El teorema de Pitágoras: qué dice y cómo aplicarlo en problemas

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Zapandí (Noveno año) Lección 6 de 28

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Una escalera apoyada en una pared, la diagonal de un terreno o el cable que sostiene un poste forman, junto con el suelo o con los bordes, un triángulo rectángulo: un triángulo con un ángulo de 90°. El teorema de Pitágoras relaciona las longitudes de sus tres lados, y por eso permite calcular una distancia difícil de medir a partir de dos que sí se conocen.

En esta lección de noveno año vas a repasar las partes del triángulo rectángulo, a enunciar el teorema, a usarlo para hallar la hipotenusa o un cateto, a reconocer si un triángulo es rectángulo con solo conocer sus lados y a resolver problemas en distintos contextos, como pide el programa del MEP.

Definición

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Si los catetos miden a y b y la hipotenusa mide c, entonces c² = a² + b². La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el lado más largo; los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto.

Las partes del triángulo rectángulo y el enunciado del teorema#

En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado que queda enfrente del ángulo recto se llama hipotenusa. Los otros dos ángulos son agudos y suman 90°, así que el ángulo recto es el mayor de los tres; por eso la hipotenusa, que está frente a él, es el lado más largo.

Fórmula

c² = a² + b²

Donde c es la hipotenusa y a y b son los catetos. Solo vale para triángulos rectángulos.

El teorema también se puede leer con áreas: si sobre cada lado del triángulo se dibuja un cuadrado, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El programa del MEP propone leer cómo lo enuncia la proposición 47 del Libro I de los Elementos de Euclides: «En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto».

Ejemplo. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Solución. Se sustituye en el teorema: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. La hipotenusa es el número positivo cuyo cuadrado es 169, así que c = √169 = 13 cm. Leído con áreas: los cuadrados sobre los catetos tienen 25 cm² y 144 cm², y el cuadrado sobre la hipotenusa tiene 169 cm², que es la suma de los dos.

¿Por qué lleva el nombre de Pitágoras?#

Según la biografía de Pitágoras del archivo MacTutor de la Universidad de St Andrews, Pitágoras nació en Samos hacia el año 570 a. C. La misma fuente aclara que los babilonios ya conocían el teorema unos 1000 años antes y que Pitágoras pudo haber sido el primero en demostrarlo. También advierte que no se conserva ningún escrito suyo y que, como su escuela practicaba el secreto y la vida en común, es difícil separar su obra de la de sus seguidores.

Cómo hallar la hipotenusa o un cateto#

Del teorema se despeja el lado que haga falta. Como las longitudes son positivas, se toma la raíz cuadrada positiva:

Fórmula

c = √(a² + b²) · a = √(c² − b²)

Para la hipotenusa se suman los cuadrados de los catetos; para un cateto, al cuadrado de la hipotenusa se le resta el cuadrado del otro cateto.

Ejemplo. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 m y uno de sus catetos mide 8 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Solución. Como se busca un cateto, se resta: a² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, así que a = √225 = 15 m. Se comprueba: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².

Ejemplo. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm y 7 cm. Halla la hipotenusa.

Solución. c² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65, así que c = √65 ≈ 8,06 cm. No toda hipotenusa es un número entero: el resultado exacto es √65 y, si el problema lo pide, se aproxima con la calculadora.

Un caso que aparece mucho es la diagonal de un cuadrado. Si el lado mide l, la diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con dos catetos iguales a l, así que mide √(l² + l²) = l√2. Con l = 5 cm, la diagonal mide 5√2 ≈ 7,07 cm.

Dos errores frecuentes#

Sumar los catetos en vez de sus cuadrados: con catetos de 4 cm y 7 cm, la hipotenusa no mide 4 + 7 = 11 cm, sino √65 ≈ 8,06 cm. En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Sumar cuando hay que restar: si en el ejemplo de la hipotenusa de 17 m se sumara 17² + 8², saldría un «cateto» de √353 ≈ 18,79 m, más largo que la hipotenusa, lo que es imposible.

Cómo saber si un triángulo es rectángulo#

El teorema también funciona al revés; esa versión se llama su recíproco. Si en un triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el triángulo es rectángulo, y el ángulo recto queda enfrente del lado mayor. Si no hay igualdad, el triángulo no es rectángulo, y la comparación indica de qué tipo es. Llamando c al lado mayor:

Si c² = a² + b², el triángulo es rectángulo.
Si c² < a² + b², es acutángulo: sus tres ángulos son agudos.
Si c² > a² + b², es obtusángulo: el ángulo opuesto al lado c mide más de 90°.

Ejemplo. ¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 21 cm y 29 cm? ¿Y uno de 6 cm, 9 cm y 11 cm?

Solución. En el primero, el lado mayor es 29: 29² = 841 y 20² + 21² = 400 + 441 = 841. Hay igualdad, así que es rectángulo, y el ángulo recto está entre los lados de 20 cm y 21 cm. En el segundo, 11² = 121 y 6² + 9² = 36 + 81 = 117. Como 121 > 117, no es rectángulo: es obtusángulo.

