En una caja hay diez tarjetas numeradas del 11 al 20, y se saca una sin ver. Ya sabes escribir el espacio muestral: S = {11, 12, …, 20}, con diez puntos muestrales. Pero casi nunca interesa un número suelto, sino algo como «que salga un número par» o «que salga un número primo». Cada una de esas condiciones agrupa puntos muestrales y se llama evento, y existen eventos simples y compuestos.
Todavía no se calculan probabilidades: primero hay que aprender a contar bien los resultados.
Definición
Un evento, también llamado suceso, es un conjunto formado con puntos muestrales de un espacio muestral, que puede reunir varios, uno solo o ninguno; en otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral. Los puntos muestrales que lo forman son sus resultados a favor. Al realizar el experimento, se dice que el evento ocurre si el resultado obtenido es uno de sus resultados a favor.
Los resultados a favor de un evento#
Los eventos se nombran con letras mayúsculas y se describen con palabras. Para hallar sus resultados a favor, se revisa uno por uno cada punto muestral y se pregunta: ¿cumple la condición? Los que la cumplen se escriben entre llaves, como el espacio muestral.
| Evento (tarjetas del 11 al 20) | Resultados a favor | Cantidad |
|---|---|---|
| A: sale un número par | {12, 14, 16, 18, 20} | 5 |
| B: sale un número primo | {11, 13, 17, 19} | 4 |
| C: sale un múltiplo de 7 | {14} | 1 |
| D: sale un número de dos cifras iguales | {11} | 1 |
| E: sale un número mayor que 10 | Los 10 puntos de S | 10 |
| F: las cifras del número suman 11 | { } | 0 |
Para el evento F hay que revisar con cuidado: las cifras de 11 a 19 suman de 2 a 10, y las de 20 suman 2. Ningún número cumple la condición, así que F no tiene resultados a favor. Un evento sin resultados a favor se escribe con llaves vacías, { }, o con el símbolo ∅.
Ejemplo. Si se saca la tarjeta 14, ¿cuáles de los eventos A a F ocurrieron?
Solución. Ocurrieron los eventos cuyos resultados a favor incluyen el 14: A (14 es par), C (14 es múltiplo de 7) y E (14 es mayor que 10). No ocurrieron B, porque 14 no es primo; D, porque sus cifras son distintas, ni F. Con un solo resultado pueden ocurrir varios eventos a la vez.
Eventos simples y compuestos#
Según cuántos resultados a favor tiene, un evento se clasifica así:
- Un evento simple incluye un solo punto muestral. En las tarjetas, C = {14} y D = {11} son simples.
- Un evento compuesto incluye dos o más puntos muestrales. A, con 5 resultados a favor; B, con 4, y E, con 10, son compuestos.
- El evento F no tiene puntos muestrales, así que no es simple ni compuesto.
Que un evento sea simple o compuesto depende del espacio muestral, no solo de las palabras. «Sale un 6» es simple al lanzar un dado, porque el espacio muestral tiene seis puntos, los números del 1 al 6, y el evento solo tiene uno: {6}. Pero si se lanzan una moneda y un dado, el mismo «sale un 6» es compuesto, como verás más abajo.
Eventos seguros, probables e imposibles#
La otra clasificación mira si el evento puede ocurrir o no. El glosario del programa del MEP describe tres tipos:
- Evento seguro: se tiene absoluta seguridad de que va a ocurrir. Sus resultados a favor son todos los puntos muestrales: el evento es el espacio muestral completo. En las tarjetas, E es seguro, porque todas tienen un número mayor que 10.
- Evento imposible: no es posible que ocurra. No tiene ningún resultado a favor. En las tarjetas, F es imposible.
- Evento probable: puede ocurrir o no ocurrir. Tiene al menos un resultado a favor, pero no todos. En las tarjetas, A, B, C y D son probables.
Cuidado con la palabra «probable». En la conversación diaria, «es probable» suele querer decir «es muy posible». En esta clasificación significa algo más amplio: que el evento puede ocurrir y puede no ocurrir. Así, C = {14}, con un solo resultado a favor de diez, es tan «probable» en este sentido como A, que tiene cinco. Comparar cuál de los dos tiene más posibilidades de ocurrir es el tema de la lección siguiente.
Fíjate también en cómo se relacionan las dos clasificaciones: un evento simple siempre es probable si el espacio muestral tiene más de un punto, y un evento seguro siempre es compuesto si el espacio muestral tiene dos puntos o más.
