Expansión decimal de los números racionales y sus aproximaciones
Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Ujarrás (Octavo año) Lección 2 de 9Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 9 min de lectura
Todo número racional se puede escribir como fracción y también con coma decimal. Para pasar de una forma a la otra basta dividir el numerador entre el denominador. A veces la división termina, como en 3/8 = 0,375, y a veces no termina nunca, como en 1/3 = 0,333…, donde el 3 se repite sin fin.
En esta lección vas a aprender a distinguir esos dos casos, a escribir con exactitud los decimales que se repiten y a aproximarlos cuando necesitas un número práctico, por ejemplo para repartir dinero o tomar una medida.
Definición
La expansión decimal de un número racional es su escritura con coma decimal, y se obtiene al dividir el numerador entre el denominador. Es exacta (o finita) cuando la división termina con residuo cero, y es periódica cuando, a partir de cierto lugar, un grupo de cifras se repite sin fin. Todo número racional tiene una expansión decimal exacta o periódica.
Cómo se obtiene la expansión decimal#
Para hallar la expansión decimal de a/b se hace la división a ÷ b. Cuando ya no quedan cifras en el dividendo, se escribe la coma en el cociente y se sigue dividiendo, agregando un cero a cada residuo. Hacer la división a mano, sin calculadora, permite ver por qué algunas divisiones terminan y otras no.
Ejemplo. Halla la expansión decimal de 7/8.
Solución. 7 ÷ 8 da 0 y sobra 7. Se escribe la coma y se agrega un cero: 70 ÷ 8 = 8, residuo 6. Luego 60 ÷ 8 = 7, residuo 4. Después 40 ÷ 8 = 5, residuo 0. La división terminó, así que 7/8 = 0,875, una expansión exacta.
Ejemplo. Halla la expansión decimal de 5/11.
Solución. 5 ÷ 11 da 0 y sobra 5. Con la coma: 50 ÷ 11 = 4, residuo 6. Luego 60 ÷ 11 = 5, residuo 5. El residuo 5 ya había aparecido al principio, así que desde aquí la división se repite igual: 4, 5, 4, 5… Entonces 5/11 = 0,4545…, una expansión periódica.
¿Por qué la división tiene que repetirse? Al dividir entre 11, los únicos residuos posibles son 0, 1, 2, …, 10. Si nunca sale residuo 0, tarde o temprano se repite un residuo, y desde ese momento las cifras del cociente vuelven a salir en el mismo orden. Por eso la expansión decimal de un número racional nunca sigue sin orden: o termina, o se vuelve periódica.
Expansión exacta y expansión periódica#
| Fracción | Expansión decimal | Tipo |
|---|---|---|
| 1/4 | 0,25 | Exacta |
| 3/5 | 0,6 | Exacta |
| 7/8 | 0,875 | Exacta |
| 2/3 | 0,666… = 0,6̅ | Periódica pura |
| 5/11 | 0,4545… = 0,4̅5̅ | Periódica pura |
| 7/6 | 1,1666… = 1,16̅ | Periódica mixta |
La notación con raya#
Como no se pueden escribir infinitas cifras, el grupo que se repite, llamado período, se marca con una raya horizontal encima. Así, 0,666… se escribe 0,6̅ y 0,4545… se escribe 0,4̅5̅. La raya va solo sobre las cifras que se repiten. Esta notación, igual que la fracción, representa el número de forma exacta; los puntos suspensivos solo indican que la escritura sigue.
Hay dos clases de expansión periódica:
- Periódica pura: el período empieza justo después de la coma, como en 0,4̅5̅ o en 7/3 = 2,333… = 2,3̅.
- Periódica mixta: entre la coma y el período hay cifras que no se repiten, que forman el anteperíodo. Por ejemplo, 7/6 = 1,1666… = 1,16̅: el 1 que sigue a la coma no se repite y el 6 sí.
Los números negativos funcionan igual, solo que llevan el signo delante: −2/3 = −0,6̅ y −7/8 = −0,875.
Cómo saber si será exacta sin hacer la división#
Hay una regla que permite anticipar el resultado. Primero se escribe la fracción en forma irreducible. Después se descompone el denominador en factores primos:
- Si los únicos factores primos del denominador son 2 y 5, la expansión decimal es exacta.
- Si el denominador tiene algún factor primo distinto de 2 y de 5 (por ejemplo, 3, 7 u 11), la expansión decimal es periódica.
La razón está en nuestro sistema de numeración, que es de base 10, y 10 = 2 · 5. Una fracción cuyo denominador solo tiene factores 2 y 5 se puede amplificar hasta tener denominador 10, 100, 1000…, y entonces se escribe con un número finito de decimales. Por ejemplo, 3/20 = 15/100 = 0,15. Con un factor 3 o 7 en el denominador eso no se puede lograr, porque ninguna potencia de 10 es múltiplo de 3 ni de 7.
Ejemplo. Sin hacer la división, decide si la expansión decimal de 9/40, 5/12 y 21/28 es exacta o periódica.
Solución. 40 = 23 · 5 solo tiene los factores 2 y 5, así que 9/40 es exacta (9/40 = 0,225). En cambio, 12 = 22 · 3 tiene el factor 3, así que 5/12 es periódica (5/12 = 0,41666… = 0,416̅). Con 21/28 hay que simplificar primero: 21/28 = 3/4, y como 4 = 22, es exacta (0,75). Si no se simplifica, el factor 7 de 28 haría pensar, por error, que es periódica.
