano cartesiano es la longitud del segmento AB. Se calcula con la fórmula d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), que es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo cuyos catetos miden |x₂ − x₁| y |y₂ − y₁|. Una distancia nunca es negativa, y vale 0 solo cuando los dos puntos coinciden.

Puntos en una misma recta horizontal o vertical#

Si dos puntos tienen la misma coordenada y, están sobre una misma recta horizontal, y su distancia es la diferencia de sus coordenadas x tomada en valor absoluto, es decir, sin signo. Si tienen la misma coordenada x, están sobre una recta vertical, y su distancia es la diferencia de sus coordenadas y, también en valor absoluto. Es lo mismo que medir la distancia entre dos números en la recta numérica.

Fórmula

misma y: d = |x₂ − x₁| · misma x: d = |y₂ − y₁|

Las barras indican valor absoluto: |−8| = 8 y |8| = 8. Gracias al valor absoluto, no importa cuál de los dos puntos se nombra primero.

Ejemplo. Halla la distancia entre A(−3, 4) y B(5, 4), y entre C(2, −6) y D(2, 1).

Solución. A y B tienen la misma y, así que d(A, B) = |5 − (−3)| = |8| = 8. C y D tienen la misma x, así que d(C, D) = |1 − (−6)| = |7| = 7. Se puede comprobar contando cuadritos en una cuadrícula: de −3 a 5 hay 8 unidades, y de −6 a 1 hay 7.

Del teorema de Pitágoras a la fórmula de la distancia#

Si los puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) no están en la misma recta horizontal ni vertical, se dibuja un tercer punto C que tenga la x de B y la y de A: C(x₂, y₁). El triángulo ABC es rectángulo en C, porque el lado AC es horizontal y el lado CB es vertical. Sus catetos miden |x₂ − x₁| y |y₂ − y₁|, y su hipotenusa es justo el segmento AB.

Por el teorema de Pitágoras, d² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)². Al elevar al cuadrado, el valor absoluto ya no hace falta, porque un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado: (−5)² = 5² = 25. Por eso tampoco importa el orden en que se tomen los puntos.

Fórmula

d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son las coordenadas de A y B. La diferencia de las x se suele llamar Δx («delta x») y la de las y, Δy.

Ejemplo. Halla la distancia entre A(−2, 1) y B(10, 6), primero con un triángulo rectángulo y luego con la fórmula.

Solución. Con el triángulo: el punto C(10, 1) completa un triángulo rectángulo. El cateto horizontal AC mide |10 − (−2)| = 12 y el vertical CB mide |6 − 1| = 5. La hipotenusa es AB = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13. Con la fórmula: d = √((10 − (−2))² + (6 − 1)²) = √(144 + 25) = 13. Los dos caminos son el mismo cálculo.

Cómo usar la fórmula paso a paso#

Nombra los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂). El orden no cambia el resultado.
Calcula Δx = x₂ − x₁ y Δy = y₂ − y₁, con cuidado de los signos: restar un número negativo es sumar.
Eleva cada diferencia al cuadrado. Los dos resultados son positivos o cero.
Suma los cuadrados y saca la raíz cuadrada. Deja el resultado exacto, como 5√2, o aproxímalo si el problema lo pide.

Ejemplo. Calcula la distancia entre P(−3, −5) y Q(4, 19).

Solución. Δx = 4 − (−3) = 7 y Δy = 19 − (−5) = 24. Entonces d = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25.

Ejemplo. Calcula la distancia entre R(−1, 3) y S(4, −2).

Solución. Δx = 4 − (−1) = 5 y Δy = −2 − 3 = −5. Al elevar al cuadrado, (−5)² = 25, así que d = √(25 + 25) = √50 = 5√2 ≈ 7,07. Un error común es escribir −5² = −25 dentro de la raíz: el paréntesis importa, y el cuadrado de una diferencia nunca es negativo.

Un caso especial es la distancia de un punto (x, y) al origen (0, 0): d = √(x² + y²). Por ejemplo, el punto (−9, 12) está a √(81 + 144) = √225 = 15 unidades del origen.

Clasificar triángulos con la fórmula de la distancia#

Si se conocen las coordenadas de los tres vértices de un triángulo, la fórmula da la medida de sus tres lados. Con ellas se clasifica el triángulo según sus lados (equilátero, isósceles o escaleno) y, comparando el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos, según sus ángulos: si son iguales es rectángulo; si el cuadrado del lado mayor es menor, acutángulo, y si es mayor, obtusángulo.

