Criterios de semejanza y congruencia de triángulos

Para saber si dos piezas triangulares de una cercha de madera son idénticas, ¿hay que medir sus tres lados y sus tres ángulos? No hace falta: basta con comparar tres datos bien escogidos. Esos tríos de datos son los criterios de congruencia y los criterios de semejanza, y permiten probar que dos triángulos son iguales o que uno es una ampliación o una reducción del otro.

Para recordar

Dos triángulos son congruentes (≅) si tienen la misma forma y el mismo tamaño: sus lados correspondientes miden lo mismo y sus ángulos correspondientes también. Son semejantes (∼) si tienen la misma forma: sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales, es decir, los de uno se obtienen al multiplicar los del otro por un mismo número k, la razón de semejanza. Un criterio es un grupo pequeño de condiciones que garantiza la congruencia o la semejanza sin revisar los seis elementos.

Antes de empezar: qué vértice corresponde a cuál#

Cuando se escribe △ABC ≅ △DEF, el orden de las letras indica la correspondencia: A con D, B con E y C con F. De ahí salen los lados correspondientes u homólogos: AB con DE, BC con EF y CA con FD. Si las letras se escriben en otro orden, se emparejan otros elementos y la afirmación puede volverse falsa.

En dos triángulos semejantes, los lados se emparejan por tamaño: el más corto de uno con el más corto del otro, el mediano con el mediano y el más largo con el más largo. Antes de calcular razones conviene, entonces, escribir las tres medidas de cada triángulo en orden creciente. La congruencia es un caso particular de la semejanza, con razón k = 1; el programa del MEP lo relaciona con la homotecia: una de razón 1 o −1 produce una figura congruente, y una de otra razón, una figura semejante.

Los tres criterios de congruencia#

Criterio	Qué se compara	Ejemplo de datos
LLL (lado-lado-lado)	Los tres lados	AB = DE = 5 cm, BC = EF = 8 cm y CA = FD = 9 cm
LAL (lado-ángulo-lado)	Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos	AB = DE = 6 cm, ∠B = ∠E = 70° y BC = EF = 10 cm
ALA (ángulo-lado-ángulo)	Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos	∠A = ∠D = 45°, AB = DE = 12 cm y ∠B = ∠E = 60°

La palabra comprendido significa «entre». En LAL, el ángulo tiene que estar entre los dos lados que se comparan; en ALA, el lado tiene que estar entre los dos ángulos. Con dos lados y un ángulo que no está entre ellos, a veces se pueden construir dos triángulos distintos. Y tres ángulos iguales no alcanzan: un triángulo y su ampliación tienen los mismos ángulos, pero no el mismo tamaño.

Si se conocen dos ángulos, el tercero se obtiene restándolos de 180°. Así, con dos ángulos iguales y un par de lados correspondientes iguales, aunque ese lado no esté entre los ángulos dados, se calcula el ángulo que falta y se aplica ALA.

Ejemplo. En △PQR, PQ = 7 cm, ∠Q = 48° y QR = 11 cm. En △STU, ST = 7 cm, ∠T = 48° y TU = 11 cm. ¿Son congruentes? ¿Qué se concluye sobre lo que no se midió?

Solución. Sí, por LAL: PQ = ST, QR = TU y el ángulo comprendido es igual, ∠Q = ∠T. Como △PQR ≅ △STU, también PR = SU, ∠P = ∠S y ∠R = ∠U, aunque no se hayan medido.

Ejemplo. En △ABC, ∠A = 52°, ∠C = 71° y AC = 9 cm. En △DEF, ∠D = 52°, ∠E = 57° y DF = 9 cm. ¿Son congruentes?

Solución. En △DEF falta el ángulo F: 180° − 52° − 57° = 71°. Entonces ∠A = ∠D, AC = DF y ∠C = ∠F, con AC entre los ángulos A y C, y DF entre D y F. Por ALA, △ABC ≅ △DEF, con A↔D, C↔F y B↔E. Se comprueba con el ángulo B: 180° − 52° − 71° = 57°, igual que ∠E.

