El plano cartesiano: puntos, figuras y punto medio de un segmento

Cuando alguien te dice «el quiosco está en la tercera fila, cuarto asiento», te está dando dos números para ubicar un lugar. El plano cartesiano funciona igual: con dos números se señala un punto exacto, y con varios puntos unidos se dibuja cualquier figura. Es el lenguaje que usan los mapas, las pantallas, los videojuegos y los planos de construcción para decir dónde está cada cosa.

En lo que sigue aprenderás a representar puntos y figuras con un sistema de ejes cartesianos, a decidir si un punto queda dentro, fuera o sobre el borde de una figura cerrada, y a calcular de forma algebraica el punto medio de un segmento, es decir, el punto que lo parte en dos mitades iguales.

Los ejes, el origen y los cuatro cuadrantes#

Cada eje es una recta numérica, así que lleva números positivos y negativos (si necesitas repasarlos, mira la ubicación en la recta numérica). En el eje x, los positivos quedan a la derecha del origen y los negativos a la izquierda. En el eje y, los positivos quedan arriba y los negativos abajo.

Los dos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, que se numeran con números romanos: se empieza en la región de arriba a la derecha y se sigue hacia la izquierda, dando la vuelta al origen. El signo de las dos coordenadas de un punto te dice en cuál está:

Cuadrante	Dónde queda	Signo de x	Signo de y
I	Arriba a la derecha	+	+
II	Arriba a la izquierda	−	+
III	Abajo a la izquierda	−	−
IV	Abajo a la derecha	+	−

Los puntos que están sobre un eje no pertenecen a ningún cuadrante. Un punto del eje x tiene ordenada 0, como (7, 0) o (−2, 0); un punto del eje y tiene abscisa 0, como (0, 4) o (0, −9). Solo el origen pertenece a ambos ejes.

El orden de las coordenadas importa: por eso se llama par ordenado. El punto (3, 5) y el punto (5, 3) son distintos. Una regla para no confundirte: primero «caminas» por el eje horizontal y después «subes o bajas».

Cómo ubicar un punto#

1. Parte del origen.
2. Muévete sobre el eje x tantas unidades como diga la abscisa: a la derecha si es positiva, a la izquierda si es negativa.
3. Desde ahí, muévete en vertical tantas unidades como diga la ordenada: hacia arriba si es positiva, hacia abajo si es negativa.
4. Marca el punto y ponle su nombre.

Ejemplo. Ubica los puntos A(4, −3), B(−2, 5), C(0, −6), D(−5, 0) y E(−3, −4), e indica en qué cuadrante o sobre cuál eje está cada uno.

Solución. A: se avanzan 4 unidades a la derecha y se bajan 3; abscisa positiva y ordenada negativa, así que está en el cuadrante IV. B: dos a la izquierda y cinco arriba; signos (−, +), cuadrante II. C: la abscisa es 0, así que no se mueve en horizontal y baja 6; está sobre el eje y. D: la ordenada es 0; está sobre el eje x, 5 unidades a la izquierda del origen. E: 3 a la izquierda y 4 hacia abajo; signos (−, −), cuadrante III.

También se hace el camino inverso: dado un punto marcado, se lee su abscisa bajando o subiendo hasta el eje x, y su ordenada yendo hasta el eje y. Un croquis de un barrio, un mapa de la finca o la cuadrícula de una hoja de cálculo se interpretan de esta manera.

Ejemplo. Todos los puntos de la forma (3, y) tienen la misma abscisa. ¿Qué figura forman en el plano si y toma todos los valores posibles? ¿Y los puntos de la forma (x, −2)?

Solución. Los puntos (3, y) están todos a 3 unidades a la derecha del origen y varían solo en la altura: forman una recta vertical que pasa por (3, 0). Los puntos (x, −2) están todos 2 unidades por debajo del eje x y varían solo en la posición horizontal: forman una recta horizontal que pasa por (0, −2). Dos rectas así, una vertical y otra horizontal, siempre se cortan en un solo punto: aquí, en (3, −2).

Representar figuras geométricas#

Una figura formada por segmentos se dibuja ubicando sus vértices y uniéndolos en orden. Así se representan triángulos, cuadriláteros, pentágonos y cualquier polígono. Dos vértices con la misma ordenada determinan un segmento horizontal; con la misma abscisa, uno vertical. En esos casos la longitud se obtiene restando las coordenadas que cambian.

Ejemplo. Dibuja el cuadrilátero de vértices (−3, −2), (5, −2), (5, 3) y (−3, 3). ¿Qué figura es y cuánto miden su perímetro y su área, con la cuadrícula a razón de 1 m por unidad?

Solución. Los dos primeros vértices comparten la ordenada −2; entre ellos hay un lado horizontal de longitud 5 − (−3) = 8. Los vértices (5, −2) y (5, 3) comparten la abscisa 5: el lado es vertical y mide 3 − (−2) = 5. Los otros dos lados repiten esas medidas. Es un rectángulo de 8 m por 5 m: perímetro 2(8 + 5) = 26 m y área 8 · 5 = 40 m².

Ejemplo. La «casita» se forma uniendo, en este orden, (0, 0), (6, 0), (6, 4), (3, 7), (0, 4) y de nuevo (0, 0). Calcula su área separándola en un rectángulo y un triángulo.

Solución. El cuerpo de la casa es un rectángulo cuya base va de x = 0 a x = 6 y cuya altura llega hasta y = 4: 6 por 4 son 24 unidades cuadradas. El techo es un triángulo de vértices (0, 4), (6, 4) y (3, 7): su base horizontal mide 6 y su altura, la distancia vertical de 4 a 7, es 3, así que su área es 6 · 3 ÷ 2 = 9. El área total es 24 + 9 = 33 unidades cuadradas.