Un experimento en dos etapas: moneda y dado#
Se lanzan una moneda y un dado común, y se anota el lado de la moneda (E para escudo, C para corona) y el número del dado. El espacio muestral tiene 2 · 6 = 12 puntos muestrales:
Fórmula
S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6, C1, C2, C3, C4, C5, C6}
E3, por ejemplo, significa que salió escudo en la moneda y 3 en el dado.
| Evento | Resultados a favor | Simple o compuesto | Seguro, probable o imposible |
|---|---|---|---|
| G: sale escudo y un número par | {E2, E4, E6} | Compuesto | Probable |
| H: sale corona y un 5 | {C5} | Simple | Probable |
| I: sale un 6 | {E6, C6} | Compuesto | Probable |
| J: sale un número menor que 7 | Los 12 puntos de S | Compuesto | Seguro |
| K: sale escudo y un 7 | { } | Ninguno de los dos | Imposible |
El evento I muestra lo que se anunció antes: con la moneda y el dado, «sale un 6» tiene dos resultados a favor, E6 y C6, porque el 6 puede acompañar a cualquiera de los dos lados de la moneda. Por eso es compuesto, aunque con un dado solo sería simple.
Palabras que hay que leer con cuidado#
Al describir eventos aparecen expresiones que cambian por completo los resultados a favor. Para practicarlas, se escogen al azar dos de cuatro estudiantes, Ana, Beto, Carla y Dani, para representar a la sección; solo importa quiénes quedan, no el orden. Con sus iniciales, S = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}.
| Evento | Resultados a favor | Tipo |
|---|---|---|
| L: Ana queda escogida | {AB, AC, AD} | Compuesto, probable |
| M: quedan Beto y Dani | {BD} | Simple, probable |
| N: queda al menos uno entre Beto y Dani | {AB, AD, BC, BD, CD} | Compuesto, probable |
| P: no queda ni Ana ni Beto | {CD} | Simple, probable |
| Q: quedan escogidas tres personas | { } | Imposible |
| R: queda escogida alguna de las cuatro personas | Los 6 puntos de S | Compuesto, seguro |
Ejemplo. ¿Por qué el evento N tiene cinco resultados a favor y no solo BD?
Solución. «Al menos uno» significa uno o más. Sirven las parejas que tienen a Beto (AB, BC, BD) y las que tienen a Dani sin Beto (AD, CD); la pareja BD, que tiene a los dos, se cuenta una sola vez. En total son AB, AD, BC, BD y CD: cinco. El único punto muestral que no sirve es AC, porque en él no aparece ninguno de los dos.
Ponte a prueba#
¿Cuáles son los resultados a favor del evento «sale un múltiplo de 3» al girar una ruleta con los números del 1 al 8, y cómo se clasifica?#
El espacio muestral está formado por los números del 1 al 8. Entre ellos, los múltiplos de 3 son 3 y 6, así que el evento es {3, 6}. Tiene dos resultados a favor, por lo que es compuesto. Además es probable: puede ocurrir, si sale 3 o 6, y puede no ocurrir, si sale cualquiera de los otros seis números.
¿Por qué el evento «sale un número menor que 9» es seguro al girar una ruleta con los números del 1 al 8?#
Porque todos los números de la ruleta, del 1 al 8, son menores que 9. Sus resultados a favor son los ocho puntos muestrales, es decir, el evento coincide con el espacio muestral completo. Cualquiera que sea el número en que se detenga la flecha, el evento ocurre, y por eso hay absoluta seguridad de que va a ocurrir.
¿Es simple o compuesto el evento «sale una corona y un escudo» al lanzar dos monedas?#
El espacio muestral de dos monedas es S = {EE, EC, CE, CC}, donde la primera letra es la primera moneda. «Una corona y un escudo» se cumple con EC y con CE, así que el evento es {EC, CE}: tiene dos puntos muestrales y es compuesto. En cambio, «salen dos coronas» es {CC}, un evento simple.
¿Qué significa que un evento sea probable en la clasificación de seguro, probable e imposible?#
Significa que puede ocurrir o no ocurrir: tiene al menos un resultado a favor, pero no todos los del espacio muestral. No quiere decir que sea muy posible. Por ejemplo, al sacar una tarjeta de diez, el evento «sale la tarjeta 14» tiene un solo resultado a favor y aun así es probable, porque puede salir o no.
¿Qué resultados a favor tiene el evento «Carla no queda escogida» si se eligen al azar dos de cuatro estudiantes, Ana, Beto, Carla y Dani?#
Sin importar el orden, las parejas posibles son AB, AC, AD, BC, BD y CD. Carla no aparece en AB, AD ni BD, así que el evento es {AB, AD, BD}, con 3 resultados a favor. Es compuesto, porque tiene más de un punto muestral, y probable, porque también puede quedar escogida Carla, como en AC.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año