Los tres criterios de semejanza#

Criterio	Qué se compara	Ejemplo de datos
LLL (lado-lado-lado)	Los tres pares de lados dan la misma razón	Lados de 3, 5 y 7 cm frente a 6, 10 y 14 cm: razón 2
LAL (lado-ángulo-lado)	Dos pares de lados dan la misma razón y el ángulo comprendido es igual	AB = 3 cm, AC = 5 cm y ∠A = 40°; DE = 6 cm, DF = 10 cm y ∠D = 40°
AA (ángulo-ángulo)	Dos ángulos iguales	Ángulos de 35° y 80° en los dos triángulos

El programa del MEP llama a este último criterio ángulo-ángulo-ángulo, pero basta con revisar dos ángulos: si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercero también lo es, porque en ambos completa los 180°. Fíjate en la diferencia con la congruencia: aquí los lados no tienen que medir lo mismo, sino estar en la misma razón.

Ejemplo. ¿Es semejante un triángulo de lados 8 cm, 10 cm y 14 cm a uno de lados 20 cm, 25 cm y 35 cm? ¿Y a uno de lados 10 cm, 12 cm y 16 cm?

Solución. Las medidas ya están en orden creciente, así que basta dividir cada lado del segundo triángulo entre el que le corresponde en el primero: 20/8 = 2,5, 25/10 = 2,5 y 35/14 = 2,5. Por LLL son semejantes, con razón 2,5. Con el tercero, 10/8 = 1,25, 12/10 = 1,2 y 16/14 ≈ 1,14: no son semejantes, aunque a cada lado se le sumaron 2 cm. Sumar la misma cantidad cambia la forma; multiplicar por el mismo número, no.

Ejemplo. Dos ángulos de un triángulo miden 38° y 64°. Dos ángulos de otro miden 64° y 78°. ¿Son semejantes?

Solución. En el primero falta 180° − 38° − 64° = 78°, y en el segundo, 180° − 64° − 78° = 38°. Los dos tienen ángulos de 38°, 64° y 78°: son semejantes por AA.

Ejemplo. En △ABC, el punto D está sobre el lado AB y el punto E sobre el lado AC, con AD = 3 cm, AB = 7,5 cm, AE = 4 cm y AC = 10 cm. Si BC = 9 cm, ¿cuánto mide DE?

Solución. Los triángulos ADE y ABC comparten el ángulo A, comprendido entre los lados que se comparan, y AD/AB = 3/7,5 = 0,4 y AE/AC = 4/10 = 0,4. Por LAL, △ADE ∼ △ABC con razón 0,4. Como DE corresponde a BC, DE = 0,4 · 9 = 3,6 cm.

Cómo se escribe una prueba#

El programa pide probar la congruencia o la semejanza, no solo afirmarla. Una prueba ordenada tiene tres pasos:

Nombrar los dos triángulos con sus vértices en el orden de la correspondencia.
Escribir cada igualdad o razón que se usa, con su justificación: un dato, un lado común, ángulos opuestos por el vértice, la suma de 180°…
Nombrar el criterio y escribir la conclusión con ≅ o ∼.

Ejemplo. La cercha de un techo de dos aguas tiene forma de triángulo ABC, con los tramos inclinados AB y AC del mismo largo. Un puntal va del vértice A al punto medio M de la viga BC. Prueba que △ABM ≅ △ACM y deduce cómo queda el puntal respecto a la viga.

Solución. AB = AC (dato), BM = MC (M es el punto medio) y AM es un lado común. Por LLL, △ABM ≅ △ACM, así que ∠AMB = ∠AMC. Esos dos ángulos están uno junto al otro sobre la recta BC y suman 180°, de modo que cada uno mide 180° ÷ 2 = 90°: el puntal es perpendicular a la viga.

Ejemplo. Entre dos árboles, A y B, hay una laguna. Desde un punto C en tierra firme se mide CA = 18 m y CB = 24 m. Se prolonga AC más allá de C hasta D, con CD = 18 m, y BC hasta E, con CE = 24 m. Si DE mide 27 m, ¿cuánto mide AB?

Solución. En los triángulos ACB y DCE, CA = CD y CB = CE por construcción, y ∠ACB = ∠DCE porque son opuestos por el vértice, comprendidos entre esos lados. Por LAL, △ACB ≅ △DCE, y los lados correspondientes AB y DE miden lo mismo: AB = 27 m. La distancia sobre el agua se midió en tierra.

Problemas con semejanza#

Ejemplo. Un poste de 2,4 m de alto proyecta una sombra de 1,6 m. A la misma hora, la sombra de un árbol de guanacaste mide 9,2 m. ¿Qué altura tiene el árbol?