Puntos dentro, fuera o sobre una figura cerrada#

Una figura cerrada divide el plano en tres conjuntos de puntos: los de su interior, los de su exterior y los de su frontera (el borde mismo). Para decidir en cuál está un punto, lo más seguro es dibujar la figura y el punto. Cuando los lados son horizontales y verticales también basta con comparar números.

• En un rectángulo con lados paralelos a los ejes, un punto (x, y) está en el interior si su abscisa queda estrictamente entre las abscisas de los lados verticales y su ordenada queda estrictamente entre las ordenadas de los lados horizontales. Si coincide con alguna de ellas, está en la frontera.
• Para un lado inclinado, hay que ver de qué lado de esa recta queda el punto. En el triángulo de vértices (0, 0), (8, 0) y (0, 8) el lado inclinado une los puntos donde x + y = 8, así que un punto con x > 0 y y > 0 está dentro cuando x + y < 8, sobre el borde cuando x + y = 8 y fuera cuando x + y > 8.

Ejemplo. Con el triángulo de vértices (0, 0), (8, 0) y (0, 8), clasifica los puntos (2, 3), (5, 4), (4, 4) y (−1, 2).

Solución. (2, 3): x y y son positivas y 2 + 3 = 5 < 8, así que está en el interior. (5, 4): 5 + 4 = 9 > 8, queda más allá del lado inclinado; está en el exterior. (4, 4): 4 + 4 = 8, justo sobre el lado inclinado; está en la frontera. (−1, 2): su abscisa es negativa, o sea que queda a la izquierda del lado vertical; está en el exterior.

Ejemplo. En la «casita» de la sección anterior, ¿está en el interior el punto (5, 6)? ¿Y el punto (3, 5)?

Solución. El techo tiene su punta en (3, 7) y baja hasta (6, 4); a la altura de x = 5 el techo llega a y = 5. El punto (5, 6) está más arriba que el techo, así que está en el exterior. En cambio, a la altura de x = 3 el techo llega a y = 7, y el punto (3, 5) queda por debajo de ese valor y por encima de la base: está en el interior.

El punto medio de un segmento#

Se llama punto medio al punto de un segmento que lo parte en dos tramos de igual longitud. En una recta numérica es fácil: el punto medio entre 2 y 10 es 6, porque está a 4 unidades de cada uno, y se obtiene sumando y dividiendo entre 2, es decir, calculando el promedio de las dos posiciones. En el plano se hace lo mismo con cada coordenada por separado.

Ejemplo. Encuentra el punto medio del segmento de extremos A(−6, 2) y B(4, −8).

Solución. Abscisa: (−6 + 4) ÷ 2 = −2 ÷ 2 = −1. Ordenada: (2 + (−8)) ÷ 2 = −6 ÷ 2 = −3. El punto medio es M(−1, −3). Se comprueba que está a la misma «distancia horizontal» y «vertical» de los dos extremos: de A a M se avanzan 5 unidades a la derecha y 5 hacia abajo, y de M a B se avanzan otras 5 a la derecha y 5 hacia abajo.

Ejemplo. El punto M(3, −1) es el punto medio de un segmento AB y se sabe que A(7, −5). ¿Cuáles son las coordenadas de B?

Solución. Si M es el punto medio, las coordenadas de M son el promedio de las de A y B. Para la abscisa: (7 + x) ÷ 2 = 3, así que 7 + x = 6 y x = −1. Para la ordenada: (−5 + y) ÷ 2 = −1, así que −5 + y = −2 y y = 3. Por lo tanto B(−1, 3). De A a M hay un desplazamiento de (−4, +4); el mismo desplazamiento de M lleva a B.

Con el punto medio se puede descubrir una propiedad de los paralelogramos: sus dos diagonales se cortan en el punto medio de cada una. Por ejemplo, en el paralelogramo de vértices A(0, 0), B(6, 2), C(9, 7) y D(3, 5), la diagonal AC tiene punto medio (4,5; 3,5) y la diagonal BD también, así que se cruzan justo en ese punto.

Un problema para aplicar todo#

Ejemplo. En el plano de un parque cada unidad representa 10 metros. La entrada está en E(−4, −3) y la fuente en F(8, 5). Quieren poner una banca justo a mitad de camino en línea recta entre las dos, y un quiosco en el punto (2, 1). ¿Dónde va la banca? ¿Coinciden la banca y el quiosco?

Solución. Banca: ((−4 + 8) ÷ 2, (−3 + 5) ÷ 2) = (2, 1). Sí coinciden: el punto (2, 1) es el punto medio del segmento entre la entrada y la fuente, así que el quiosco quedaría exactamente donde se quería la banca, y habría que mover uno de los dos. Para saber qué tan lejos queda cada cosa en el terreno, como cada unidad son 10 m, la banca estaría a 6 unidades (60 m) en horizontal y 4 unidades (40 m) en vertical de la entrada.

Ponte a prueba#

¿En qué cuadrante o sobre qué eje están los puntos (−7, 1), (0, −3), (6, −2) y (−4, −4)?#

¿Cuál es el punto medio del segmento con extremos (−9, 4) y (5, 12)?#

¿Cuál es el otro extremo de un segmento si uno de ellos es (−2, 9) y su punto medio es (1, 4)?#

¿Dónde está el punto (6, 3) respecto del rectángulo de vértices (1, 1), (6, 1), (6, 5) y (1, 5)?#

¿Qué área tiene el triángulo de vértices (−2, 1), (4, 1) y (1, 6)?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)