Figuras semejantes y congruentes: cómo reconocerlas y construirlas

Una fotografía y su ampliación, un dibujo y su copia reducida en una fotocopiadora, o dos banderas de Costa Rica de distinto tamaño tienen algo en común: la misma forma, aunque el tamaño cambie. Las baldosas iguales de un piso, en cambio, tienen la misma forma y también el mismo tamaño. En geometría, las primeras son figuras semejantes y las segundas, figuras congruentes.

Definición

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño; se indica con el símbolo ~. En ellas, los ángulos homólogos miden lo mismo y los lados homólogos son proporcionales, es decir, las medidas de una se obtienen multiplicando las de la otra por un mismo número, la razón de semejanza. Si además el tamaño coincide, o sea, si la razón es 1, las figuras son congruentes, y se indica con ≅. Dos figuras congruentes son también semejantes.

Misma forma: ángulos iguales y lados proporcionales#

Si la razón de semejanza es mayor que 1, una figura es una ampliación de la otra; si está entre 0 y 1, una reducción. La tabla resume las diferencias entre las dos relaciones:

	Figuras semejantes	Figuras congruentes
Ángulos homólogos	Miden lo mismo	Miden lo mismo
Lados homólogos	Proporcionales, con razón r	Iguales (razón 1)
Tamaño	Puede cambiar	Es el mismo
Símbolo	~	≅
Con una homotecia de razón k	Cualquier k ≠ 0; si \|k\| ≠ 1, cambia el tamaño	k = 1 o k = −1

Las dos condiciones de la semejanza hacen falta a la vez. Un cuadrado de 3 cm de lado y un rectángulo de 3 cm × 6 cm tienen los mismos ángulos, todos rectos, y no son semejantes, porque sus lados no son proporcionales. Y un cuadrado y un rombo con lados de 3 cm tienen los lados proporcionales, porque son iguales, pero no son semejantes si el rombo no tiene ángulos rectos.

Construir una figura semejante con una homotecia#

Una homotecia conserva los ángulos y multiplica todas las longitudes por |k|, así que la figura que produce es siempre semejante a la original. Con una razón mayor que 1 la figura se amplía, y con una razón entre 0 y 1 se reduce. Con regla, la construcción se hace así:

Elige un punto O como centro, dentro o fuera de la figura.
Traza una semirrecta desde O que pase por cada vértice.
Mide la distancia de O a cada vértice y multiplícala por |k|. Marca el punto homólogo a esa nueva distancia de O, sobre la misma semirrecta (si k fuera negativo, sobre la semirrecta opuesta).
Une los puntos obtenidos en el mismo orden que los vértices originales.

Ejemplo. Aplica al triángulo de vértices A(4, 2), B(10, 2) y C(4, 6) una homotecia de centro (0, 0) y razón 3/2, y otra de razón 1/2. Compara los lados y los ángulos.

Solución. Con k = 3/2 se multiplican las coordenadas por 3/2: A′(6, 3), B′(15, 3) y C′(6, 9). Con k = 1/2 se divide cada coordenada entre 2: A″(2, 1), B″(5, 1) y C″(2, 3). Los lados que se cuentan en la cuadrícula cambian así: AB = 6, A′B′ = 9 y A″B″ = 3; AC = 4, A′C′ = 6 y A″C″ = 2. Los ángulos no cambian: el ángulo en A es recto en los tres triángulos, y los otros dos ángulos también se conservan. Los tres son semejantes: ABC ~ A′B′C′ ~ A″B″C″. La razón de A′B′C′ respecto de ABC es 3/2; la de A″B″C″, 1/2; y la de A′B′C′ respecto de A″B″C″, 9 ÷ 3 = 3.

El perímetro también se multiplica por la razón. Un rectángulo de 4 cm × 2 cm tiene 12 cm de perímetro; con una homotecia de razón 2,5 se convierte en uno de 10 cm × 5 cm, cuyo perímetro es 30 cm = 2,5 · 12 cm.