Solución. El poste y el árbol forman un ángulo recto con el suelo, y como los rayos del sol llegan paralelos, el ángulo que forman con el suelo es el mismo en los dos casos. Los triángulos son semejantes por AA. La razón entre altura y sombra es 2,4 ÷ 1,6 = 1,5, así que el árbol mide 1,5 · 9,2 = 13,8 m.

Ejemplo. En un plano, un terreno triangular aparece con lados de 4 cm, 5 cm y 7 cm. En la realidad, el lado más corto mide 30 m. ¿Cuánto miden los otros lados y cuál es el perímetro?

Solución. Dibujo y terreno son semejantes, con razón 30 m ÷ 4 cm: cada centímetro representa 7,5 m. Los otros lados miden 5 · 7,5 = 37,5 m y 7 · 7,5 = 52,5 m, y el perímetro es 30 + 37,5 + 52,5 = 120 m. Sale lo mismo al multiplicar el perímetro del dibujo, 16 cm, por 7,5: los perímetros guardan la misma razón que los lados.

Antes de resolver, revisa que los datos describan triángulos posibles: cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos (en el plano, 4 + 5 = 9 es mayor que 7) y los ángulos deben sumar 180°.

Prueba los criterios con geometría dinámica#

El programa del MEP propone usar software de geometría dinámica, como GeoGebra, que el mismo programa menciona como gratuito, para formular conjeturas y verificarlas arrastrando los vértices. Dos actividades:

Semejanza con una homotecia. Dibuja un triángulo, aplícale una homotecia de razón 2 y mide lados y ángulos. Los ángulos no cambian y cada lado se duplica. Arrastra un vértice: la razón entre lados correspondientes sigue siendo 2.
Por qué el ángulo debe estar comprendido. Traza un segmento AB de 6 unidades, un ángulo de 30° con vértice en A y una circunferencia de radio 4 con centro en B. La circunferencia corta el otro lado del ángulo en dos puntos: hay dos triángulos distintos con esos dos lados y ese ángulo no comprendido.

Ponte a prueba#

¿Qué criterio asegura que dos triángulos son congruentes si los dos tienen ángulos de 40° y 75° y el lado comprendido entre esos ángulos mide 6 cm?#

El criterio ALA (ángulo-lado-ángulo): hay dos pares de ángulos iguales y el lado que está entre ellos mide lo mismo en ambos triángulos. Como consecuencia, los otros elementos también coinciden; por ejemplo, el tercer ángulo mide 180° − 40° − 75° = 65° en los dos, y los lados que no se dieron también son iguales.

¿Son semejantes un triángulo de lados 6, 7 y 10 cm y otro de lados 3, 3,5 y 5 cm?#

Sí. Al dividir cada lado del segundo entre su correspondiente del primero se obtiene 3/6 = 0,5, 3,5/7 = 0,5 y 5/10 = 0,5. Las tres razones son iguales, así que los triángulos son semejantes por el criterio LLL, con razón 0,5: el segundo es una reducción del primero a la mitad. Además, el primer triángulo existe, porque 6 + 7 = 13 es mayor que 10.

¿Cuánto mide la sombra de una persona de 1,6 m si, a la misma hora, un muro de 2 m de alto proyecta una sombra de 2,5 m?#

La persona y el muro forman con sus sombras triángulos rectángulos con el mismo ángulo de los rayos del sol, así que son semejantes por AA. La sombra del muro es 2,5 ÷ 2 = 1,25 veces su altura, y lo mismo pasa con la persona: 1,6 · 1,25 = 2 m de sombra.

¿Por qué dos triángulos con los tres ángulos iguales no son necesariamente congruentes?#

Porque los ángulos solo fijan la forma, no el tamaño. Si a un triángulo se le aplica una homotecia de razón 3, el nuevo triángulo tiene los mismos ángulos, pero cada lado mide el triple. Los dos son semejantes, por el criterio AA, pero no congruentes. Para la congruencia hace falta que al menos un par de lados correspondientes mida lo mismo, como en ALA.

¿Cuánto mide DE si D está en el lado AB y E en el lado AC de un triángulo ABC, con AD = 2 cm, AB = 6 cm, AE = 3 cm, AC = 9 cm y BC = 7,5 cm?#

Los triángulos ADE y ABC comparten el ángulo A, comprendido entre los lados que se comparan, y las razones son AD/AB = 2/6 = 1/3 y AE/AC = 3/9 = 1/3. Por LAL son semejantes, con razón 1/3. Como DE corresponde a BC, DE = 7,5 ÷ 3 = 2,5 cm.