Cómo resolver ecuaciones de primer grado, fraccionarias y literales

Ya sabes qué es una ecuación y cómo se pasa de una ecuación a otra equivalente sumando, restando, multiplicando o dividiendo lo mismo en los dos miembros. Ahora toca usar esas herramientas para resolver ecuaciones de primer grado más largas: con paréntesis, con fracciones, con la incógnita en un denominador y con varias letras. Aunque se vean complicadas, todas se resuelven con la misma idea: transformar la ecuación, paso a paso, hasta dejar sola la incógnita.

Hay además dos casos especiales: ecuaciones que no tienen ninguna solución y ecuaciones que tienen infinitas soluciones.

Definición

Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la cumplen. Ese conjunto de valores se llama conjunto solución. En una ecuación que se reduce a una de primer grado, el conjunto solución puede tener un solo número, ninguno (se escribe S = ∅) o infinitos números.

El método general, paso a paso#

Si hay paréntesis, se eliminan con la propiedad distributiva.
Si hay fracciones, se multiplican los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
Se reúnen los términos con incógnita en un miembro y los números en el otro, sumando o restando lo mismo a los dos lados.
Se dividen los dos miembros entre el coeficiente de la incógnita.
Se comprueba la solución en la ecuación original.

Ejemplo. Resuelve 9x − 4 = 5x + 16.

Solución. Se resta 5x a los dos miembros: 4x − 4 = 16. Se suma 4: 4x = 20. Se divide entre 4: x = 5. Comprobación: 9 · 5 − 4 = 41 y 5 · 5 + 16 = 41.

Ejemplo. Resuelve 3(2x − 5) = 4(x + 1) − 7.

Solución. Se quitan los paréntesis: 6x − 15 = 4x + 4 − 7, es decir, 6x − 15 = 4x − 3. Se resta 4x: 2x − 15 = −3. Se suma 15: 2x = 12. Se divide entre 2: x = 6. Comprobación: 3(12 − 5) = 21 y 4 · 7 − 7 = 21.

Ejemplo. Resuelve 5 − 2(x + 3) = 4x.

Solución. El −2 multiplica a los dos términos del paréntesis: 5 − 2x − 6 = 4x, es decir, −1 − 2x = 4x. Se suma 2x: −1 = 6x. Se divide entre 6: x = −1/6. Comprobación: −1/6 + 3 = 17/6, y 5 − 2 · 17/6 = 5 − 17/3 = −2/3; del otro lado, 4 · (−1/6) = −2/3. La solución es una fracción negativa, y eso está bien.

Ecuaciones con fracciones y decimales#

Cuando hay denominadores numéricos, lo más cómodo es eliminarlos: se multiplican los dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Como ese número no es cero, la ecuación nueva es equivalente a la original.

Ejemplo. Resuelve x/3 + x/4 = 14.

Solución. El mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12. Al multiplicar los dos miembros por 12: 4x + 3x = 168. Entonces 7x = 168 y x = 24. Comprobación: 24/3 + 24/4 = 8 + 6 = 14.

Ejemplo. Resuelve (2x − 1)/5 − (x + 2)/3 = 1.

Solución. El mínimo común múltiplo de 5 y 3 es 15. Al multiplicar por 15: 3(2x − 1) − 5(x + 2) = 15. El signo menos que va delante de la segunda fracción afecta a todo su numerador, por eso se escribe −5(x + 2). Queda 6x − 3 − 5x − 10 = 15, es decir, x − 13 = 15, y x = 28. Comprobación: (56 − 1)/5 = 11, (28 + 2)/3 = 10 y 11 − 10 = 1.

Ejemplo. Resuelve 0,2x + 1,5 = 0,7x − 1.

Solución. Los decimales se tratan igual que las fracciones: al multiplicar los dos miembros por 10 se vuelven enteros. Queda 2x + 15 = 7x − 10. Se resta 2x y se suma 10: 25 = 5x, así que x = 5. Comprobación: 0,2 · 5 + 1,5 = 2,5 y 0,7 · 5 − 1 = 2,5.

Ecuaciones fraccionarias: la incógnita en el denominador#

Una ecuación fraccionaria tiene la incógnita en algún denominador. Antes de empezar se anotan los valores prohibidos, que son los que anulan un denominador, porque no se puede dividir entre cero. Después se multiplican los dos miembros por los denominadores para quitarlos y queda una ecuación de primer grado. Al final se revisa que la solución no sea un valor prohibido.

Ejemplo. Resuelve (x + 4)/(x − 2) = 3.

Solución. Valor prohibido: x = 2. Se multiplican los dos miembros por x − 2: x + 4 = 3(x − 2), o sea, x + 4 = 3x − 6. Se resta x y se suma 6: 10 = 2x, así que x = 5, que no es el valor prohibido. Comprobación: (5 + 4)/(5 − 2) = 9/3 = 3.

Ejemplo. Resuelve (2x + 1)/(x + 3) = 5/4.

Solución. Valor prohibido: x = −3. Se multiplica en cruz, que equivale a multiplicar los dos miembros por 4(x + 3): 4(2x + 1) = 5(x + 3). Queda 8x + 4 = 5x + 15, luego 3x = 11 y x = 11/3. Comprobación: el numerador vale 22/3 + 1 = 25/3 y el denominador, 11/3 + 3 = 20/3; su cociente es 25/20 = 5/4.

Ejemplo. Resuelve 2x/(x − 3) = 6/(x − 3).

Solución. Valor prohibido: x = 3. Al multiplicar por x − 3 queda 2x = 6, y x = 3. Pero ese es justamente el valor prohibido: con x = 3 los dos denominadores valen 0 y la ecuación no tiene sentido. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución: S = ∅.

