Problemas con razones trigonométricas: resolver y plantear

En noveno año ya conoces el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo, y también los ángulos de elevación y de depresión. Esta lección junta todo eso para lo que más importa: resolver problemas en los que hay que calcular una distancia, una altura o un ángulo que no se puede medir directamente con una cinta métrica o un transportador.

El programa del MEP pide, además, que aprendas a plantear tus propios problemas. Por eso, al final verás cómo se construye un enunciado con datos que casen entre sí. En todos los ejemplos, las medidas son inventadas para practicar y los resultados se redondean a dos decimales, salvo que se diga otra cosa.

Lo que necesitas tener a mano#

Antes de resolver, conviene repasar las herramientas. En un triángulo rectángulo, para cada uno de sus ángulos agudos α:

Además, hay tres propiedades que ahorran cuentas: tan α = sen α ÷ cos α; sen² α + cos² α = 1; y si α y β son complementarios (α + β = 90°), entonces sen α = cos β y cos α = sen β. Por ejemplo, sen 30° = cos 60° = 0,5.

Ángulos de elevación y de depresión#

El ángulo de elevación se forma entre la línea horizontal que pasa por el ojo de quien observa y la línea visual hacia un objeto que está más arriba. El ángulo de depresión se forma entre esa horizontal y la línea visual hacia un objeto que está más abajo. Si desde un punto A se ve un punto B con un ángulo de depresión de 30°, desde B se ve A con un ángulo de elevación de 30°: son ángulos alternos internos entre dos rectas horizontales, que son paralelas.

La calculadora, en grados#

La calculadora tiene que estar en modo de grados (en la pantalla suele aparecer D o DEG). Si está en radianes, al escribir sen 6 da −0,2794, cuando sen 6° ≈ 0,1045. Para hallar un ángulo a partir de una razón se usan las teclas sen⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹, que en muchas calculadoras aparecen como sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹ con la tecla SHIFT.

Un método en cinco pasos#

Casi todos los problemas de este tema se resuelven con el mismo orden de trabajo:

1. Dibuja la situación y marca el ángulo recto, los datos y la incógnita (ponle una letra, como x).
2. Ubica el triángulo rectángulo y el ángulo agudo que conoces o que buscas.
3. Nombra los lados respecto de ese ángulo: opuesto, adyacente e hipotenusa.
4. Escoge la razón que contiene el dato y la incógnita, plantea la igualdad y despeja.
5. Revisa que la respuesta tenga sentido: la hipotenusa es el lado mayor, un ángulo agudo está entre 0° y 90° y las unidades son las del problema.

Si conoces…	y buscas…	usa…
el ángulo y la hipotenusa	el cateto opuesto	sen α
el ángulo y la hipotenusa	el cateto adyacente	cos α
el ángulo y un cateto	el otro cateto	tan α
el ángulo y un cateto	la hipotenusa	sen α o cos α
dos lados	el ángulo	sen−1, cos−1 o tan−1

Ejemplo. En un parque de aventura, un cable de tirolesa une dos plataformas. La distancia horizontal entre ellas es de 180 m y el cable baja con un ángulo de 6° respecto de la horizontal. Si se supone que el cable queda recto, ¿cuál es el desnivel entre las plataformas y cuánto mide el cable?

Solución. Se dibuja un triángulo rectángulo: el cateto horizontal mide 180 m, el cateto vertical es el desnivel d y la hipotenusa es el cable c. Respecto del ángulo de 6°, el desnivel es el cateto opuesto y los 180 m son el adyacente. Para el desnivel se usa la tangente: tan 6° = d ÷ 180, así que d = 180 · tan 6° ≈ 18,92 m. Para el cable se usa el coseno, que relaciona el adyacente con la hipotenusa: cos 6° = 180 ÷ c, de donde c = 180 ÷ cos 6° ≈ 180,99 m. El resultado tiene sentido: el cable, que es la hipotenusa, mide un poco más que la distancia horizontal, porque el ángulo es pequeño.

Problemas con ángulos de elevación y de depresión#

Muchos problemas usan dos triángulos rectángulos que comparten un lado. La clave es resolver primero el triángulo que tiene dos datos y usar ese resultado en el otro.

Ejemplo. Valeria mira por la ventana de un edificio, con los ojos a 9 m sobre el suelo. Al otro lado de la calle hay un árbol. Ella ve la base del tronco con un ángulo de depresión de 25° y la copa con un ángulo de elevación de 18°. ¿A qué distancia está el árbol y cuánto mide?

Solución. Desde los ojos de Valeria se traza una horizontal hasta el tronco: así se forman dos triángulos rectángulos que comparten ese cateto horizontal, la distancia d. En el triángulo de abajo, los 9 m son el cateto opuesto al ángulo de depresión de 25°: tan 25° = 9 ÷ d, así que d = 9 ÷ tan 25° ≈ 19,30 m. En el triángulo de arriba, la parte del árbol que sobresale de la horizontal, p, es el cateto opuesto al ángulo de elevación de 18°: tan 18° = p ÷ d, de donde p = d · tan 18° ≈ 6,27 m. El árbol mide 9 + 6,27 ≈ 15,27 m. Para no arrastrar errores, conviene calcular p con el valor completo de d que guarda la calculadora y redondear solo al final.

Ejemplo. Un avión despega y sube en línea recta. Cuando ha avanzado 2000 m en horizontal, está a 350 m de altura. ¿Con qué ángulo de elevación sube y cuánto ha recorrido por el aire?

