La función lineal y = ax + b: situaciones, tablas y gráficas

Un técnico cobra una tarifa fija por llegar a la casa y una suma igual por cada hora de trabajo. Un tanque se vacía siempre al mismo ritmo. Una impresora saca la misma cantidad de páginas cada minuto. En las tres situaciones, una cantidad cambia siempre lo mismo cada vez que la otra aumenta en una unidad. Las relaciones de este tipo, que también se dibujan en gráficas, se describen con una función lineal.

Cómo reconocer una situación lineal#

Una situación se puede escribir como y = ax + b cuando hay un valor de partida fijo y, desde ahí, una cantidad sube o baja siempre lo mismo por cada unidad que aumenta la otra. Compara estos casos:

Situación	¿Es lineal?	Por qué
Un técnico cobra ₡8000 por la visita y ₡6500 por cada hora de trabajo	Sí: y = 6500x + 8000	Cada hora agrega siempre ₡6500 al cargo fijo
Una impresora saca 18 páginas por minuto	Sí: y = 18x	Cada minuto agrega 18 páginas; aquí b = 0
Un tanque con 600 litros pierde 25 litros por minuto	Sí: y = −25x + 600	Cada minuto quita 25 litros; a es negativo
El área de un cuadrado según la medida de su lado	No: y = x²	De lado 1 a lado 2 el área aumenta 3, y de 2 a 3 aumenta 5: el cambio no es constante
El tiempo de un viaje de 120 km según la velocidad	No: y = 120/x	Es una proporcionalidad inversa: al duplicar la velocidad, el tiempo se reduce a la mitad

Cuando b = 0 la fórmula queda y = ax, y las dos variables son directamente proporcionales, como en la proporcionalidad directa de sexto año. El programa del MEP llama lineales tanto a las funciones de la forma y = ax como a las de la forma y = ax + b con b distinto de cero.

Una prueba práctica: haz una tabla en la que x aumente siempre en la misma cantidad y resta cada valor de y del siguiente. Si todas las diferencias son iguales, la relación es lineal.

De la situación a la fórmula y a la tabla#

Ejemplo. Un técnico en refrigeración cobra ₡8000 por la visita más ₡6500 por cada hora de trabajo, y cobra las fracciones de hora en proporción. Escribe el cobro en función de las horas y haz una tabla para 0; 0,5; 1; 2 y 3,5 horas.

Solución. Si x es la cantidad de horas e y el cobro en colones, las horas cuestan 6500x, y se suma la visita: y = 6500x + 8000. Aquí a = 6500, lo que aumenta el cobro por cada hora, y b = 8000, lo que se paga aunque el trabajo dure 0 horas. Para llenar la tabla se sustituye cada valor de x; por ejemplo, con x = 3,5 se obtiene y = 6500 · 3,5 + 8000 = 22 750 + 8000 = 30 750.

Horas (x)	0	0,5	1	2	3,5
Cobro en colones (y)	8000	11 250	14 500	21 000	30 750

Ejemplo. Un tanque tiene 600 litros de agua y se vacía a razón de 25 litros por minuto. Escribe la cantidad de agua y en función del tiempo x, en minutos. ¿Cuánta agua queda a los 7,5 minutos? ¿Para qué valores de x tiene sentido la fórmula?

Solución. Cada minuto se restan 25 litros: y = −25x + 600, que también se escribe y = 600 − 25x. El valor a = −25 es negativo porque el agua disminuye, y b = 600 es el agua al inicio. A los 7,5 minutos quedan −25 · 7,5 + 600 = −187,5 + 600 = 412,5 litros. La fórmula tiene sentido mientras quede agua: con x = 24 se obtiene y = −25 · 24 + 600 = 0, así que sirve para x desde 0 hasta 24.

De la tabla a la fórmula#

Otras veces la situación llega como una tabla de valores. Si en la tabla x avanza de uno en uno, se puede decidir si la relación es lineal y escribir su fórmula así:

1. Resta cada valor de y del siguiente.
2. Si las diferencias no son todas iguales, la relación no es lineal. Si lo son, esa diferencia común es a: lo que cambia y cada vez que x aumenta en 1.
3. Halla b, que es el valor de y cuando x = 0. Si la tabla no trae x = 0, retrocede de uno en uno hasta x = 0, restando a en cada paso.
4. Escribe y = ax + b y compruébala con otro par de la tabla.

Ejemplo. Halla la fórmula de la función lineal que cumple esta tabla: para x = 1, 2, 3, 4 y 5, los valores de y son 2, 7, 12, 17 y 22.

