Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente

Con el teorema de Pitágoras se calcula un lado de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Pero muchas veces se conoce un lado y un ángulo: la inclinación de una rampa, de un tobogán o de un cable. Para relacionar los ángulos con los lados están las razones trigonométricas: el seno, el coseno y la tangente.

En esta lección de noveno año vas a definir esas tres razones, a calcular con ellas lados y ángulos, a usar la relación entre la tangente, el seno y el coseno, y a aprovechar lo que ocurre con los ángulos complementarios.

Cateto opuesto, cateto adyacente e hipotenusa#

Los nombres de los catetos dependen del ángulo que se mire. Para un ángulo agudo α, el cateto opuesto es el que queda enfrente de α, y el cateto adyacente es el que forma el ángulo α junto con la hipotenusa. Si se pasa al otro ángulo agudo, los papeles se intercambian: el que era opuesto pasa a ser adyacente.

Ejemplo. En el triángulo ABC, rectángulo en C, los catetos miden BC = 8 cm y AC = 15 cm, y la hipotenusa AB = 17 cm. Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos A y B.

Solución. Primero se comprueba que los datos casan: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Para el ángulo A, el cateto opuesto es BC = 8 y el adyacente es AC = 15: sen A = 8/17 ≈ 0,47, cos A = 15/17 ≈ 0,88 y tan A = 8/15 ≈ 0,53. Para el ángulo B, el opuesto es AC = 15 y el adyacente es BC = 8: sen B = 15/17 ≈ 0,88, cos B = 8/17 ≈ 0,47 y tan B = 15/8 = 1,875.

Las razones dependen solo del ángulo#

Si se agranda el triángulo sin cambiar sus ángulos, todos los lados se multiplican por el mismo número y los cocientes no cambian. Por ejemplo, un triángulo de lados 16, 30 y 34 tiene los mismos ángulos que el de 8, 15 y 17, y el seno de su ángulo A es 16/34 = 8/17. Por eso cada ángulo agudo tiene un seno, un coseno y una tangente fijos, que la calculadora da directamente en modo de grados: por ejemplo, sen 35° ≈ 0,5736.

Los ángulos de 30°, 45° y 60°#

Sus razones exactas se obtienen con Pitágoras. Si se corta un triángulo equilátero de lado 2 por una de sus alturas, quedan dos triángulos rectángulos con ángulos de 30° y 60°, hipotenusa 2, un cateto de 1 y otro de √(2² − 1²) = √3. Y un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 tiene dos ángulos de 45° y una hipotenusa de √2.

Ángulo	sen	cos	tan
30°	1/2	√3/2	√3/3
45°	√2/2	√2/2	1
60°	√3/2	1/2	√3

Calcular lados y ángulos#

Para calcular un lado se escoge la razón que relacione el lado que se busca con el que se conoce. Para calcular un ángulo a partir de dos lados se usan las funciones inversas de la calculadora, sen⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹, que devuelven el ángulo cuyo seno, coseno o tangente es el número dado.

Ejemplo. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 12 cm y uno de los ángulos agudos mide 40°. Halla los catetos.

Solución. El cateto opuesto al ángulo de 40° cumple sen 40° = opuesto ÷ 12, así que opuesto = 12 · sen 40° ≈ 7,71 cm. El adyacente cumple cos 40° = adyacente ÷ 12, así que adyacente = 12 · cos 40° ≈ 9,19 cm. Con Pitágoras se comprueba: con los valores sin redondear, la suma de los cuadrados de los catetos da exactamente 12² = 144.

Ejemplo. Un cateto mide 9 m y el ángulo agudo adyacente a él mide 28°. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Solución. Se conoce el cateto adyacente y se busca el opuesto, así que se usa la tangente: tan 28° = opuesto ÷ 9, y opuesto = 9 · tan 28° ≈ 4,79 m.

Ejemplo. Una rampa sube 0,5 m a lo largo de una distancia horizontal de 6 m (datos inventados). ¿Qué ángulo forma con el suelo y cuánto mide la rampa?

