En una bolsa hay doce confites del mismo tamaño y la misma forma: 4 de menta, 4 de fresa, 2 de limón y 2 de piña. Si sacas uno sin ver, ¿qué sabor tiene más posibilidades de salir? Casi todo el mundo responde «menta o fresa», y tiene razón. Lo que hace esta lección es convertir esa intuición en un número: la probabilidad clásica del evento.
La definición clásica, también llamada laplaciana, salió de preguntas sobre juegos de dados que ocuparon a varios matemáticos entre los siglos XVI y XIX.
Definición
Cuando cada punto muestral de un experimento tiene las mismas posibilidades de salir, es decir, cuando todos son igualmente probables, la probabilidad clásica de un evento A es la razón entre el número de resultados favorables a A y el número total de resultados posibles: P(A) = (resultados favorables) ÷ (resultados posibles). Es un número entre 0 y 1, que también se puede escribir como decimal o como porcentaje.
Más probable, menos probable o igualmente probable#
Para comparar eventos de un mismo experimento no hace falta ninguna fórmula: basta contar sus resultados a favor, siempre que cada punto muestral tenga las mismas posibilidades de salir. En la bolsa, cada confite es un punto muestral; como son del mismo tamaño y se saca sin ver, ninguno tiene ventaja sobre otro.
| Evento | Confites a favor | Comparación |
|---|---|---|
| M: sale menta | 4 | Igualmente probable que F |
| F: sale fresa | 4 | Igualmente probable que M |
| L: sale limón | 2 | Menos probable que M y que F |
| Q: sale piña | 2 | Igualmente probable que L |
- Un evento es más probable que otro si tiene más resultados a favor: M, con 4, es más probable que L, con 2.
- Es menos probable si tiene menos: Q es menos probable que F.
- Dos eventos son igualmente probables si tienen la misma cantidad de resultados a favor, aunque sean resultados distintos: M y F tienen 4 cada uno.
La definición clásica: casos favorables entre casos posibles#
Fórmula
P(A) = número de resultados favorables a A ÷ número total de resultados posibles
Solo vale cuando todos los resultados posibles son igualmente probables. P(A) se lee «probabilidad de A».
Ejemplo. En la bolsa de confites, ¿cuál es la probabilidad de sacar uno de menta? ¿Y uno de limón?
Solución. Hay 12 resultados posibles, uno por confite. Para menta hay 4 favorables: P(M) = 4/12 = 1/3 ≈ 0,333, cerca del 33,3 %. Para limón hay 2: P(L) = 2/12 = 1/6 ≈ 0,167, cerca del 16,7 %. La comparación de la sección anterior se ve ahora en los números: 1/3 es el doble de 1/6.
Ejemplo. Un dado con forma de dodecaedro regular tiene 12 caras numeradas del 1 al 12 y está bien equilibrado. Se lanza una vez. Calcula la probabilidad de que salga un número primo, un múltiplo de 4, un número par y un divisor de 12.
Solución. Hay 12 resultados posibles. Los primos son 2, 3, 5, 7 y 11: P = 5/12 ≈ 0,417, alrededor del 41,7 %. Los múltiplos de 4 son 4, 8 y 12: P = 3/12 = 1/4 = 0,25, el 25 %. Los pares son seis: P = 6/12 = 1/2. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, también seis: P = 1/2. «Sale par» y «sale un divisor de 12» son igualmente probables, aunque solo compartan el 2, el 4, el 6 y el 12.
Para escribir el resultado como decimal se hace la división que indica la fracción, y para pasarlo a porcentaje se multiplica ese decimal por 100. Conviene simplificar la fracción: 3/12 y 1/4 son la misma probabilidad.
Con esta definición se entienden los eventos de la lección anterior. Uno imposible no tiene resultados favorables, así que su probabilidad es 0 ÷ 12 = 0; con el dado, «sale un número mayor que 12» tiene probabilidad 0. Uno seguro tiene a favor todos los resultados: «sale un número menor que 13» tiene probabilidad 12/12 = 1. Cualquier evento probable queda entre esos dos valores.
La condición que no se puede olvidar#
La regla funciona solo si se cuentan resultados igualmente probables. Un error frecuente es contar categorías en vez de objetos.
Ejemplo. Alguien razona así: «En la bolsa hay cuatro sabores: menta, fresa, limón y piña. Limón es uno de cuatro, así que la probabilidad de limón es 1/4». ¿Dónde está el error?
Solución. El espacio muestral {menta, fresa, limón, piña} está bien escrito, pero sus puntos no son igualmente probables: hay más confites de menta que de limón. Para usar la regla hay que contar confites, no sabores. Con los 12 confites, P(limón) = 2/12 = 1/6, que es menos que 1/4.
Lo mismo pasa con una ruleta cuyos sectores no son iguales. Si la mitad del círculo es roja, un cuarto es azul y el otro cuarto es verde, no es cierto que cada color tenga probabilidad 1/3. El problema se arregla dividiendo la mitad roja en dos sectores iguales a los otros: quedan cuatro sectores igualmente probables, dos de ellos rojos, y entonces P(rojo) = 2/4 = 1/2 y P(azul) = P(verde) = 1/4.
Hay preguntas en las que no existe ninguna lista de casos con las mismas posibilidades: si lloverá mañana en tu comunidad o si un penal terminará en gol. Ahí la regla de Laplace no se puede aplicar, y en noveno año verás otra forma de obtener la probabilidad: observar muchas veces la situación y usar la frecuencia relativa.
Tener más números no siempre da más probabilidad#
Ejemplo. Ana y Beto juegan con dos dados de 4 caras (del 1 al 4) y suman los puntos. Ana gana si la suma es 2, 3, 7 u 8; Beto gana si es 4, 5 o 6. Ana piensa que lleva ventaja porque tiene cuatro sumas y Beto solo tres. ¿Tiene razón?
