Ángulos adyacentes, opuestos, complementarios y suplementarios

Cuando abres la tapa de una computadora portátil, la pantalla y el teclado forman un ángulo. Cuando abres unas tijeras, las dos hojas forman otro, y si las abres a tope, casi se alinean. Los ángulos aparecen en bisagras, en ventanas, en escaleras y en las esquinas de cualquier cuarto, y tienen un vocabulario propio para describir cómo se relacionan unos con otros.

En esta lección vas a reconocer ángulos llanos, adyacentes, pares lineales y opuestos por el vértice; a distinguir los que son congruentes, complementarios o suplementarios; y a usar esas relaciones para encontrar medidas desconocidas, incluso cuando tres rectas se juntan en un mismo punto. Se mide en grados (°), con una vuelta completa igual a 360°.

Ángulo llano y ángulos adyacentes#

Si tomas un lápiz sobre un papel y lo giras hasta el lado opuesto, habrás recorrido un ángulo llano: media vuelta, 180°. Cuando una semirrecta sale de un punto de una recta (si necesitas repasar qué es una semirrecta o un rayo, está en otra lección), divide ese ángulo llano en dos ángulos. Esos dos ángulos son adyacentes: comparten el vértice y un lado, y sus interiores no se montan uno sobre otro.

Cuando los lados no compartidos de dos ángulos adyacentes quedan en una misma recta, se dice que los dos forman un par lineal. Un par lineal siempre suma un ángulo llano, es decir, 180°. En cambio, dos ángulos adyacentes cualesquiera, sin importar si forman o no una recta, pueden sumar menos o más.

Relación	Qué comparten	Qué suman o cuánto miden
Adyacentes	Vértice y un lado; sin interior común	Pueden sumar cualquier valor
Par lineal	Son adyacentes y sus lados libres forman una recta	180° (son suplementarios)
Opuestos por el vértice	Solo el vértice; se forman al cortarse dos rectas	Miden lo mismo (son congruentes)
Complementarios	Nada necesariamente	Suman 90°
Suplementarios	Nada necesariamente	Suman 180°

Opuestos por el vértice#

Imagina dos calles rectas que se cruzan en una esquina, y llama O al punto del cruce. Las dos calles forman cuatro ángulos alrededor de O. Los dos ángulos que se miran de frente, sin compartir ningún lado, son opuestos por el vértice. Los que quedan uno al lado del otro forman un par lineal.

¿Por qué los opuestos por el vértice miden lo mismo? Llámalos a y c, y a uno de los ángulos que están entre ellos, b. Entonces a + b = 180° y b + c = 180°, porque cada pareja es un par lineal. De las dos igualdades se deduce que a + b = b + c, y al quitar b de los dos lados queda a = c. La explicación sirve para cualquier medida y no depende de dibujar con transportador.

Ejemplo. Dos rectas se cortan y uno de los ángulos mide 37°. ¿Cuánto miden los otros tres?

Solución. El opuesto por el vértice también mide 37°. Los otros dos forman un par lineal con el ángulo de 37°, así que miden 180° − 37° = 143° cada uno, y son congruentes entre sí por ser opuestos por el vértice. Comprobación: 37 + 143 + 37 + 143 = 360°, una vuelta completa.

Congruentes, complementarios y suplementarios#

Para hallar el complemento de un ángulo se resta su medida a 90°, y para hallar el suplemento se resta a 180°. Un ángulo de 90° es un ángulo recto: la esquina de una hoja de papel o de un marco de puerta. Dos ángulos complementarios pueden estar separados: los dos ángulos agudos de una escuadra de dibujo suman 90° y son complementarios, aunque estén en vértices distintos.

Medida del ángulo	Su complemento (90° − x)	Su suplemento (180° − x)
28°	62°	152°
64,5°	25,5°	115,5°
90°	0° (no existe como ángulo)	90°
112°	No tiene (supera 90°)	68°

Fíjate en la última fila: solo los ángulos menores de 90° tienen complemento. Todo ángulo menor de 180° tiene suplemento. Y otra consecuencia importante: los complementos de ángulos congruentes son congruentes, y lo mismo vale para los suplementos. Si dos ángulos miden lo mismo, sus complementos también miden lo mismo.

Ejemplo. La bisagra de una ventana de aluminio se abre y forma con el marco un ángulo de 53°. ¿Cuántos grados falta abrirla para llegar a un ángulo recto? ¿Y para llegar a quedar extendida, es decir, alineada con el marco?

