Conceptos básicos de geometría: punto, recta, segmento, rayo y plano

Mira a tu alrededor: la esquina de una pizarra marca un punto, el borde de una regla es un segmento, la superficie de la mesa es parte de un plano y los renglones del cuaderno son líneas paralelas. Algunos de estos conceptos los viste en la escuela; en sétimo año se trata de profundizar en ellos, relacionar cada uno con su dibujo y escribirlo con la notación de la geometría.

En esta lección vas a repasar el punto, la recta y el plano, a distinguir el segmento, la semirrecta y el rayo, a reconocer puntos colineales y coplanares, a localizar el punto medio de un segmento y a trabajar con rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes.

Punto, recta y plano#

• Punto. Indica una posición y no tiene tamaño. Se dibuja como una marca pequeña y se nombra con una letra mayúscula: el punto A. En el entorno lo sugieren la punta de un lápiz o la esquina de una hoja.
• Recta. Es una línea recta que no tiene grosor y se extiende sin fin en los dos sentidos. Se dibuja con una flecha en cada extremo. Por dos puntos distintos pasa una sola recta, así que se nombra con dos de sus puntos (la recta AB) o con una letra minúscula (la recta l).
• Plano. Es una superficie plana, sin grosor, que se extiende sin fin en todas las direcciones. Se dibuja como un paralelogramo y se nombra con una letra mayúscula (el plano P) o con tres de sus puntos que no estén en una misma recta (el plano ABC). La superficie de una mesa o de una pared da la idea de una parte de un plano.

Segmento, semirrecta y rayo#

El segmento AB está formado por los puntos A y B, llamados extremos, y por todos los puntos de la recta que están entre ellos. A diferencia de la recta, el segmento se puede medir: su medida es la longitud AB. El segmento AB y el segmento BA son el mismo.

Un punto O de una recta la divide en dos partes, una a cada lado de O, y cada parte sigue sin fin en un solo sentido. El punto O se llama origen. El programa del MEP nombra la semirrecta y el rayo por separado, pero no los define; su glosario solo usa el rayo para definir el ángulo, «la unión de dos rayos con punto final común», así que el rayo tiene un extremo: su origen. Los libros no coinciden:

• En unos, «semirrecta» y «rayo» son sinónimos.
• Otros los distinguen por el origen: la semirrecta es la parte sin el origen, que en el dibujo se marca con un circulito vacío, y el rayo es la parte junto con el origen, que se marca con un punto relleno.

En los dos casos se nombran escribiendo primero el origen y después otro de sus puntos. El orden importa: el rayo AB empieza en A y pasa por B, mientras que el rayo BA empieza en B y va en sentido contrario. Un rayo de luz que sale de una linterna da la idea de un rayo geométrico.

Concepto	Cómo se nombra	Cómo se escribe en el cuaderno
Punto	Con una letra mayúscula	A
Recta	Con dos de sus puntos o con una letra minúscula	AB con una flecha de dos puntas encima, o l
Segmento	Con sus dos extremos	AB con una raya encima
Rayo	Con el origen primero y otro de sus puntos	AB con una flecha encima que va de A hacia B
Semirrecta	Igual que el rayo	Como el rayo; si se distinguen, con un circulito vacío sobre el origen A
Plano	Con una letra mayúscula o con tres puntos no colineales	plano P o plano ABC

La notación puede variar un poco de un libro a otro; lo importante es que cada símbolo corresponda al dibujo. Pregunta a tu docente qué convención y qué notación se usan en tu clase.

Puntos colineales y puntos coplanares#

Tres o más puntos son colineales si están en una misma recta, y no colineales si no hay ninguna recta que pase por todos. Por ejemplo, en una regla, las marcas de 2 cm, 5 cm y 9 cm son colineales. Dos puntos siempre son colineales, porque por dos puntos siempre pasa una recta; por eso la pregunta tiene sentido a partir de tres puntos.

De forma parecida, cuatro o más puntos son coplanares si están en un mismo plano, y no coplanares si ningún plano los contiene a todos. Tres puntos siempre son coplanares: si no son colineales, determinan un plano, y si son colineales, hay muchos planos que contienen su recta.

Ejemplo. Piensa en un cubo, como un dado. Los vértices de la cara de arriba son A, B, C y D, en ese orden, y los de la cara de abajo son E, F, G y H, con E debajo de A, F debajo de B, G debajo de C y H debajo de D. ¿Son coplanares A, B, C y D? ¿Y A, B, C y G? ¿Y A, B, G y H?

Solución. A, B, C y D son coplanares: están en el plano de la cara de arriba. A, B, C y G no son coplanares: A, B y C determinan el plano de la cara de arriba, y G está debajo de ese plano. A, B, G y H sí son coplanares, aunque no estén en una misma cara: están en el plano que corta el cubo en diagonal, desde la arista AB de arriba hasta la arista GH de abajo. Un modelo hecho con un cubo de cartón ayuda a verlo.