Aproximaciones decimales#
En la vida diaria pocas veces se necesitan todas las cifras. Si un dato es 2/3 de metro, para cortar una tela basta saber que son unos 0,67 m. Eso es una aproximación decimal: un decimal con pocas cifras que queda muy cerca del valor exacto.
Redondear#
Una forma de aproximar es redondear a cierta cantidad de decimales. Se mira la cifra que sigue a la última que se va a conservar: si es 0, 1, 2, 3 o 4, la última cifra se deja igual; si es 5, 6, 7, 8 o 9, la última cifra aumenta en 1. Puedes repasar el procedimiento en la lección de redondeo de decimales.
| Número | A las décimas | A las centésimas | A las milésimas |
|---|---|---|---|
| 2/3 = 0,6666… | 0,7 | 0,67 | 0,667 |
| 5/11 = 0,4545… | 0,5 | 0,45 | 0,455 |
| 7/6 = 1,1666… | 1,2 | 1,17 | 1,167 |
| 1/7 = 0,142857… | 0,1 | 0,14 | 0,143 |
Truncar#
Truncar es cortar el número en cierta cifra sin mirar las siguientes. Por ejemplo, 2/3 truncado a las centésimas es 0,66. Es más rápido, pero el redondeo suele quedar más cerca: 0,67 se aleja de 2/3 menos que 0,66.
La calculadora también aproxima#
Si en una calculadora haces 2 ÷ 3, la pantalla muestra algo como 0,6666666667 (la cantidad de cifras depende del modelo). Ese número no es exactamente 2/3: la pantalla solo tiene espacio para unas cuantas cifras, y la última suele salir redondeada. Para escribir el valor exacto se usa la fracción 2/3 o la notación con raya 0,6̅.
Ejemplo. Seis compañeros juntan dinero para pagar un regalo de ₡12 500 en partes iguales. ¿Cuánto aporta cada uno?
Solución. Cada uno aporta 12 500/6 colones. Al dividir se obtiene 2083,333…, es decir, 2083,3̅ colones, una expansión periódica. Para pagar con colones enteros hay que aproximar. Si cada uno da ₡2083, juntan 6 · 2083 = ₡12 498 y faltan ₡2. Si cada uno da ₡2084, juntan ₡12 504 y sobran ₡4. En este caso conviene la aproximación por exceso (hacia arriba), para que alcance.
Un decimal periódico también es una fracción#
Así como cada fracción tiene su expansión decimal, cada expansión periódica corresponde a una fracción, y por eso es un número racional. Un ejemplo sencillo lo muestra.
Ejemplo. Encuentra la fracción que corresponde a 0,4̅5̅ = 0,4545…
Solución. Llama x al número: x = 0,4545… Como el período tiene dos cifras, multiplica por 100: 100x = 45,4545… Si al segundo le restas el primero, las colas de decimales, que son iguales, se cancelan: 100x − x = 45, o sea, 99x = 45. Entonces x = 45/99, que simplificada (dividiendo entre 9) es 5/11. Es la misma fracción del segundo ejemplo de esta lección.
Con un período de una cifra se multiplica por 10; con uno de dos cifras, por 100; con uno de tres, por 1000. Por ejemplo, si x = 0,3̅, entonces 10x − x = 3, así que 9x = 3 y x = 3/9 = 1/3.
Ponte a prueba#
¿La expansión decimal de 7/20 es exacta o periódica?#
Es exacta. La fracción 7/20 ya es irreducible, y su denominador se descompone como 20 = 22 · 5: solo tiene los factores primos 2 y 5. Además se puede amplificar hasta denominador 100: 7/20 = 35/100 = 0,35. La división 7 ÷ 20 termina con residuo cero.
¿Cómo se escribe 4/33 con la raya del período?#
Al dividir 4 entre 33: 40 ÷ 33 = 1 con residuo 7; 70 ÷ 33 = 2 con residuo 4. El residuo 4 es el mismo del principio, así que las cifras 1 y 2 se repiten: 4/33 = 0,121212… Con la raya sobre el período se escribe 0,1̅2̅. Es una expansión periódica pura.
¿Cuál es la aproximación de 5/7 a las centésimas?#
Al dividir 5 entre 7 se obtiene 0,714285… Para redondear a las centésimas se conservan dos decimales, 0,71, y se mira la cifra siguiente, que es 4. Como 4 es menor que 5, la última cifra no cambia. La aproximación es 0,71.
¿La expansión decimal de 1/6 es periódica pura o periódica mixta?#
Es periódica mixta. Al dividir 1 entre 6 se obtiene 0,1666…: el 1 que sigue a la coma aparece una sola vez y luego el 6 se repite sin fin. El 1 es el anteperíodo y el 6 es el período, así que se escribe 0,16̅. Tiene que ser periódica porque 6 = 2 · 3 tiene el factor 3.
¿Por qué la calculadora muestra 0,3333333333 al dividir 1 entre 3 si ese no es el valor exacto de 1/3?#
Porque la expansión decimal de 1/3 es periódica: el 3 se repite infinitas veces, y la pantalla de la calculadora solo tiene espacio para unas pocas cifras. Lo que muestra es una aproximación, muy cercana pero no igual a 1/3. Para escribir el valor exacto se usa la fracción 1/3 o la notación 0,3̅.
Fuentes#
También en matemáticas
