Cuadriláteros: suma de ángulos y cálculo de áreas

Una puerta, una cancha de baloncesto, una cometa de papel, la fachada de un taller con techo inclinado: los cuadriláteros están por todas partes, y a menudo se necesita saber dos cosas sobre ellos. ¿Cuánto mide el ángulo que falta? ¿Cuánta superficie cubren, por ejemplo, para pintar, sembrar o enchapar?

Aquí vas a repasar los tipos de cuadriláteros, a usar lo que suman sus ángulos de adentro y de afuera, a calcular áreas con fórmulas que se pueden justificar cortando figuras y a resolver problemas que combinan ángulos, triángulos y áreas. Al final verás cómo un programa de geometría dinámica ayuda a comprobar todo esto moviendo los vértices.

Los cuadriláteros más usados#

Cuadrilátero	Cómo se reconoce	Propiedades útiles
Paralelogramo	Dos pares de lados opuestos paralelos	Lados opuestos iguales; ángulos opuestos iguales; ángulos vecinos suplementarios
Rectángulo	Paralelogramo con cuatro ángulos rectos	Las dos diagonales miden lo mismo
Rombo	Paralelogramo con los cuatro lados iguales	Las diagonales se cortan en ángulo recto
Cuadrado	Rectángulo y rombo a la vez	Tiene todas las propiedades anteriores
Trapecio	Exactamente un par de lados paralelos (las bases)	Los ángulos en un lado no paralelo suman 180°
Cometa (deltoide)	Dos pares de lados iguales y consecutivos	Las diagonales son perpendiculares

Cuidado con el trapecio: el programa del MEP reparte los cuadriláteros que no son paralelogramos en trapecios, que tienen lados paralelos, y trapezoides, que no los tienen. Por eso aquí el trapecio tiene exactamente un par de lados paralelos, sus bases, y un paralelogramo no se cuenta como trapecio. Si es isósceles, sus lados no paralelos son iguales y los ángulos de cada base también lo son.

La suma de los ángulos internos: 360°#

Si trazas una diagonal en un cuadrilátero convexo, lo partes en dos triángulos. Cada triángulo tiene ángulos internos que suman 180° y, entre los dos, ocupan exactamente los cuatro ángulos del cuadrilátero, sin que sobre ni falte ninguno. Entonces la suma de los ángulos del cuadrilátero es dos veces 180°.

Ejemplo. Tres ángulos de un cuadrilátero miden 85°, 112° y 94°. ¿Cuánto mide el cuarto?

Solución. 85 + 112 + 94 = 291, y 360° − 291° = 69°.

Ejemplo. Los ángulos de un cuadrilátero están en la razón 2 : 3 : 3 : 4. Halla cada uno.

Solución. En total hay 2 + 3 + 3 + 4 = 12 partes, que suman 360°, así que cada parte vale 30°. Los ángulos miden 60°, 90°, 90° y 120°.

Ejemplo. En un trapecio ABCD, con la base AB paralela a la base CD, el ángulo A mide 72°. Si el trapecio es isósceles, halla los otros tres ángulos.

Solución. Los ángulos A y D están en un mismo lado no paralelo, así que suman 180°: D = 180° − 72° = 108°. En el isósceles, B = A = 72° y C = D = 108°. Comprobación: 72 + 72 + 108 + 108 = 360°.

Ejemplo. Un paralelogramo tiene un ángulo de 64°. ¿Cuánto miden los otros tres?

Solución. El ángulo opuesto también mide 64°. Cada uno de los otros dos es suplementario de 64°: 180° − 64° = 116°. Comprobación: 64 + 64 + 116 + 116 = 360°.

La suma de los ángulos externos: también 360°#

Recorre el contorno del cuadrilátero y, en cada vértice, alarga el lado por el que llegas, sin cambiar nunca de rumbo al girar: aparece un ángulo externo por vértice. Cada ángulo externo forma un par lineal con su ángulo interno, así que externo = 180° − interno. Al sumar los cuatro:

Esto tiene sentido si piensas en caminar por el borde de una parcela: en cada esquina giras un poco, y al terminar la vuelta has girado en total 360°, porque regresas mirando en la misma dirección en que empezaste.

Ejemplo. Tres ángulos externos de un cuadrilátero miden 70°, 95° y 88°. ¿Cuánto mide el cuarto externo y cuánto miden los cuatro ángulos internos?

Solución. 70 + 95 + 88 = 253, y 360° − 253° = 107° es el cuarto externo. Los internos son 180° menos cada externo: 110°, 85°, 92° y 73°, que suman 360°.

La suma de 360° para los externos funciona con un ángulo externo por vértice. Si en un mismo vértice se toma el externo en un lado y el del otro lado, son opuestos por el vértice y se cuentan solo una vez.

