Mínimo común múltiplo y máximo común divisor: cómo calcularlos

Q: ¿Cuál es el MCM de 18 y 30?

Se descomponen los números: 18 = 2 · 32 y 30 = 2 · 3 · 5. Para el MCM se toman todos los primos que aparecen, 2, 3 y 5, con su mayor exponente: 2, 32 y 5. Entonces MCM(18, 30) = 2 · 9 · 5 = 90. Se comprueba que 90 ÷ 18 = 5 y 90 ÷ 30 = 3 son divisiones exactas.

Q: ¿Cuál es el MCM de 9 y 20, si su MCD es 1?

9 = 32 y 20 = 22 · 5 no comparten ningún factor primo; por eso su MCD es 1 y son primos entre sí. En ese caso el MCM se obtiene al multiplicar los dos números, porque hay que tomar todos los factores de ambos: MCM(9, 20) = 9 · 20 = 180. Coincide con la comprobación MCD · MCM = 1 · 180 = 9 · 20.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Térraba (Sétimo año) Lección 4 de 11

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 9 min de lectura

Dos rutas de bus que salen de la misma terminal con distinta frecuencia, unas flores que se quieren repartir en ramos iguales, un terreno que se divide en parcelas cuadradas: muchos problemas cotidianos se resuelven con dos herramientas de la teoría de números, el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD).

En esta lección vas a aprender a obtener el MCM y el MCD de dos números con la descomposición en factores primos, a reconocer cuál de los dos pide un problema y a resolver problemas con ellos. Para seguirla conviene tener claros los conceptos de múltiplo, divisor y número primo.

Definición

Dados dos números naturales distintos de cero, su mínimo común múltiplo (MCM) es el menor número distinto de cero que es múltiplo de los dos, y su máximo común divisor (MCD) es el mayor número que es divisor de los dos.

Múltiplos comunes y divisores comunes#

La forma más directa de entender estos conceptos es hacer listas. Estos son los primeros múltiplos de 6 y de 8, sin contar el 0:

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54…
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56…

Los múltiplos comunes son 24, 48, 72… y el menor de ellos es 24. Entonces MCM(6, 8) = 24. Ahora, los divisores de 18 y de 24:

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6, y el mayor es 6. Entonces MCD(18, 24) = 6. Las listas funcionan bien con números pequeños, pero con números grandes se vuelven largas y es fácil equivocarse. Para eso está el algoritmo con la descomposición en factores primos.

Cómo obtener el MCM con la descomposición en factores primos#

Descompón cada número en factores primos y escríbelos con notación exponencial.
Toma todos los factores primos que aparecen, comunes y no comunes.
De cada factor, toma la potencia con el mayor exponente.
Multiplica esas potencias: el producto es el MCM.

Ejemplo. Calcula el MCM de 60 y 72.

Solución. Las descomposiciones son 60 = 2² · 3 · 5 y 72 = 2³ · 3². Los primos que aparecen son 2, 3 y 5. Con el mayor exponente de cada uno quedan 2³, 3² y 5. Entonces MCM(60, 72) = 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360.

La descomposición simultánea#

También se pueden descomponer los dos números a la vez, en una sola tabla. Se divide entre un primo que divida por lo menos a uno de los números; el que no sea divisible se copia igual en la fila de abajo. Se sigue hasta que los dos queden en 1. El MCM es el producto de todos los primos de la columna derecha.

Primer número	Segundo número	Se divide entre
60	72	2
30	36	2
15	18	2
15	9	3
5	3	3
5	1	5
1	1

Los primos usados son 2, 2, 2, 3, 3 y 5, y su producto es 2³ · 3² · 5 = 360, el mismo resultado.

Cómo obtener el MCD con la descomposición en factores primos#

Descompón cada número en factores primos.
Toma solo los factores primos que aparecen en los dos números, es decir, los comunes.
De cada uno, toma la potencia con el menor exponente.
Multiplica esas potencias: el producto es el MCD.

Ejemplo. Calcula el MCD de 60 y 72.

Solución. Con 60 = 2² · 3 · 5 y 72 = 2³ · 3², los primos comunes son 2 y 3; el 5 solo está en el 60. Con el menor exponente quedan 2² y 3. Entonces MCD(60, 72) = 2² · 3 = 12.

En la tabla simultánea, para el MCD solo se divide entre primos que dividan a los dos números a la vez, y se termina cuando ya no hay un primo común. Con 60 y 72: entre 2 dan 30 y 36; entre 2 otra vez, 15 y 18; entre 3, 5 y 6. El 5 y el 6 no tienen ningún primo común, así que ahí se detiene. El MCD es 2 · 2 · 3 = 12.

Números primos entre sí#

Si dos números no tienen ningún factor primo común, su MCD es 1 y se dice que son primos entre sí. Por ejemplo, 8 = 2³ y 15 = 3 · 5 no comparten factores: MCD(8, 15) = 1 y MCM(8, 15) = 8 · 15 = 120. Ni el 8 ni el 15 son primos, pero sí son primos entre sí.

Una comprobación útil#

Para dos números, el MCD multiplicado por el MCM es igual al producto de los dos números. Con 60 y 72: 12 · 360 = 4320 y 60 · 72 = 4320. Si al comprobar no se cumple, hay un error en alguno de los dos cálculos.