Solución. Todas las diferencias entre valores seguidos de y valen 5, así que a = 5: cada vez que x aumenta en 1, y aumenta 5. La tabla empieza en x = 1; al retroceder un paso hasta x = 0, y baja 5, y queda b = 2 − 5 = −3. La fórmula es y = 5x − 3. Comprobación con (5, 22): 5 · 5 − 3 = 22.

Ejemplo. Para x = 0, 1, 2, 3 y 4, los valores de y son 1, 3, 7, 13 y 21. ¿Es lineal esta relación?

Solución. No. Las diferencias entre valores seguidos de y son 2, 4, 6 y 8. No son iguales, así que no hay un número a que sirva para todos los pasos, aunque y siempre aumente.

Ejemplo. Para x = 1, 2, 3 y 4, los valores de y son 4,5; 3; 1,5 y 0. Halla la fórmula.

Solución. Cada vez que x aumenta en 1, y disminuye 1,5: todas las diferencias valen −1,5, así que a = −1,5. Al retroceder de x = 1 a x = 0, y sube 1,5, de modo que b = 4,5 + 1,5 = 6. La fórmula es y = −1,5x + 6. Comprobación con (4, 0): −1,5 · 4 + 6 = 0. En las tablas también caben decimales y fracciones: el programa del MEP pide trabajarlas con números racionales.

La gráfica: puntos alineados en el plano cartesiano#

Para graficar, cada par (x, y) de la tabla se ubica como un punto en el plano cartesiano: x en el eje horizontal, o eje de las abscisas, e y en el eje vertical, o eje de las ordenadas. En una función lineal, esos puntos quedan siempre alineados. En octavo año la gráfica se hace con puntos; un programa como GeoGebra muestra la recta completa, porque ubica muchísimos puntos.

En la gráfica se leen a y b. El punto que está sobre el eje vertical es (0, b). Al avanzar una unidad hacia la derecha, el punto siguiente está a unidades más arriba si a es positivo, o más abajo si a es negativo. Si a = 0, todos los puntos quedan a la misma altura: y = b es una función constante.

Cuando los valores de y son mucho más grandes que los de x, el programa del MEP recomienda usar escalas distintas en los ejes. En la gráfica del técnico, por ejemplo, cada cuadrito del eje horizontal puede valer media hora, y cada cuadrito del eje vertical, ₡2500.

Ejemplo. Grafica y = 0,5x − 1 a partir de una tabla con x = −2, 0, 1, 3 y 4.

Solución. Se sustituye cada valor: con x = −2, y = 0,5 · (−2) − 1 = −2; con x = 0, y = −1; con x = 1, y = −0,5; con x = 3, y = 0,5, y con x = 4, y = 1. Se ubican los puntos (−2, −2), (0, −1), (1, −0,5), (3, 0,5) y (4, 1). Quedan alineados: por cada unidad hacia la derecha, el punto sube media unidad (a = 0,5), y el punto del eje vertical es (0, −1), porque b = −1.

El camino inverso: conocer y, buscar x#

Muchas preguntas sobre una función lineal dan el valor de y y piden el de x. Responderlas es resolver una ecuación de primer grado de la forma ax + b = c.

Ejemplo. El técnico cobró ₡34 000 por un trabajo. ¿Cuántas horas trabajó?

Solución. Hay que hallar x tal que 6500x + 8000 = 34 000. Se resta el cargo de la visita: 6500x = 26 000, y se divide: x = 26 000 ÷ 6500 = 4 horas. En la tabla corresponde al par (4, 34 000), y en la gráfica, a ese punto.

Más adelante en octavo año estudiarás con detalle esta relación entre la ecuación ax + b = c y la función y = ax + b, y en décimo año volverás a la función lineal para trabajar su pendiente y la ecuación de una recta.

Ponte a prueba#

¿Es lineal el costo de imprimir fotografías si cada una cuesta ₡425 y no hay otros cobros?#

¿Cuál es la fórmula de la función lineal que cumple que, para x = 0, 1, 2 y 3, los valores de y son 9, 5, 1 y −3?#

¿Cuánto vale y cuando x = 2,5 en la función y = 4x − 3?#

¿Qué significan los números de la fórmula y = 350x + 1500 si y es el costo, en colones, de alquilar una bicicleta durante x horas?#

¿Cómo se reconoce en una gráfica de puntos que una función lineal es de la forma y = ax?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)