Grados y radianes: cómo convertir medidas angulares

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 8 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

Un ángulo se puede medir con distintas unidades, igual que una longitud se puede medir en metros o en centímetros. La más conocida es el grado (°): una vuelta completa mide 360°. En trigonometría y en ciencias se usa mucho otra unidad, el radián (rad), que se define a partir del radio de una circunferencia.

En esta lección de noveno año vas a entender qué es un radián, por qué 180° equivalen a π radianes y cómo convertir medidas de grados a radianes y de radianes a grados. También verás por qué hay que fijarse en el modo de la calculadora antes de calcular un seno o un coseno.

Definición

Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de la misma longitud que el radio. Como la circunferencia completa mide 2π veces el radio, una vuelta completa mide 2π rad, que equivalen a 360°. De ahí sale la equivalencia que se usa en todas las conversiones: π rad = 180°.

El grado y sus divisiones#

El grado divide la vuelta completa en 360 partes iguales. Un ángulo recto mide 90°, un cuarto de vuelta, y un ángulo llano mide 180°, media vuelta. Para medidas más finas, el grado se divide en 60 minutos (′) y cada minuto en 60 segundos (″). El Sistema Internacional de Unidades acepta el grado, el minuto y el segundo para usarlos junto con sus unidades, y fija su valor en radianes: según la tabla de unidades aceptadas de la publicación del Sistema Internacional que edita el NIST (el instituto de metrología de Estados Unidos), 1° = (π/180) rad.

Ejemplo. Escribe 22° 30′ en grados con decimales, y 63,75° en grados y minutos.

Solución. Como 30′ es la mitad de 60′, equivale a 0,5°: 22° 30′ = 22,5°. Para 63,75°, la parte decimal 0,75° equivale a 0,75 · 60 = 45′, así que 63,75° = 63° 45′.

Qué es un radián#

Imagina una circunferencia de radio r. Si se toma un trozo de ella, un arco, que mida exactamente r, y se unen sus extremos con el centro, el ángulo que se forma mide 1 radián. Es la definición que da el NIST: un radián es el ángulo que subtiende, en el centro de una circunferencia, un arco de longitud igual al radio. El radián es la unidad coherente del Sistema Internacional para el ángulo plano.

¿Cuántos radianes tiene una vuelta? La longitud de la circunferencia es 2πr: el radio cabe 2π veces a lo largo de ella, un poco más de 6,28 veces. Por eso la vuelta completa mide 2π rad, y media vuelta, π rad. Un radián es algo más de 57°: 1 rad = 180°/π ≈ 57,30°.

Fórmula

s = r · θ

Donde s es la longitud del arco, r el radio y θ el ángulo central en radianes. Con el ángulo en grados, esta fórmula no sirve.

Ejemplo. En una circunferencia de 6 cm de radio, ¿cuánto mide el arco que abarca un ángulo central de 2 rad? ¿Y qué ángulo abarca un arco de 15 cm?

Solución. Con s = r · θ: s = 6 · 2 = 12 cm. Para la segunda pregunta se despeja θ: θ = s ÷ r = 15 ÷ 6 = 2,5 rad. Los radianes no llevan unidades de longitud, porque son el cociente de dos longitudes: centímetros entre centímetros.

La regla de conversión: 180° = π rad#

Como 180° y π rad son el mismo ángulo, se pasa de una unidad a la otra con una regla de tres o, lo que es lo mismo, multiplicando por una fracción que vale 1:

Fórmula

radianes = grados · π/180 · grados = radianes · 180/π

Para pasar a radianes se multiplica por π/180; para pasar a grados, por 180/π. Es frecuente dejar el resultado en radianes en términos de π, como 2π/3, sin escribir «rad».

Grados	Radianes (exacto)	Radianes (aproximado)
0°	0	0
30°	π/6	0,52
45°	π/4	0,79
60°	π/3	1,05
90°	π/2	1,57
120°	2π/3	2,09
135°	3π/4	2,36
150°	5π/6	2,62
180°	π	3,14
270°	3π/2	4,71
360°	2π	6,28

Conviene recordar 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3 y 90° = π/2: los demás ángulos de la tabla son múltiplos de esos. Por ejemplo, 150° son cinco veces 30°, así que equivalen a 5 · π/6 = 5π/6.

De grados a radianes#

Se multiplica por π/180 y se simplifica la fracción que acompaña a π. Si hace falta un valor aproximado, se usa π ≈ 3,1416 o la tecla π de la calculadora.

Ejemplo. Convierte 210° a radianes.

Solución. 210 · π/180 = 210π/180. Se simplifica la fracción dividiendo entre 30: 7π/6. Aproximado, 7 · 3,1416 ÷ 6 ≈ 3,67 rad. Tiene sentido: 210° es un poco más que media vuelta, y media vuelta mide π ≈ 3,14 rad.

Ejemplo. Convierte 72° y 25° a radianes.