Solución. Para llegar a 90° faltan 90° − 53° = 37°, el complemento. Para quedar extendida, en ángulo llano, faltan 180° − 53° = 127°, el suplemento.

Ejemplo. Dos ángulos son suplementarios y el mayor mide el cuádruple que el menor. ¿Cuánto mide cada uno?

Solución. Si el menor mide x, el mayor mide 4x, y x + 4x = 180°. Entonces 5x = 180°, así que x = 36° y el mayor mide 144°. Comprobación: 144 = 4 · 36 y 36 + 144 = 180.

Ejemplo. Dos ángulos complementarios miden (2x + 10)° y (3x − 5)°. Halla x y las dos medidas.

Solución. Como suman 90°: (2x + 10) + (3x − 5) = 90, entonces 5x + 5 = 90 y x = 17. Los ángulos miden 2 · 17 + 10 = 44° y 3 · 17 − 5 = 46°, y 44 + 46 = 90.

Ejemplo. Dos ángulos opuestos por el vértice miden (4x − 12)° y (2x + 30)°. ¿Cuánto mide cada uno y cuánto mide un ángulo adyacente a ellos?

Solución. Opuestos por el vértice son congruentes: 4x − 12 = 2x + 30, entonces 2x = 42 y x = 21. Cada ángulo mide 4 · 21 − 12 = 72° (y 2 · 21 + 30 = 72°). Cualquier adyacente forma un par lineal con uno de ellos: 180° − 72° = 108°.

Tres rectas concurrentes en un punto#

Si tres rectas distintas se cortan en el mismo punto O, forman seis ángulos alrededor de él. Para describirlos, recorre la vuelta completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y llama α, β y γ a tres ángulos seguidos que, juntos, ocupan media vuelta, desde una semirrecta hasta la semirrecta opuesta. Los otros tres ángulos son opuestos por el vértice de estos, y por eso miden α, β y γ también.

Ejemplo. Tres caminos rectos de una finca, p, q y r, se cruzan en un mismo punto. Dos ángulos consecutivos entre ellos miden 48° y 64°. ¿Cuánto miden los otros cuatro ángulos?

Solución. Media vuelta suma 180°, así que el tercer ángulo de ese grupo mide 180° − 48° − 64° = 68°. Los otros tres son los opuestos por el vértice: 48°, 64° y 68°. Los seis ángulos son 48°, 64°, 68°, 48°, 64° y 68°, que suman 360°.

Ejemplo. Tres rectas concurren en O. Tres ángulos consecutivos miden (x + 20)°, (2x − 10)° y (3x − 22)°, y juntos forman un ángulo llano. Halla x y las medidas.

Solución. Suman 180°: x + 20 + 2x − 10 + 3x − 22 = 180, es decir, 6x − 12 = 180, y x = 32. Los ángulos son 52°, 54° y 74°, que suman 180°.

Un plan para resolver problemas de ángulos#

1. Haz un croquis y marca los datos conocidos, aunque el dibujo no quede a escala.
2. Busca la relación que une los ángulos: ¿forman un par lineal (180°), son opuestos por el vértice (iguales), son complementarios (90°) o completan una vuelta (360°)?
3. Escribe una ecuación con esa relación y resuélvela.
4. Comprueba: ¿las medidas encontradas son positivas y respetan todas las condiciones?

El paso 4 salva de muchos errores. Si un ángulo te sale de 0° o negativo, o si dos ángulos que deben sumar 180° no lo hacen, algo falló en la ecuación o en el tipo de relación que escogiste.

Ejemplo. Una persona dice: «Mis dos ángulos son suplementarios y ambos miden 100°». ¿Puede ser cierto?

Solución. No. Si fueran suplementarios, su suma sería 180° y 100° + 100° = 200°. Dos ángulos suplementarios congruentes miden 90° cada uno.

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo de 119°, y cuánto el complemento de uno de 27,5°?#

¿Por qué dos ángulos opuestos por el vértice siempre son congruentes?#

¿Cuánto miden dos ángulos suplementarios si uno mide 20° más que el otro?#

¿Es posible que dos ángulos sean complementarios y adyacentes? ¿Y que sean complementarios y no adyacentes?#

¿Cuánto mide cada ángulo si tres ángulos consecutivos forman un ángulo llano y miden x°, 2x° y 3x°?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)