¿El problema pide el MCM o el MCD?#

Antes de calcular hay que reconocer qué pide el problema. Estas pistas ayudan:

Pista	MCM	MCD
Qué se busca	La próxima vez que coinciden dos ciclos que se repiten, o la menor cantidad que se puede agrupar de dos formas	El mayor tamaño de grupo, pieza o paquete para repartir sin que sobre nada
Expresiones frecuentes	«volver a coincidir», «al mismo tiempo», «la menor cantidad»	«lo más grande posible», «la mayor cantidad», «en partes iguales»
Tamaño del resultado	Mayor o igual que el mayor de los dos números	Menor o igual que el menor de los dos números

Las dos herramientas aparecen también con las fracciones. El MCM de los denominadores es el menor denominador común para sumar o restar fracciones heterogéneas, y al dividir el numerador y el denominador entre su MCD una fracción se simplifica en un solo paso: como MCD(36, 48) = 12, se obtiene 36/48 = 3/4.

Problemas resueltos con el MCM#

Ejemplo. De una terminal salen dos rutas de bus a las 6:00 a. m. La primera sale cada 12 minutos y la segunda, cada 18 minutos. ¿A qué hora vuelven a salir juntas?

Solución. La primera ruta sale cada vez que pasa un múltiplo de 12 minutos, y la segunda, cada vez que pasa un múltiplo de 18. Vuelven a coincidir en el menor múltiplo común: 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3², así que MCM(12, 18) = 2² · 3² = 36. Salen juntas otra vez 36 minutos después, a las 6:36 a. m.

Ejemplo. Se apilan cajas de 15 cm de alto en una columna y cajas de 20 cm de alto en otra. ¿Cuál es la menor altura a la que las dos columnas quedan iguales, y cuántas cajas lleva cada una?

Solución. La altura de cada columna es un múltiplo de la altura de sus cajas, así que se busca el MCM. Como 15 = 3 · 5 y 20 = 2² · 5, MCM(15, 20) = 2² · 3 · 5 = 60. Las columnas se igualan a los 60 cm: la primera con 60 ÷ 15 = 4 cajas y la segunda con 60 ÷ 20 = 3 cajas.

Problemas resueltos con el MCD#

Ejemplo. Una floristería tiene 48 rosas y 36 girasoles, y quiere armar la mayor cantidad posible de ramos iguales sin que sobre ninguna flor. ¿Cuántos ramos arma y cuántas flores de cada tipo lleva cada ramo?

Solución. La cantidad de ramos tiene que dividir a 48 y a 36, y se quiere la mayor posible: es el MCD. Como 48 = 2⁴ · 3 y 36 = 2² · 3², MCD(48, 36) = 2² · 3 = 12. Se arman 12 ramos, cada uno con 48 ÷ 12 = 4 rosas y 36 ÷ 12 = 3 girasoles.

Ejemplo. Un terreno rectangular de 84 m por 60 m se va a dividir en parcelas cuadradas iguales, lo más grandes posible, sin que sobre terreno. ¿Cuánto mide el lado de cada parcela y cuántas parcelas salen?

Solución. El lado de los cuadrados tiene que caber un número exacto de veces en 84 y en 60, y debe ser el mayor posible: es el MCD. Como 84 = 2² · 3 · 7 y 60 = 2² · 3 · 5, MCD(84, 60) = 2² · 3 = 12. Cada parcela mide 12 m de lado. A lo largo caben 84 ÷ 12 = 7 parcelas y a lo ancho, 60 ÷ 12 = 5, así que salen 7 · 5 = 35 parcelas.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el MCM de 18 y 30?#

Se descomponen los números: 18 = 2 · 3² y 30 = 2 · 3 · 5. Para el MCM se toman todos los primos que aparecen, 2, 3 y 5, con su mayor exponente: 2, 3² y 5. Entonces MCM(18, 30) = 2 · 9 · 5 = 90. Se comprueba que 90 ÷ 18 = 5 y 90 ÷ 30 = 3 son divisiones exactas.

¿Cuál es el MCD de 42 y 70?#

Se descomponen: 42 = 2 · 3 · 7 y 70 = 2 · 5 · 7. Los primos comunes son 2 y 7 (el 3 y el 5 no se repiten), y los dos aparecen con exponente 1. Entonces MCD(42, 70) = 2 · 7 = 14. Se comprueba: 42 ÷ 14 = 3 y 70 ÷ 14 = 5, y 3 y 5 ya no tienen divisores comunes aparte del 1.

¿Dentro de cuántos segundos vuelven a coincidir dos semáforos que acaban de ponerse en verde a la vez, si uno se pone en verde cada 45 segundos y el otro cada 60?#

Se busca la próxima vez que coinciden dos ciclos, así que es un problema de MCM. Como 45 = 3² · 5 y 60 = 2² · 3 · 5, MCM(45, 60) = 2² · 3² · 5 = 180. Vuelven a ponerse en verde juntos dentro de 180 segundos, es decir, 3 minutos.

¿Cuántas bolsitas iguales puede armar una docente con 54 lápices y 72 borradores, si quiere la mayor cantidad posible sin que sobre nada, y qué lleva cada bolsita?#

Hay que repartir en partes iguales con la mayor cantidad de bolsitas posible, así que es un problema de MCD. Como 54 = 2 · 3³ y 72 = 2³ · 3², MCD(54, 72) = 2 · 3² = 18. Arma 18 bolsitas, cada una con 54 ÷ 18 = 3 lápices y 72 ÷ 18 = 4 borradores.

¿Cuál es el MCM de 9 y 20, si su MCD es 1?#

9 = 3² y 20 = 2² · 5 no comparten ningún factor primo; por eso su MCD es 1 y son primos entre sí. En ese caso el MCM se obtiene al multiplicar los dos números, porque hay que tomar todos los factores de ambos: MCM(9, 20) = 9 · 20 = 180. Coincide con la comprobación MCD · MCM = 1 · 180 = 9 · 20.