Solución. 72 · π/180 = 72π/180 = 2π/5 ≈ 1,26 rad, después de simplificar entre 36. Del mismo modo, 25 · π/180 = 25π/180 = 5π/36 ≈ 0,44 rad, después de simplificar entre 5.

Ejemplo. Convierte 40° 15′ a radianes.

Solución. Primero se pasa a grados con decimales: 15′ son 15/60 de grado, o sea, 0,25°, y el ángulo mide 40,25°. Luego 40,25 · π/180 ≈ 0,70 rad.

De radianes a grados#

Ejemplo. Convierte 5π/4 rad y 11π/18 rad a grados.

Solución. Se multiplica por 180/π y la π se cancela: 5π/4 · 180/π = 5 · 180 ÷ 4 = 225°. Del mismo modo, 11π/18 · 180/π = 11 · 180 ÷ 18 = 11 · 10 = 110°.

Ejemplo. Convierte 2,5 rad a grados.

Solución. Aquí no aparece π, así que el resultado no será exacto: 2,5 · 180/π = 450/π ≈ 143,24°. Para estimarlo de cabeza: como 1 rad ≈ 57,3°, 2,5 rad ≈ 2,5 · 57,3 ≈ 143°.

Problemas con giros#

Ejemplo. ¿Cuántos grados y cuántos radianes gira el minutero de un reloj en 20 minutos? ¿Y el horario en una hora?

Solución. El minutero da una vuelta completa, 360°, en 60 minutos, así que gira 360 ÷ 60 = 6° por minuto. En 20 minutos gira 20 · 6 = 120°, que son 120 · π/180 = 2π/3 rad. El horario da una vuelta en 12 horas: en una hora gira 360 ÷ 12 = 30°, es decir, π/6 rad.

Ejemplo. Una rueda da tres vueltas y media. ¿Cuántos radianes y cuántos grados gira?

Solución. Cada vuelta mide 2π rad, así que 3,5 vueltas son 3,5 · 2π = 7π rad. En grados, 3,5 · 360 = 1260°. Se comprueba con la conversión: 7π · 180/π = 7 · 180 = 1260°.

Grados y radianes en la calculadora#

Las calculadoras científicas trabajan los ángulos en modo de grados o en modo de radianes, y en la pantalla suele verse cuál está activo; el manual de cada calculadora explica cómo cambiarlo. El programa del MEP señala que es importante distinguir en qué modo se está usando, porque la misma tecla da resultados distintos. Si se calcula sen 30 en modo de grados, el resultado es 0,5; en modo de radianes, la calculadora entiende 30 radianes y da aproximadamente −0,99.

Una forma rápida de revisar el modo es calcular sen 90: en modo de grados da 1, y en modo de radianes da cerca de 0,89. Si el problema da los ángulos en grados, la calculadora debe estar en grados; si los da en radianes, en radianes.

Ponte a prueba#

¿Cuántos radianes son 240°?#

Se multiplica por π/180: 240 · π/180 = 240π/180. Al simplificar la fracción entre 60 queda 4π/3 rad, que es aproximadamente 4,19 rad. Tiene sentido: 240° es más que media vuelta, π ≈ 3,14 rad, y menos que tres cuartos de vuelta, 3π/2 ≈ 4,71 rad.

¿Cuántos grados son 7π/12 radianes?#

Se multiplica por 180/π, y la π se cancela: 7π/12 · 180/π = 7 · 180 ÷ 12 = 7 · 15 = 105°. Se puede comprobar al revés: 105 · π/180 = 105π/180, que al simplificar entre 15 da 7π/12. Es un ángulo obtuso, un poco mayor que π/2, que son 90°.

¿Cuántos grados mide, aproximadamente, un ángulo de 4 radianes?#

Como no aparece π, el resultado será aproximado: 4 · 180/π = 720/π ≈ 229,18°. Se puede estimar con 1 rad ≈ 57,3°: 4 · 57,3 = 229,2°. Es más que media vuelta y menos que tres cuartos de vuelta, porque 4 está entre π ≈ 3,14 y 3π/2 ≈ 4,71.

¿Qué ángulo, en radianes, gira el minutero de un reloj en 45 minutos?#

El minutero gira 6° por minuto, porque da 360° en 60 minutos. En 45 minutos gira 45 · 6 = 270°, tres cuartos de vuelta. En radianes: 270 · π/180 = 3π/2 rad ≈ 4,71 rad. También se obtiene directamente: tres cuartos de 2π es 3π/2.

¿Cuánto mide el arco que abarca un ángulo central de 3π/4 en una circunferencia de 8 cm de radio?#

La fórmula s = r · θ solo sirve con el ángulo en radianes, y aquí ya lo está: s = 8 · 3π/4 = 6π ≈ 18,85 cm. Si el ángulo viniera en grados, 135°, primero habría que convertirlo: 135 · π/180 = 3π/4. El arco es 3/8 de la circunferencia completa, que mide 16π ≈ 50,27 cm, porque 135° son 3/8 de 360°.