El punto medio de un segmento#

El punto medio de un segmento AB es el punto M del segmento que está a la misma distancia de los dos extremos: AM = MB. Divide al segmento en dos partes de igual medida, y cada una mide la mitad del segmento. Los puntos A, M y B son colineales.

Cómo localizarlo#

1. Con regla: mide el segmento, divide la medida entre 2 y marca el punto a esa distancia de uno de los extremos.
2. Con compás: abre el compás a más de la mitad del segmento. Con centro en A, traza un arco por encima y otro por debajo del segmento. Sin cambiar la abertura, haz lo mismo con centro en B, de modo que los arcos se corten. Une los dos puntos donde se cortan los arcos: esa recta corta al segmento AB justo en su punto medio.

Ejemplo. Un segmento AB mide 9 cm. ¿A qué distancia de A está su punto medio M?

Solución. El punto medio está a la mitad de la medida del segmento: 9 ÷ 2 = 4,5. M está a 4,5 cm de A, y también a 4,5 cm de B.

Ejemplo. M es el punto medio del segmento PQ y PM mide 7 cm. ¿Cuánto mide PQ?

Solución. Como M es el punto medio, MQ también mide 7 cm. Entonces PQ = PM + MQ = 7 + 7 = 14 cm.

Ejemplo. Una calle recta une dos esquinas separadas por 180 m. ¿Dónde hay que colocar un poste para que quede a la misma distancia de las dos esquinas, sobre la calle?

Solución. En el punto medio del segmento que une las esquinas: a 180 ÷ 2 = 90 m de cada una.

Rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes#

Dos rectas distintas de un mismo plano o se cortan en un solo punto o no se cortan nunca. De ahí salen estas relaciones:

• Rectas paralelas: están en el mismo plano y no se cortan. Se escribe l ∥ m. Dan la idea los renglones de un cuaderno o los bordes opuestos de una puerta.
• Rectas perpendiculares: se cortan formando cuatro ángulos rectos, de 90°. Se escribe l ⊥ m. Dan la idea el borde del piso y la arista vertical de una pared, o las líneas de una hoja cuadriculada.
• Rectas concurrentes: son dos o más rectas que pasan por un mismo punto, llamado punto de concurrencia. Dan la idea los cortes de una pizza dividida en porciones iguales, que pasan todos por el centro. Dos rectas perpendiculares son concurrentes, porque se cortan.

Cómo trazarlas con regla y escuadra#

• Una perpendicular a la recta l que pase por un punto P: apoya uno de los lados del ángulo recto de la escuadra sobre l y deslízala hasta que el otro lado del ángulo recto pase por P. Traza la recta por ese lado.
• Una paralela a la recta l que pase por un punto P: apoya un lado de la escuadra sobre l y coloca la regla pegada a otro lado de la escuadra. Sin mover la regla, desliza la escuadra a lo largo de ella hasta que el primer lado pase por P, y traza la recta.

Ejemplo. En un rectángulo ABCD, con las diagonales AC y BD que se cortan en el punto O, identifica rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes.

Solución. Las rectas AB y DC son paralelas, y también AD y BC, porque son lados opuestos. Las rectas AB y BC son perpendiculares, porque en un rectángulo los lados que se tocan forman ángulos rectos. Las rectas AB, AC y AD son concurrentes en A, y las diagonales AC y BD son concurrentes en O. Además, A, O y C son colineales, y A, O y B no lo son.

Notación simbólica: cómo escribir las relaciones#

Las relaciones entre puntos, rectas y planos se escriben con símbolos:

Símbolo	Se lee	Ejemplo
∈	pertenece a, está en	A ∈ l: el punto A está en la recta l
∉	no pertenece a	P ∉ l: el punto P no está en la recta l
∥	es paralela a	l ∥ m: las rectas l y m son paralelas
⊥	es perpendicular a	l ⊥ n: las rectas l y n son perpendiculares
∩	intersección	l ∩ n = {P}: las rectas l y n se cortan en el punto P
⊂	está contenido en	el segmento AB ⊂ la recta AB

Ejemplo. Escribe en símbolos: «Las rectas r y s son perpendiculares y se cortan en el punto Q; el punto T está en r, pero no está en s».

Solución. r ⊥ s, r ∩ s = {Q}, T ∈ r y T ∉ s.

Ejemplo. M es el punto medio del segmento AB. Escribe esa relación con símbolos.

Solución. M ∈ AB (el segmento) y AM = MB. Las dos condiciones hacen falta: un punto fuera del segmento también puede estar a la misma distancia de A y de B, pero no es su punto medio.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la diferencia entre una semirrecta y un rayo?#

¿Pueden tres puntos ser no coplanares?#

¿Cuánto mide el segmento AB si M es su punto medio y AM mide 6,5 cm?#

¿Son concurrentes dos rectas perpendiculares?#

¿Cómo se escribe en símbolos que el punto P está en la recta l, pero no en la recta m?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)