Estandarización y coeficiente de variación: comparar grupos distintos

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 17 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 9 min de lectura

¿Es mejor un 78 en Matemáticas o un 82 en Química? ¿Varía más el precio de un celular o el de un pan? A primera vista parecen preguntas fáciles, pero no lo son: cada grupo de datos tiene su propia media, su propia variabilidad y, a veces, sus propias unidades. El programa del MEP señala que las medidas absolutas no siempre permiten comparar de manera eficiente y que hace falta buscar medidas relativas.

En esta lección vas a usar dos: la estandarización, para comparar la posición de un dato dentro de su grupo, y el coeficiente de variación, para comparar la variabilidad de grupos de distinto tamaño o naturaleza. Los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Definición

Estandarizar un dato es calcular cuántas desviaciones estándar se aleja de la media de su grupo: z = (x − x̄) ÷ s. El resultado, llamado dato estandarizado o puntaje z, no tiene unidades. El coeficiente de variación expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media: CV = (s ÷ x̄) · 100 %. Las dos son medidas relativas, porque comparan cada valor con las características de su propio grupo.

Por qué hacen falta medidas relativas#

Una nota de 82 es mayor que una de 78, pero si la prueba de 82 fue fácil para todo el grupo y la de 78 fue difícil, el 78 puede ser un logro mayor. Del mismo modo, una desviación estándar de unos ₡4700 en el precio de un celular es mayor que una de ₡63 en el precio de un pan, pero el celular cuesta unas 300 veces más: una variación de ₡4700 es pequeña para un celular y una de ₡63 es grande para un pan.

Las medidas relativas resuelven el problema comparando cada valor con su propio grupo: la estandarización mide la distancia de un dato a la media en desviaciones estándar, y el coeficiente de variación mide la desviación estándar en porcentaje de la media.

La estandarización: la posición relativa de un dato#

Fórmula

z = (x − x̄) ÷ s

x es el dato; x̄, la media del grupo, y s, su desviación estándar. Si los datos son toda la población, se usan μ y σ.

Si z es positivo, el dato está por encima de la media; si es negativo, por debajo; si es 0, coincide con la media.
El valor de z dice a cuántas desviaciones estándar está el dato: z = 2 significa dos desviaciones estándar por encima de la media.
Los datos estandarizados se pueden ubicar en una misma recta numérica, aunque vengan de grupos con unidades distintas, como en la ubicación en la recta numérica.

Ejemplo. Laura sacó 78 en Matemáticas, donde su sección tuvo media 70 y desviación estándar 8, y 82 en Química, donde la media fue 80 y la desviación estándar, 4. Son las notas de toda la sección. ¿En qué materia le fue relativamente mejor?

Solución. En Matemáticas, z = (78 − 70) ÷ 8 = 1; en Química, z = (82 − 80) ÷ 4 = 0,5. Aunque la nota de Química es mayor, en Matemáticas Laura quedó a una desviación estándar por encima de la media, y en Química, solo a media desviación. En relación con su sección, le fue mejor en Matemáticas.

Ejemplo. En una prueba, la media fue 65 y la desviación estándar, 10. ¿Qué nota corresponde a z = 1,5? ¿Y a z = −0,8?

Solución. De z = (x − x̄) ÷ s se despeja x = x̄ + z · s. Para z = 1,5: x = 65 + 1,5 · 10 = 80. Para z = −0,8: x = 65 − 0,8 · 10 = 57. Un z negativo da una nota por debajo de la media.

Cuidado cuando «menos es mejor»#

Ejemplo. En los juegos estudiantiles, Marco corrió 100 m en 12,1 s; los tiempos de su categoría tuvieron media 12,8 s y desviación estándar 0,35 s. Andrea saltó 5,6 m en salto largo; en su categoría, la media fue 5,0 m y la desviación estándar, 0,4 m. ¿Qué marca fue más destacada?

Solución. Marco: z = (12,1 − 12,8) ÷ 0,35 = −2. Andrea: z = (5,6 − 5,0) ÷ 0,4 = 1,5. En la carrera, un tiempo menor es mejor, así que el −2 de Marco significa que fue dos desviaciones estándar más rápido que la media. Andrea quedó 1,5 desviaciones estándar por encima de la suya. La marca de Marco fue más destacada: lo que se compara es la distancia a la media en la dirección favorable.

El programa advierte que esta comparación supone que la forma de la distribución de los datos es parecida en los grupos que se comparan.

El coeficiente de variación: la variabilidad relativa#

Fórmula

CV = (s ÷ x̄) · 100 %

s es la desviación estándar y x̄, la media. Como las unidades se cancelan, el CV es un porcentaje y permite comparar grupos con medias muy distintas o con unidades diferentes.

Ejemplo. Se consultó el precio de un mismo modelo de celular en cinco tiendas: ₡144 000, ₡147 000, ₡150 000, ₡153 000 y ₡156 000. También el de un pan en cinco panaderías: ₡420, ₡460, ₡500, ₡540 y ₡580. Son muestras. ¿Qué precio es más variable?