Solución. Hay que contar puntos muestrales, no sumas. Si los dados están bien equilibrados, los 4 · 4 = 16 pares son igualmente probables, y el cuadro muestra la suma de cada uno. A favor de Ana hay 1 par con suma 2, 2 con suma 3, 2 con suma 7 y 1 con suma 8: 6 pares. A favor de Beto hay 3 con suma 4, 4 con suma 5 y 3 con suma 6: 10 pares. Entonces P(Ana) = 6/16 = 3/8 = 37,5 % y P(Beto) = 10/16 = 5/8 = 62,5 %. Beto tiene más probabilidad de ganar.
| Primer dado (filas) / segundo dado (columnas) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Las sumas del medio aparecen muchas veces en el cuadro, porque se pueden formar de varias maneras; las de los extremos, 2 y 8, se forman de una sola. Si juegan muchas veces, lo más probable es que Beto gane más partidas, aunque en unas pocas rondas cualquier cosa puede pasar: la probabilidad no dice qué saldrá en la próxima jugada.
Un poco de historia: de los juegos de dados a Laplace#
Las primeras ideas de la teoría de la probabilidad surgieron de preguntas sobre juegos de azar. Tres momentos de esa historia, tomados del archivo MacTutor, que mantiene la Universidad de St Andrews:
- Girolamo Cardano (1501-1576), nacido en Pavía, escribió un libro sobre juegos de azar, el Liber de ludo aleae, que probablemente ya estaba terminado en 1563, aunque no se publicó sino hasta 1663. Fue uno de los primeros estudios sobre problemas como el lanzamiento de dados.
- En el verano de 1654, Blaise Pascal y Pierre de Fermat intercambiaron cinco cartas sobre problemas de dados, entre ellos el llamado «problema de los puntos»: cómo repartir el dinero apostado cuando un juego se interrumpe antes de terminar. Con esas cartas, Pascal sentó, junto con Fermat, las bases de la teoría de la probabilidad.
- El francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) incluyó su definición de probabilidad en la Théorie analytique des probabilités, de 1812, y la expuso de nuevo en el Essai philosophique sur les probabilités, de 1814, que salió de un curso que dio en 1795. Allí dice que hay que reducir los acontecimientos a casos igualmente posibles y que la probabilidad es una fracción: los casos favorables en el numerador y todos los casos posibles en el denominador.
Por eso el programa del MEP llama a esta definición clásica o laplaciana. Laplace no se quedó en los juegos: su ensayo trata también aplicaciones a la filosofía natural, a los testimonios, a las decisiones judiciales y a la mortalidad. Una herramienta pensada para repartir apuestas terminó sirviendo para estudiar problemas muy serios, y esa es una buena razón para valorar su historia.
Ponte a prueba#
¿Cuál es la probabilidad de sacar sin ver un lapicero rojo de una caja con 8 azules, 7 negros y 5 rojos?#
Los 20 lapiceros son los resultados posibles y, si son iguales salvo por el color, son igualmente probables. Hay 5 rojos, así que P(rojo) = 5/20 = 1/4 = 0,25, es decir, el 25 %. El azul es el color más probable, con 8/20 = 2/5 = 40 %, y el negro queda en medio, con 7/20 = 35 %.
¿Es más probable obtener dos coronas o una corona y un escudo al lanzar dos monedas?#
Si las monedas están bien equilibradas y se distingue la primera de la segunda, el espacio muestral tiene cuatro puntos igualmente probables: EE, EC, CE y CC. «Dos coronas» solo tiene a favor CC, así que su probabilidad es 1/4. «Una corona y un escudo» tiene a favor EC y CE, y su probabilidad es 2/4 = 1/2. Es más probable obtener una de cada, el doble de probable que dos coronas.
¿Por qué no es correcto decir que en una ruleta con un sector rojo que ocupa medio círculo la probabilidad de rojo es 1/3, si solo hay tres colores?#
Porque la definición clásica exige que los resultados contados sean igualmente probables, y aquí no lo son: el sector rojo es más grande que cada uno de los otros dos. Si la mitad es roja y cada uno de los otros colores ocupa un cuarto, la ruleta equivale a cuatro sectores iguales, dos rojos, y la probabilidad de rojo es 2/4 = 1/2.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una vocal si cada letra de la palabra PROBABILIDAD se escribe en una tarjeta y se saca una al azar?#
La palabra tiene 12 letras, así que hay 12 tarjetas igualmente probables. Las vocales son O, A, I, I y A: 5 tarjetas. La probabilidad es 5/12 ≈ 0,417, alrededor del 41,7 %. Además, sacar B, sacar I, sacar D y sacar A son eventos igualmente probables, porque cada una de esas letras aparece dos veces: 2/12 = 1/6.
¿Por qué la definición clásica de probabilidad se llama también laplaciana y en qué obras la presentó Laplace?#
Se llama así por el matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827). La incluyó en su Théorie analytique des probabilités, de 1812, y la explicó de nuevo en el Essai philosophique sur les probabilités, de 1814: la probabilidad es la fracción que tiene en el numerador los casos favorables y en el denominador todos los casos posibles, siempre que esos casos sean igualmente posibles.
Fuentes#
- Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)
- MacTutor History of Mathematics (Universidad de St Andrews) — Pierre-Simon Laplace
- MacTutor History of Mathematics (Universidad de St Andrews) — Laplace: Essay on probabilities
- MacTutor History of Mathematics (Universidad de St Andrews) — Blaise Pascal
- MacTutor History of Mathematics (Universidad de St Andrews) — Girolamo Cardano
También en Matemáticas 8ºOctavo año