Esta idea sirve para comprobar si una esquina está «en escuadra», es decir, a 90°. Si se marcan 0,9 m sobre una pared y 1,2 m sobre la otra a partir de la esquina, la distancia entre las dos marcas debe ser 1,5 m, porque 0,9² + 1,2² = 0,81 + 1,44 = 2,25 = 1,5². Si la distancia da más, el ángulo es mayor que 90°; si da menos, es menor.

Ternas pitagóricas#

Una terna pitagórica es un trío de números enteros positivos a, b y c que cumple a² + b² = c². Conocer algunas, y reconocer los cuadrados perfectos, ahorra cálculos. Al multiplicar los tres números de una terna por un mismo número natural mayor que 1 se obtiene otra terna: de 5, 12 y 13 sale 10, 24 y 26.

a	b	c	Comprobación
3	4	5	9 + 16 = 25
5	12	13	25 + 144 = 169
8	15	17	64 + 225 = 289
7	24	25	49 + 576 = 625
20	21	29	400 + 441 = 841
9	40	41	81 + 1600 = 1681

Problemas en diferentes contextos#

En todos los problemas hay que identificar primero el triángulo rectángulo: dónde está el ángulo recto, cuál lado es la hipotenusa y cuáles son los catetos. Los datos de estos problemas son inventados para practicar.

Ejemplo. Una escalera de 4,5 m se apoya en una pared vertical, con el pie a 1,2 m de la base de la pared. ¿Hasta qué altura de la pared llega?

Solución. La pared y el suelo forman el ángulo recto. La escalera es la hipotenusa (4,5 m), la distancia del pie a la pared es un cateto (1,2 m) y la altura h es el otro cateto. Entonces h² = 4,5² − 1,2² = 20,25 − 1,44 = 18,81 y h = √18,81 ≈ 4,34 m. Si se aleja el pie de la pared, la escalera llega más abajo.

Ejemplo. Para ir de una esquina a la esquina opuesta de un potrero rectangular de 120 m por 90 m, Marta puede caminar por dos lados del borde o cruzar en línea recta por la diagonal. ¿Cuántos metros se ahorra si cruza por la diagonal?

Solución. Por el borde camina 120 + 90 = 210 m. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 120 m y 90 m: d = √(120² + 90²) = √(14 400 + 8100) = √22 500 = 150 m. Se ahorra 210 − 150 = 60 m. Los números son la terna 3, 4, 5 multiplicada por 30.

Ejemplo. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales de 10 cm y una base de 12 cm. ¿Cuánto mide su altura y cuál es su área?

Solución. La altura trazada sobre la base la divide en dos partes iguales de 6 cm y forma dos triángulos rectángulos con hipotenusa de 10 cm. Entonces h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm, y el área es base · altura ÷ 2 = 12 · 8 ÷ 2 = 48 cm².

Ejemplo. Una cancha rectangular mide 40 m de largo y 20 m de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

Solución. La diagonal divide la cancha en dos triángulos rectángulos con catetos de 40 m y 20 m: d = √(40² + 20²) = √(1600 + 400) = √2000 = 20√5 ≈ 44,72 m. Es menos que los 60 m que suman el largo y el ancho.

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 35 cm?#

Se aplica el teorema: c² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369. La hipotenusa es la raíz cuadrada positiva de ese número: c = √1369 = 37 cm, porque 37 · 37 = 1369. Los números 12, 35 y 37 forman una terna pitagórica: son enteros positivos y cumplen el teorema.

¿Cuánto mide un cateto si la hipotenusa mide 26 m y el otro cateto mide 10 m?#

Como se busca un cateto, se resta: a² = 26² − 10² = 676 − 100 = 576, así que a = √576 = 24 m. Se comprueba: 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26². Es la terna 5, 12, 13 multiplicada por 2. Si se sumara por error, saldría un cateto más largo que la hipotenusa.

¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 7 cm, 9 cm y 12 cm?#

Se compara el cuadrado del lado mayor con la suma de los cuadrados de los otros dos: 12² = 144 y 7² + 9² = 49 + 81 = 130. Como 144 no es igual a 130, el triángulo no es rectángulo. Además, como 144 > 130, el ángulo opuesto al lado de 12 cm mide más de 90°: es un triángulo obtusángulo.

¿Hasta qué altura llega una escalera de 3 m si su pie está a 0,8 m de la pared?#

La escalera es la hipotenusa y la distancia del pie a la pared es un cateto; la altura es el otro cateto: h² = 3² − 0,8² = 9 − 0,64 = 8,36, así que h = √8,36 ≈ 2,89 m. La altura es menor que el largo de la escalera, como debe ser, porque un cateto siempre es menor que la hipotenusa.

¿Cuánto mide la diagonal de un terreno cuadrado de 30 m de lado?#

La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos con catetos de 30 m. Entonces d² = 30² + 30² = 900 + 900 = 1800 y d = √1800 = 30√2 ≈ 42,43 m. En cualquier cuadrado, la diagonal mide el lado multiplicado por √2, que es un poco más que 1,41.