Solución. Celular: la media es ₡150 000; las diferencias con la media son −6000, −3000, 0, 3000 y 6000, y sus cuadrados suman 90 000 000. Como es una muestra, s² = 90 000 000 ÷ 4 = 22 500 000 y s ≈ ₡4743. Pan: la media es ₡500; las diferencias son −80, −40, 0, 40 y 80, y sus cuadrados suman 16 000, así que s² = 16 000 ÷ 4 = 4000 y s ≈ ₡63. En términos absolutos varía más el celular. Pero los coeficientes de variación son: celular, 4743 ÷ 150 000 · 100 ≈ 3,2 %; pan, 63,25 ÷ 500 · 100 ≈ 12,6 %. En términos relativos, el precio del pan es cuatro veces más variable (sin redondear, el cociente entre los dos coeficientes es exactamente 4).

Al comparar coeficientes de variación, usa el mismo tipo de desviación estándar (de población o de muestra) en todos los grupos. Si los grupos tienen la misma cantidad de datos, como en el ejemplo, cambiar de una a otra no altera cuál CV es mayor.

El CV solo tiene sentido con datos positivos y con una media que no sea cercana a cero. Por ejemplo, no conviene usarlo con temperaturas en grados Celsius: el cero de esa escala es convencional y una media cercana a 0 °C daría un CV enorme sin que los datos varíen mucho.

Un problema integrado: dos secciones, dos pruebas#

Ejemplo. La sección A hizo una prueba sobre 100 puntos con media 72 y desviación estándar 9. La sección B hizo otra prueba, sobre 40 puntos, con media 31 y desviación estándar 3,1. Son las notas de todo el grupo en cada sección. a) ¿En qué sección fueron las notas relativamente más variables? b) Andrés, de la A, sacó 81, y Sofía, de la B, sacó 35. ¿Quién tuvo un mejor rendimiento relativo?

Solución. a) No sirve comparar 9 con 3,1, porque las escalas son distintas. Con el coeficiente de variación: sección A, 9 ÷ 72 · 100 = 12,5 %; sección B, 3,1 ÷ 31 · 100 = 10 %. Las notas de la sección A fueron relativamente más variables. b) Se estandarizan: Andrés, z = (81 − 72) ÷ 9 = 1; Sofía, z = (35 − 31) ÷ 3,1 ≈ 1,29. Sofía quedó más lejos por encima de la media de su sección, así que su rendimiento relativo fue mejor.

Resumen: qué medida usar en cada caso#

Medida	Pregunta que responde	Fórmula	Resultado
Estandarización	¿Qué tan destacado es un dato dentro de su grupo?	z = (x − x̄) ÷ s	Número sin unidades; positivo, negativo o cero
Coeficiente de variación	¿Qué grupo es más variable en relación con su media?	CV = (s ÷ x̄) · 100 %	Porcentaje

Las dos medidas se calculan a partir de la media y la desviación estándar, así que primero hay que obtener esas medidas con cuidado, preferiblemente con calculadora u hoja de cálculo. Y al final, como en todo análisis estadístico, hay que interpretar el resultado en el contexto del problema.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el dato estandarizado de una nota de 85 en un grupo con media 75 y desviación estándar 5?#

Se aplica la fórmula z = (x − x̄) ÷ s: z = (85 − 75) ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2. La nota está dos desviaciones estándar por encima de la media del grupo. Como z es positivo y bastante grande, es una nota destacada dentro de ese grupo.

¿Quién tuvo mejor rendimiento relativo: Ana, con 640 en un examen de media 600 y desviación estándar 50, o Luis, con 70 en un examen de media 62 y desviación estándar 8?#

Hay que estandarizar, porque los exámenes tienen escalas distintas. Ana: z = (640 − 600) ÷ 50 = 0,8. Luis: z = (70 − 62) ÷ 8 = 1. Luis quedó a una desviación estándar por encima de la media de su examen y Ana, a 0,8, así que, en términos relativos, a Luis le fue mejor.

¿Cuál es el coeficiente de variación de un grupo con media 40 y desviación estándar 6?#

Se divide la desviación estándar entre la media y se multiplica por 100: CV = 6 ÷ 40 · 100 = 15 %. Significa que la desviación estándar equivale al 15 % de la media. Sirve para comparar este grupo con otros de medias distintas, cosa que no se puede hacer con la desviación estándar sola.

¿Qué grupo es más variable en términos relativos: uno con media 200 y desviación estándar 20, u otro con media 15 y desviación estándar 2,4?#

Se comparan los coeficientes de variación. Primer grupo: 20 ÷ 200 · 100 = 10 %. Segundo grupo: 2,4 ÷ 15 · 100 = 16 %. Aunque la desviación estándar del primer grupo es mucho mayor, el segundo es más variable en términos relativos, porque su dispersión representa una parte más grande de su media.

¿Qué nota corresponde a un dato estandarizado de −1,2 en una prueba con media 70 y desviación estándar 5?#

Se despeja x de la fórmula de estandarización: x = x̄ + z · s. Entonces x = 70 + (−1,2) · 5 = 70 − 6 = 64. El signo negativo indica que la nota está por debajo de la media: 64 está a 1,2 desviaciones estándar por debajo de 70.