Construir una figura congruente: razón 1 o −1#

Con k = 1, cada punto se queda donde está: la imagen coincide con la figura y, desde luego, es congruente con ella. Con k = −1, cada punto P va al punto P′ que está al otro lado del centro y a la misma distancia: la figura queda girada media vuelta alrededor del centro, con los mismos lados y los mismos ángulos. En el programa del MEP de octavo, las homotecias de razón 1 y −1 son la puerta de entrada a la congruencia; las de cualquier otra razón, a la semejanza.

Fórmula

Homotecia de centro (0, 0) y razón −1: (x, y) → (−x, −y)

Si el centro es otro punto, cada punto se refleja a través del centro: el desplazamiento del centro al punto se cambia de sentido.

Ejemplo. Aplica al triángulo de vértices D(0, 1), E(4, 1) y F(0, 3) una homotecia de razón −1 con centro en el vértice E.

Solución. E es el centro, así que no se mueve: E′ = E(4, 1). Desde E, el punto D está 4 a la izquierda; su homólogo queda 4 a la derecha: D′(8, 1). El punto F está 4 a la izquierda y 2 arriba de E; su homólogo queda 4 a la derecha y 2 abajo: F′(8, −1). Los lados medibles en la cuadrícula se conservan: DE = D′E′ = 4 y DF = D′F′ = 2, y el ángulo recto en D pasa a D′. Los triángulos DEF y D′EF′ son congruentes: DEF ≅ D′EF′.

La homotecia de razón −1 no es la única forma de obtener figuras congruentes: cualquier movimiento que no deforme la figura, como deslizarla, girarla o reflejarla como en un espejo, produce una figura congruente con la original.

¿Son semejantes? ¿Son congruentes? Cómo decidirlo#

Para decidir si dos polígonos son semejantes se decide primero qué vértice de uno corresponde a cada vértice del otro (en un triángulo ayuda ordenar los lados de menor a mayor en las dos figuras), y luego se comprueba que los ángulos homólogos midan lo mismo y que los cocientes entre lados homólogos sean todos iguales. Si además ese cociente es 1, son congruentes. Para los triángulos hay criterios que permiten decidir con menos datos; se estudian aparte.

Ejemplo. Un triángulo tiene lados de 5 cm, 6 cm y 8 cm, y otro, de 7,5 cm, 9 cm y 12 cm. ¿Son semejantes?

Solución. Primero, los dos triángulos existen: en cada uno, la suma de los dos lados menores es mayor que el lado mayor (5 + 6 > 8 y 7,5 + 9 > 12). Se ordenan los lados y se dividen: 7,5 ÷ 5 = 1,5; 9 ÷ 6 = 1,5; 12 ÷ 8 = 1,5. Los tres cocientes son iguales, así que son semejantes con razón 1,5. En los triángulos, que los tres lados sean proporcionales basta para que los ángulos homólogos midan lo mismo; es uno de los criterios que se estudian después.

Ejemplo. ¿Es semejante un rectángulo de 12 cm × 8 cm a uno de 16 cm × 10 cm? ¿Y a uno de 18 cm × 12 cm?

Solución. Todos los rectángulos tienen los ángulos rectos, así que solo hay que revisar los lados. Con el de 16 cm × 10 cm: 16 ÷ 12 = 4/3 y 10 ÷ 8 = 5/4. Los cocientes son distintos: no son semejantes. Con el de 18 cm × 12 cm: 18 ÷ 12 = 1,5 y 12 ÷ 8 = 1,5. Son semejantes, con razón 1,5.

Todos los cuadrados son semejantes entre sí, y también todos los triángulos equiláteros y todos los círculos: tienen siempre la misma forma.
No todos los rectángulos, ni todos los rombos, ni todos los triángulos rectángulos o isósceles son semejantes: depende de sus medidas.

Semejanza y congruencia a nuestro alrededor#

La bandera de Costa Rica#

La Ley N.º 10178, del 25 de abril de 2022, dice en su artículo 2 que «las medidas de la bandera serán de dos metros de largo por un metro veinte centímetros de ancho» y que sus ampliaciones o reducciones «deberán guardar estas proporciones». Dicho en lenguaje geométrico: toda bandera nacional que cumpla la ley es un rectángulo semejante al de 2 m × 1,2 m. Su largo dividido entre su ancho es siempre 2 ÷ 1,2 = 5/3. Según el artículo 1, la franja roja del centro tiene «un ancho dos veces mayor que las demás», es decir, el doble de cualquiera de las otras cuatro; contando a la roja como dos, el ancho de la bandera se reparte en 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 6 partes iguales.