Cómo se calcula el área#

El área mide cuánta superficie cubre una figura, y se expresa en unidades cuadradas, como m². Cada fórmula sale de convertir la figura en otra conocida:

Figura	Fórmula	De dónde sale
Rectángulo	A = base · altura	Cuadritos de 1 por 1 en filas y columnas
Paralelogramo	A = base · altura	Se corta un triángulo de un lado y se pega en el otro: queda un rectángulo
Triángulo	A = base · altura ÷ 2	Dos triángulos iguales forman un paralelogramo
Trapecio	A = (B + b) · h ÷ 2	Dos trapecios iguales forman un paralelogramo de base B + b
Rombo y cometa	A = D · d ÷ 2	Las diagonales D y d lo parten en cuatro triángulos; el rectángulo de D por d tiene el doble de área

En el paralelogramo y en el trapecio, la altura es la distancia perpendicular entre las bases, no la medida del lado inclinado. Un error frecuente es multiplicar la base por el lado oblicuo.

Ejemplo. Un paralelogramo tiene base de 12 cm, un lado inclinado de 9 cm y altura de 7,5 cm. ¿Cuál es su área?

Solución. Se usa la altura, no el lado inclinado: 12 · 7,5 = 90 cm². El lado de 9 cm no interviene en el área.

Ejemplo. Un lote tiene forma de trapecio con bases de 40 m y 26 m, y los separa una distancia de 18 m. Se quiere sembrar zacate y cada metro cuadrado cuesta ₡1 800 (precio inventado para este ejercicio). ¿Cuánto cuesta cubrirlo todo?

Solución. El área es (40 + 26) · 18 ÷ 2 = 66 · 9 = 594 m². El costo es 594 · 1 800 = ₡1 069 200.

Ejemplo. Un rombo tiene diagonales de 14 cm y 9 cm, y una cometa de papel tiene diagonales de 20 cm y 11 cm. ¿Cuál es el área de cada uno?

Solución. Rombo: 14 · 9 ÷ 2 = 63 cm². Cometa: 20 · 11 ÷ 2 = 110 cm².

Problemas que combinan ángulos, triángulos y áreas#

Ejemplo. Una pared rectangular mide 5,4 m de largo y 2,6 m de alto, y tiene una ventana de 1,5 m por 1,2 m. ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar, sin contar la ventana?

Solución. Pared: 5,4 · 2,6 = 14,04 m². Ventana: 1,5 · 1,2 = 1,8 m². Hay que pintar 14,04 − 1,8 = 12,24 m².

Ejemplo. Un terreno tiene la forma de un cuadrilátero ABCD cortado por la diagonal AC en dos triángulos. Desde la diagonal, que mide 30 m, el vértice B está a 12 m y el vértice D a 8 m, uno a cada lado. ¿Cuál es el área del terreno?

Solución. Triángulo ABC: 30 · 12 ÷ 2 = 180 m². Triángulo ACD: 30 · 8 ÷ 2 = 120 m². Suma: 300 m², que coincide con 30 · (12 + 8) ÷ 2.

Ejemplo. Un cuadrilátero tiene un ángulo recto, otro de 3x° y los otros dos de (x + 20)° cada uno. Halla x y los cuatro ángulos.

Solución. Suman 360°: 90 + 3x + 2 · (x + 20) = 360, entonces 5x + 130 = 360, así que 5x = 230 y x = 46. Los ángulos son 90°, 138°, 66° y 66°, y suman 360°.

Verificar con geometría dinámica#

Los programas de geometría dinámica, como GeoGebra, permiten construir figuras cuyos puntos se pueden arrastrar con el ratón sin que se rompan sus relaciones. Para verificar lo visto aquí, sigue estos pasos:

1. Construye un cuadrilátero con cuatro puntos y mide sus cuatro ángulos internos con la herramienta de ángulo.
2. Suma los cuatro valores y arrastra un vértice: la suma sigue siendo 360° mientras el cuadrilátero se mantenga convexo.
3. Prolonga un lado en cada vértice, mide los ángulos externos y comprueba que suman 360°.
4. Construye un paralelogramo y arrastra un vértice: los ángulos opuestos siguen siendo iguales y los vecinos siguen sumando 180°.
5. Mide el área de un trapecio con la herramienta de área y compárala con (B + b) · h ÷ 2 usando las medidas de sus bases y su altura.

Fíjate en qué cambia al arrastrar y qué se mantiene: lo que no cambia es la propiedad. Y un solo caso, aunque sea exacto, no es una demostración: la comprobación con el programa sugiere la regla, y el razonamiento de las diagonales y de los pares lineales explica por qué siempre se cumple.

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide el cuarto ángulo de un cuadrilátero cuyos otros tres ángulos miden 101°, 77° y 88°?#

¿Cuánto suman los ángulos externos de un cuadrilátero convexo, y cuánto mide el externo de un vértice cuyo ángulo interno es 108°?#

¿Cuál es el área de un trapecio de bases 17 cm y 9 cm y altura de 6 cm?#

¿Cuál es el área de un paralelogramo de base 15 cm y altura 8 cm? ¿Cambia si se inclina más, sin cambiar base ni altura?#

¿Cuánto mide cada ángulo de un cuadrilátero si los ángulos son x°, 2x°, 3x° y 4x°?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)