Solución. La altura es el cateto opuesto al ángulo α que la rampa forma con el suelo, y la distancia horizontal es el adyacente: tan α = 0,5 ÷ 6 ≈ 0,0833, así que α = tan⁻¹(0,5 ÷ 6) ≈ 4,76°. La rampa es la hipotenusa: √(6² + 0,5²) = √36,25 ≈ 6,02 m.

La relación entre tangente, seno y coseno#

Si se divide el seno entre el coseno de un mismo ángulo, la hipotenusa se cancela: (opuesto ÷ hipotenusa) ÷ (adyacente ÷ hipotenusa) = opuesto ÷ adyacente, que es la tangente. Es decir:

Ejemplo. Comprueba con la calculadora que tan 52° = sen 52° ÷ cos 52°. Luego, si un ángulo agudo α cumple cos α = 5/13 y tan α = 12/5, ¿cuánto vale sen α?

Solución. sen 52° ≈ 0,7880 y cos 52° ≈ 0,6157; su cociente da ≈ 1,28, lo mismo que tan 52° ≈ 1,28. Para la segunda parte, de tan α = sen α ÷ cos α se despeja sen α = tan α · cos α = (12/5) · (5/13) = 12/13. Los datos casan: corresponden a un triángulo de catetos 5 y 12 e hipotenusa 13.

Razones de ángulos complementarios#

Dos ángulos son complementarios si suman 90°. En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios, porque junto con el ángulo recto suman 180°. Si uno mide α, el otro mide 90° − α, y el cateto opuesto a uno es el adyacente del otro. Por eso:

Ejemplo. Verifica que sen 25° = cos 65° y que tan 20° · tan 70° = 1.

Solución. 25° y 65° suman 90°; con la calculadora, sen 25° ≈ 0,4226 y cos 65° ≈ 0,4226. Del mismo modo, 20° + 70° = 90°, así que tan 70° = 1 ÷ tan 20° y el producto es 1. En el triángulo de lados 8, 15 y 17 ya se veía: sen A = cos B = 8/17 y tan A · tan B = (8/15) · (15/8) = 1.

Ejemplo. Halla el ángulo agudo α que cumple sen α = cos 38°.

Solución. El seno de un ángulo agudo es el coseno de su complemento, así que α = 90° − 38° = 52°. Se comprueba con la calculadora: sen 52° ≈ 0,7880 y cos 38° ≈ 0,7880.

Problemas en contexto#

Los datos de estos problemas son inventados para practicar. En cada uno conviene dibujar el triángulo rectángulo y marcar el ángulo conocido antes de escoger la razón.

Ejemplo. Un tobogán recto de 4 m de largo forma un ángulo de 35° con el suelo. ¿A qué altura está su punto más alto y qué distancia horizontal ocupa?

Solución. El tobogán es la hipotenusa. La altura es el cateto opuesto al ángulo de 35°: h = 4 · sen 35° ≈ 2,29 m. La distancia horizontal es el cateto adyacente: 4 · cos 35° ≈ 3,28 m.

Ejemplo. Un cable tensor va desde lo alto de un poste vertical hasta un punto del suelo a 3,5 m de la base del poste, y forma con el suelo un ángulo de 62°. ¿Cuánto mide el poste y cuánto mide el cable?

Solución. La distancia en el suelo es el cateto adyacente al ángulo de 62°, y la altura del poste es el opuesto: h = 3,5 · tan 62° ≈ 6,58 m. El cable es la hipotenusa: de cos 62° = 3,5 ÷ cable sale cable = 3,5 ÷ cos 62° ≈ 7,46 m. Con Pitágoras se comprueba que, sin redondear, 3,5² + h² es igual al cuadrado del cable.

Ponte a prueba#

¿Cuánto valen el seno, el coseno y la tangente del ángulo opuesto al cateto de 7 cm, en un triángulo rectángulo de catetos 7 cm y 24 cm?#

¿Cuánto mide el cateto opuesto a un ángulo de 50° si la hipotenusa mide 20 cm?#

¿Cuánto vale la tangente de un ángulo agudo si su seno es 20/29 y su coseno es 21/29?#

¿Por qué sen 35° es igual a cos 55°?#

¿Qué ángulo forma con el suelo una escalera de 5 m cuyo pie está a 1,5 m de la pared?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)