Ejemplo. Un grupo quiere hacer una bandera de 1,5 m de largo que guarde las proporciones de la ley. ¿Cuánto debe medir de ancho? ¿Cuánto mide cada franja?

Solución. La razón de semejanza respecto de la bandera de 2 m es 1,5 ÷ 2 = 3/4. El ancho es 3/4 · 1,2 = 0,9 m. Ese ancho se reparte en 6 partes: 0,9 ÷ 6 = 0,15 m. Las franjas azules y blancas miden 0,15 m cada una y la roja, el doble, 0,30 m. Comprobación: 4 · 0,15 + 0,30 = 0,90 m.

Ejemplo. ¿Sirve una tela de 1 m × 0,5 m para una bandera reducida que cumpla la ley?

Solución. No con esas medidas. En la tela, el largo es el doble del ancho: 1 ÷ 0,5 = 2, pero la ley pide la razón 5/3. Para 1 m de largo, el ancho tendría que ser 1 ÷ 5/3 = 3/5 de metro, es decir, 0,6 m. Un rectángulo de 1 m × 0,5 m no es semejante al de 2 m × 1,2 m.

Otros contextos#

Fotografías. Una foto de 10 cm × 15 cm ampliada a 20 cm × 30 cm es semejante a la original, con razón 2. Si se imprime en 20 cm × 25 cm ya no lo es: la imagen se deforma o hay que recortarla.
Planos y mapas. Un plano a escala es semejante a la figura real que representa, como el contorno de un terreno visto desde arriba: en un plano a escala 1:100, cada longitud real se multiplica por 1/100.
Piezas iguales. Las baldosas de un mismo modelo, las piezas que salen de un mismo molde o las dos hojas iguales de una puerta doble están hechas para ser congruentes: se pueden superponer una sobre otra.

Ponte a prueba#

¿Qué razón de homotecia reduce una figura a la tercera parte sin girarla?#

La razón 1/3. Para reducir, el valor absoluto de la razón tiene que estar entre 0 y 1, y para que cada longitud de la imagen mida la tercera parte de su homóloga, |k| = 1/3. Como la figura no debe quedar girada media vuelta, la razón es positiva: k = 1/3. La imagen es semejante a la original, con los mismos ángulos.

¿Son semejantes un rectángulo de 6 cm × 4 cm y otro de 9 cm × 5 cm?#

No. Los ángulos coinciden, porque todos son rectos, pero los lados no son proporcionales: 9 ÷ 6 = 1,5 y 5 ÷ 4 = 1,25. Para que fueran semejantes, los dos cocientes tendrían que ser iguales. Un rectángulo semejante al de 6 cm × 4 cm con largo 9 cm debería medir 1,5 · 4 = 6 cm de ancho.

¿Cuánto debe medir de ancho una bandera de Costa Rica de 90 cm de largo para guardar las proporciones de la ley?#

Debe medir 54 cm. La Ley N.º 10178 fija 2 m de largo por 1,2 m de ancho y pide que las reducciones guarden esas proporciones, así que el ancho es 1,2/2 = 3/5 del largo. Entonces 3/5 · 90 = 54 cm. Es una reducción con razón 0,9 ÷ 2 = 0,45 respecto de la bandera de 2 m.

¿Por qué una homotecia de razón −1 produce una figura congruente?#

Porque las longitudes se multiplican por |−1| = 1, es decir, no cambian, y los ángulos se conservan, como en toda homotecia. Lo único que cambia es la posición: cada punto pasa al otro lado del centro, a la misma distancia, y la figura queda girada media vuelta. Mismos lados y mismos ángulos significa que las figuras son congruentes.

¿Son congruentes todas las figuras semejantes?#

No. Dos figuras semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener distinto tamaño: un cuadrado de 2 cm de lado y uno de 5 cm son semejantes, con razón 2,5, y no son congruentes. Al revés sí se cumple: dos figuras congruentes son siempre semejantes, con razón de semejanza 1.