Ecuaciones sin solución y con infinitas soluciones#

A veces, al reducir, la incógnita desaparece de los dos miembros. Entonces lo que queda decide el caso.

Ejemplo. Resuelve 4(x − 1) + 2 = 4x − 7.

Solución. Se quitan los paréntesis: 4x − 4 + 2 = 4x − 7, es decir, 4x − 2 = 4x − 7. Al restar 4x queda −2 = −7, que es falso. Ningún número cumple la ecuación: no tiene solución, S = ∅.

Ejemplo. Resuelve 3(2x + 1) − x = 5x + 3.

Solución. Se quitan los paréntesis: 6x + 3 − x = 5x + 3, es decir, 5x + 3 = 5x + 3. Al restar 5x queda 3 = 3, que es cierto siempre. Cualquier número es solución, así que la ecuación tiene infinitas soluciones: es una identidad. Por ejemplo, con x = 2, el primer miembro da 3 · 5 − 2 = 13 y el segundo, 10 + 3 = 13.

Al final queda…	Ejemplo	Conjunto solución
x = un número	x = 6	Un solo número
Una igualdad falsa sin incógnita	−2 = −7	Vacío: S = ∅
Una igualdad verdadera sin incógnita	3 = 3	Infinitas soluciones

Ecuaciones literales: despejar una letra#

Una ecuación literal tiene varias letras. Resolverla para una de ellas, o despejarla, es dejar esa letra sola en un miembro; las demás letras se tratan como si fueran números conocidos. Se usan las mismas operaciones que en cualquier ecuación, con un cuidado extra: no dividir entre una letra o expresión que pueda valer cero.

Ejemplo. El perímetro de un rectángulo es P = 2b + 2h, donde b es la base y h la altura. Despeja b.

Solución. Se resta 2h a los dos miembros: P − 2h = 2b. Se dividen entre 2: b = (P − 2h)/2. Si un rectángulo tiene 30 cm de perímetro y 6 cm de altura, su base mide (30 − 12)/2 = 9 cm.

Ejemplo. El área de un triángulo es A = b · h/2. Despeja h.

Solución. Se multiplican los dos miembros por 2: 2A = b · h. Se dividen entre b, que no es cero porque es la medida de un lado: h = 2A/b. Si un triángulo tiene 42 cm² de área y 12 cm de base, su altura es 2 · 42/12 = 7 cm.

Ejemplo. Un taxi cobra un monto fijo b al subir y una tarifa k por cada kilómetro, así que un viaje de d kilómetros cuesta C = b + k · d. Despeja d. ¿Cuántos kilómetros se recorrieron si b = ₡700, k = ₡650 y el viaje costó ₡5 900? Las tarifas son de ejercicio, no las oficiales.

Solución. Se resta b a los dos miembros: C − b = k · d. Se dividen entre k, que no es cero: d = (C − b)/k. Con los datos, d = (5900 − 700)/650 = 5200/650 = 8 km. Comprobación: 700 + 650 · 8 = 700 + 5200 = 5900. Con la fórmula despejada se puede responder cualquier pregunta parecida sin volver a plantear la ecuación.

Ejemplo. Despeja x en ax + b = c, con a ≠ 0.

Solución. Se resta b a los dos miembros: ax = c − b. Se dividen entre a, que no es cero: x = (c − b)/a. Esta fórmula resuelve de una vez todas las ecuaciones de esa forma. Por ejemplo, en 4x + 7 = 31, x = (31 − 7)/4 = 6.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la solución de 2(3x − 1) = 5x + 9?#

Primero se quita el paréntesis: 6x − 2 = 5x + 9. Se resta 5x a los dos miembros: x − 2 = 9. Se suma 2: x = 11. Para comprobar se sustituye en la ecuación original: 2(3 · 11 − 1) = 2 · 32 = 64 y 5 · 11 + 9 = 64. Los dos miembros coinciden, así que la solución es x = 11.

¿Cómo se resuelve la ecuación x/2 − x/5 = 9?#

Se eliminan los denominadores multiplicando los dos miembros por 10, que es el mínimo común múltiplo de 2 y 5: 5x − 2x = 90. Se reduce: 3x = 90, y al dividir entre 3, x = 30. Comprobación: 30/2 − 30/5 = 15 − 6 = 9, que es el segundo miembro.

¿Qué solución tiene (3x − 1)/(x + 1) = 2 y por qué hay que mirar el denominador?#

El denominador se anula con x = −1, así que ese valor está prohibido. Se multiplican los dos miembros por x + 1: 3x − 1 = 2(x + 1) = 2x + 2. Se resta 2x y se suma 1: x = 3. No es el valor prohibido, así que sirve. Comprobación: (9 − 1)/(3 + 1) = 8/4 = 2. Si hubiera salido x = −1, la ecuación no tendría solución.

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2(x + 5) = 2x + 1?#

Ninguna. Al quitar el paréntesis queda 2x + 10 = 2x + 1, y al restar 2x a los dos miembros queda 10 = 1, que es falso. Como la incógnita desapareció y quedó una igualdad falsa, ningún número puede cumplir la ecuación. Su conjunto solución es vacío: S = ∅.

¿Cómo se despeja x en ax − 5 = bx + 7 y qué condición tienen que cumplir a y b?#

Se reúnen los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo: ax − bx = 7 + 5, es decir, x(a − b) = 12. Para dejar sola la x se divide entre a − b, y eso solo se puede si a − b no es cero, o sea, si a ≠ b: x = 12/(a − b). Con a = 5 y b = 2, x = 12/3 = 4, y se comprueba: 5 · 4 − 5 = 15 y 2 · 4 + 7 = 15. Si a = b, la x desaparece y queda −5 = 7, que es falso: no hay solución.