Ejemplo. Clasifica el triángulo de vértices A(1, 1), B(5, 3) y C(3, 7).

Solución. AB = √(4² + 2²) = √20; BC = √((−2)² + 4²) = √20; AC = √(2² + 6²) = √40. Dos lados miden lo mismo, así que es isósceles. El lado mayor es AC, y AB² + BC² = 20 + 20 = 40 = AC²: es rectángulo, con el ángulo recto en B. Es un triángulo rectángulo isósceles.

Ejemplo. Calcula el perímetro del triángulo de vértices D(−2, 0), E(4, 0) y F(1, 5), y clasifícalo.

Solución. D y E están sobre el eje x, así que DE = |4 − (−2)| = 6. Además, EF = √((1 − 4)² + (5 − 0)²) = √(9 + 25) = √34 y DF = √((1 − (−2))² + 5²) = √(9 + 25) = √34. Es isósceles, con dos lados de √34 ≈ 5,83. El perímetro es 6 + 2√34 ≈ 17,66 unidades. El lado mayor es DE, y 6² = 36 es menor que 34 + 34 = 68, así que los tres ángulos son agudos: es acutángulo.

Problemas en contexto#

Los datos de estos problemas son inventados para practicar. La fórmula da siempre la distancia en línea recta, que es la más corta; un recorrido por calles suele ser más largo.

Ejemplo. En el plano de un pueblo, cada unidad de la cuadrícula equivale a 100 m. La escuela está en el punto (−2, 3) y el EBAIS, en el punto (7, −9). ¿Qué distancia hay en línea recta entre los dos?

Solución. Δx = 7 − (−2) = 9 y Δy = −9 − 3 = −12. La distancia en el plano es √(9² + (−12)²) = √(81 + 144) = √225 = 15 unidades. Como cada unidad son 100 m, la distancia real es 15 · 100 = 1500 m, es decir, 1,5 km.

Ejemplo. Valeria vive en el punto H(1, 2) de un plano cuadriculado. La pulpería está en P(−3, 5) y la soda, en S(6, 4). ¿Cuál le queda más cerca en línea recta?

Solución. HP = √((−3 − 1)² + (5 − 2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 y HS = √((6 − 1)² + (4 − 2)²) = √(25 + 4) = √29 ≈ 5,39. La pulpería queda más cerca. Para comparar dos distancias basta comparar sus cuadrados: 25 < 29.

Todos los puntos que están a la misma distancia de un centro forman una circunferencia. Por eso esta fórmula es la base de la ecuación de la circunferencia, que se estudia más adelante.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la distancia entre los puntos (−7, 2) y (1, −13)?#

Se restan las coordenadas: Δx = 1 − (−7) = 8 y Δy = −13 − 2 = −15. Se elevan al cuadrado y se suman: 8² + (−15)² = 64 + 225 = 289. La distancia es √289 = 17 unidades. Si se nombran los puntos en el otro orden, las diferencias cambian de signo, pero sus cuadrados son los mismos y el resultado no cambia.

¿A qué distancia del origen está el punto (20, −21)?#

La distancia al origen es √(x² + y²). Con x = 20 y y = −21: √(20² + (−21)²) = √(400 + 441) = √841 = 29 unidades. El signo negativo de la y no afecta, porque el cuadrado de −21 es 441, un número positivo. Los números 20, 21 y 29 forman una terna pitagórica.

¿Es rectángulo el triángulo de vértices K(0, 0), L(6, 3) y M(4, 7)?#

Se calculan los cuadrados de los lados: KL² = 6² + 3² = 45, LM² = (4 − 6)² + (7 − 3)² = 4 + 16 = 20 y KM² = 4² + 7² = 65. El lado mayor es KM, y KL² + LM² = 45 + 20 = 65 = KM². Por el recíproco del teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo, con el ángulo recto en L. Como sus tres lados son distintos, también es escaleno.

¿Qué valores puede tomar x si el punto (x, 2) está a 13 unidades del punto (1, −3)?#

Se plantea la fórmula al cuadrado: (x − 1)² + (2 − (−3))² = 13², o sea, (x − 1)² + 25 = 169. Entonces (x − 1)² = 144, y x − 1 puede ser 12 o −12. Hay dos respuestas: x = 13 o x = −11. Tiene sentido: sobre la recta horizontal y = 2 hay dos puntos a 13 unidades de (1, −3), uno a cada lado.