Triángulos: desigualdad triangular y ángulos internos y externos

Las cerchas de un techo, los marcos de una bicicleta y las torres de tendido eléctrico usan triángulos por una razón: es el único polígono que no se deforma si sus lados están firmes. Pero no con cualquier medida de lados se puede armar un triángulo, y los ángulos de uno siempre guardan una relación exacta entre sí.

En esta lección vas a aplicar la desigualdad triangular para decidir si tres medidas forman un triángulo, vas a usar la suma de los ángulos internos y vas a descubrir qué tiene de especial el ángulo externo. Al final podrás encontrar medidas que faltan con una o dos operaciones.

La desigualdad triangular#

Toma tres varillas de madera. Si dos de ellas son cortas y la tercera es muy larga, no hay manera de unirlas por los extremos para que formen un triángulo: las dos cortas puestas una tras otra no llegan a cubrir la larga. Esa observación es la desigualdad triangular.

No hace falta comprobar las tres desigualdades. Basta con la del lado mayor: si el lado más largo no alcanza lo que miden juntos los otros dos, las otras dos desigualdades se cumplen solas, porque cualquier otro lado es menor o igual que el mayor.

Medidas (cm)	Lado mayor	Suma de los otros dos	¿Forman triángulo?
7, 9, 15	15	16	Sí, porque 15 < 16
6, 10, 17	17	16	No, porque 17 > 16
9, 12, 21	21	21	No: 21 = 21, los puntos quedan alineados
10, 10, 19	19	20	Sí, es un triángulo isósceles muy aplastado

Si ya se conocen dos lados, la desigualdad acota al tercero. Si los lados conocidos son b y c, el tercer lado a cumple a < b + c y también a > |b − c| (la diferencia, sin signo). Esta segunda condición viene de aplicar la desigualdad al lado mayor cuando el desconocido es el menor.

Ejemplo. Dos lados de un triángulo miden 8 cm y 13 cm. ¿Entre qué valores está el tercero? Si se miden los lados en números enteros de centímetros, ¿cuántos valores son posibles?

Solución. El tercer lado debe ser menor que 8 + 13 = 21 y mayor que 13 − 8 = 5. Está entre 5 y 21 cm, sin tocar los extremos. Los enteros posibles son 6, 7, 8, …, 20, y son 20 − 6 + 1 = 15 valores.

Ejemplo. Con una cuerda de 30 m se quiere formar un triángulo uniendo sus extremos. ¿Cuál es la longitud entera más grande que puede tener un lado?

Solución. Sea a un lado; entre los otros dos suman 30 − a. La desigualdad pide a < 30 − a, es decir, 2a < 30 y a < 15. El mayor entero es 14 m. Ese caso existe: lados de 14, 8 y 8 m, porque 14 < 8 + 8 = 16.

La suma de los ángulos internos#

La razón es la misma que viste con las paralelas. Se elige un vértice, el C, y por él se dibuja una recta que no corte a AB y quede paralela a ese lado. Los dos lados que salen de C sirven como transversales. En C quedan entonces tres ángulos seguidos sobre la paralela: uno alterno interno con A, el propio ángulo C y otro alterno interno con B. Los dos de los extremos miden lo mismo que A y que B, y los tres juntos forman un ángulo llano: A + C + B = 180°.

Ejemplo. Dos ángulos de un triángulo miden 47° y 68°. ¿Cuánto mide el tercero?

Solución. 180° − 47° − 68° = 65°.

Ejemplo. Los ángulos internos de un triángulo miden 2x°, (3x + 5)° y (4x − 5)°. Halla x y los tres ángulos.

Solución. Suman 180: 2x + 3x + 5 + 4x − 5 = 180, entonces 9x = 180 y x = 20. Los ángulos miden 40°, 65° y 75°, y 40 + 65 + 75 = 180.

Ejemplo. En un triángulo isósceles, el ángulo que forman los dos lados iguales mide 36°. ¿Cuánto mide cada uno de los otros dos?

Solución. En un isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son congruentes. Entre los dos suman 180° − 36° = 144°, así que cada uno mide 72°.

Una consecuencia: un triángulo no puede tener dos ángulos rectos ni dos obtusos, porque ya sumarían 180° o más, y no quedaría nada para el tercero. Por eso se clasifica así según sus ángulos: acutángulo (tres agudos), rectángulo (uno de 90°) y obtusángulo (uno mayor de 90°). Según sus lados, es equilátero (tres iguales), isósceles (exactamente dos iguales) o escaleno (los tres distintos).

El ángulo externo#

Si prolongas el lado AC más allá de C, el ángulo que forman esa prolongación y el lado CB es un ángulo externo en C. Este ángulo y el ángulo interno C forman un par lineal, así que suman 180°. Pero también 180° = A + B + C. Al comparar las dos cuentas, resulta una relación muy útil:

Ejemplo. En el triángulo anterior, con A = 47° y B = 68°, ¿cuánto mide el ángulo externo en C?

Solución. Es la suma de los no adyacentes: 47° + 68° = 115°. Se comprueba con el par lineal: C = 65° y 180° − 65° = 115°.

Ejemplo. Un ángulo externo de un triángulo mide 130° y uno de los ángulos internos no adyacentes mide 85°. ¿Cuánto miden el otro interno no adyacente y el interno adyacente al externo?

Solución. El externo es la suma de los dos no adyacentes: 130° = 85° + y, así que y = 45°. El interno adyacente forma un par lineal con el externo: 180° − 130° = 50°. Comprobación: 85° + 45° + 50° = 180°.

Si en cada vértice se prolonga un lado (siempre en el mismo sentido de giro) y se toma un ángulo externo por vértice, los tres externos suman 360°. Con A = 47°, B = 68° y C = 65°, los externos miden 133°, 112° y 115°, y su suma es 360°. Cada externo vale 180° menos su interno, así que los tres suman 3 · 180° − 180° = 360°.

Problemas que combinan las ideas#

Ejemplo. Una estructura de tres varillas de aluminio tiene dos ángulos de 52° y 76° en la base. Un compañero afirma que el ángulo en la cúspide es de 62°. ¿Está bien?

Solución. El tercer ángulo es 180° − 52° − 76° = 52°, no 62°. El compañero se equivocó. Además, como dos de los ángulos miden lo mismo (52°), los lados opuestos a ellos son iguales y el triángulo es isósceles.

Ejemplo. En un triángulo, el ángulo mayor mide el doble del menor y el ángulo intermedio mide 20° más que el menor. Halla los tres ángulos y clasifica el triángulo.

Solución. Si el menor mide x, el intermedio mide x + 20 y el mayor 2x. Entonces x + x + 20 + 2x = 180, así que 4x = 160 y x = 40. Los ángulos son 40°, 60° y 80°. Como los tres son agudos, es acutángulo, y como las medidas son distintas, escaleno.

Ejemplo. ¿Existe un triángulo con ángulos de 95°, 50° y 40°?

Solución. La suma es 95° + 50° + 40° = 185°, distinta de 180°. No existe.

Ponte a prueba#

¿Se puede formar un triángulo con palillos de 11 cm, 14 cm y 24 cm?#

¿Entre qué valores puede estar el tercer lado de un triángulo si los otros dos miden 9 cm y 15 cm?#

¿Cuánto mide el tercer ángulo de un triángulo cuyos ángulos conocidos son 38° y 91°?#

¿Cuánto mide el ángulo externo de un triángulo en el vértice donde el ángulo interno es de 74°?#

¿Cuánto mide cada ángulo de un triángulo si sus ángulos internos son x°, (x + 10)° y (x + 20)°?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)