Solución. Los 350 m son el cateto opuesto al ángulo buscado α y los 2000 m, el cateto adyacente, así que tan α = 350 ÷ 2000 = 0,175. Con la tecla tan⁻¹ se obtiene α ≈ 9,93°. El recorrido es la hipotenusa, y se puede hallar con el teorema de Pitágoras: √(2000² + 350²) ≈ 2030,39 m.

Problemas que aprovechan las propiedades#

A veces la figura no es un triángulo rectángulo, pero se puede partir en dos que sí lo son. Otras veces se conoce una razón y no el ángulo, y las propiedades permiten hallar las demás razones sin calcular el ángulo.

Ejemplo. Visto de frente, el techo de dos aguas de una casa forma un triángulo isósceles. La casa mide 9 m de ancho y cada lado del techo tiene una inclinación de 22° respecto de la horizontal. ¿A qué altura sobre las paredes queda la parte más alta del techo y cuánto mide cada viga inclinada, sin contar los aleros?

Solución. La altura del triángulo isósceles, trazada desde la parte más alta, lo parte en dos triángulos rectángulos iguales, cada uno con un cateto horizontal de 9 ÷ 2 = 4,5 m. Respecto del ángulo de 22°, la altura h es el cateto opuesto: h = 4,5 · tan 22° ≈ 1,82 m. La viga es la hipotenusa: cos 22° = 4,5 ÷ v, así que v = 4,5 ÷ cos 22° ≈ 4,85 m.

Ejemplo. En el triángulo ABC, rectángulo en C, se sabe que sen A = 3/5 y que la hipotenusa mide 35 cm. Halla los dos catetos, cos A, tan A y sen B.

Solución. Como sen A = BC ÷ AB, el cateto opuesto a A mide BC = 35 · 3/5 = 21 cm. Por la propiedad sen² A + cos² A = 1, se tiene cos A = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5, y entonces AC = 35 · 4/5 = 28 cm. La tangente es tan A = sen A ÷ cos A = (3/5) ÷ (4/5) = 3/4. Como A y B son complementarios, sen B = cos A = 4/5. Se comprueba con Pitágoras: 21² + 28² = 441 + 784 = 1225 = 35².

Cómo plantear tus propios problemas#

Plantear un problema obliga a pensar en las condiciones que tiene que cumplir para que se pueda resolver con razones trigonométricas. Estos pasos ayudan:

1. Escoge una situación que forme un triángulo rectángulo: algo vertical sobre un suelo horizontal, una pendiente o una línea visual.
2. Decide qué razón quieres usar y qué datos hacen falta: para el seno, por ejemplo, intervienen el ángulo, el cateto opuesto y la hipotenusa; se dan dos y se pregunta el tercero.
3. Escoge datos que casen: un ángulo agudo, una hipotenusa mayor que cualquier cateto y medidas razonables para la situación.
4. Redacta la pregunta con claridad y resuélvela antes de proponerla a otra persona.

Ejemplo. Plantea y resuelve un problema que se resuelva con el coseno.

Solución. Un enunciado posible: «Una ciclista sube 2,5 km por una calle recta con una inclinación constante de 4°. ¿Cuánto avanzó en horizontal y cuántos metros subió?». El recorrido es la hipotenusa, y el avance horizontal es el cateto adyacente al ángulo de 4°: 2,5 · cos 4° ≈ 2,49 km. La altura ganada es el cateto opuesto: 2500 · sen 4° ≈ 174,39 m. Las dos respuestas tienen sentido: con una inclinación tan suave, el avance horizontal es casi igual al recorrido.

Un enunciado que no funciona#

«Una cuerda de 10 m va desde la punta de un mástil de 12 m de alto hasta el suelo. ¿Qué ángulo forma con el suelo?». Al plantear sen α = 12 ÷ 10 = 1,2 aparece el problema: el seno de un ángulo agudo siempre es menor que 1, porque la hipotenusa es el lado mayor del triángulo. La cuerda tendría que medir más de 12 m. Revisar esto antes de proponer un problema evita enunciados imposibles.

Errores frecuentes#

• Usar la calculadora en radianes cuando los ángulos están en grados.
• Confundir el cateto opuesto con el adyacente: siempre dependen del ángulo que se está usando.
• Colocar el ángulo de depresión dentro del triángulo sin pensar: se mide desde la horizontal, no desde la vertical.
• Redondear demasiado pronto, en los pasos intermedios, y arrastrar el error hasta el resultado.
• Olvidar sumar la altura de los ojos o del punto de observación cuando el problema la da.

Ponte a prueba#

¿Qué tan ancho es un río si, desde un punto de la orilla justo enfrente de un árbol de la otra orilla, se caminan 50 m por la orilla y desde allí el árbol se ve con un ángulo de 40° respecto de la orilla?#

¿Con qué ángulo sube una calle que gana 6 m de altura por cada 50 m de avance horizontal?#

¿Cuánto valen cos A, tan A y sen B en un triángulo rectángulo en C si sen A = 28/53?#

¿Cómo se plantea un problema que se resuelva con la tangente de 35° y una distancia de 20 m?#

¿A qué distancia en línea recta está un bañista que un salvavidas ve con un ángulo de depresión de 8°, si los ojos del salvavidas están a 6 m sobre el nivel del agua?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)