Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal

Los rieles de un tren, los peldaños de una escalera de mano y las líneas de un cuaderno rayado tienen algo en común: son rectas paralelas. Si algo las cruza en diagonal, como un listón sobre una reja o una calle inclinada que corta a otras dos, aparece una figura muy rica en ángulos. Lo notable es que basta conocer la medida de uno solo para deducir los otros siete.

En esta lección vas a nombrar los ocho ángulos que se forman, a reconocer cuáles miden lo mismo y cuáles suman 180°, y a usar esas relaciones para hallar medidas desconocidas, con números y con ecuaciones. También verás cómo se usa la relación al revés: para decidir si dos rectas son paralelas.

La figura y sus ocho ángulos#

Imagina dos rectas horizontales, r arriba y s abajo, que son paralelas, y una recta inclinada t que las corta. La transversal t corta a r en el punto P y a s en el punto Q. Entre r y s queda una franja a la que llamaremos «el interior». En cada cruce se forman cuatro ángulos, así que en total hay ocho. Para no confundirlos, los numeramos según dos ideas: si están encima o debajo de la paralela correspondiente, y si están a la izquierda o a la derecha de la transversal.

Ángulo	En el cruce	Posición respecto a la paralela	Lado de la transversal
1	P (sobre r)	Encima de r (exterior)	Izquierda
2	P (sobre r)	Encima de r (exterior)	Derecha
3	P (sobre r)	Debajo de r (interior)	Izquierda
4	P (sobre r)	Debajo de r (interior)	Derecha
5	Q (sobre s)	Encima de s (interior)	Izquierda
6	Q (sobre s)	Encima de s (interior)	Derecha
7	Q (sobre s)	Debajo de s (exterior)	Izquierda
8	Q (sobre s)	Debajo de s (exterior)	Derecha

Con esta numeración puedes seguir cada nombre sin necesidad de ver un dibujo. Por ejemplo, el ángulo 3 está en P, debajo de r, y a la izquierda de t.

Los nombres de las parejas#

Nombre de la pareja	Qué ángulos	Relación cuando r y s son paralelas
Correspondientes	1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8 (misma posición en cada cruce)	Congruentes
Alternos internos	3 y 6; 4 y 5 (dentro de la franja, en lados distintos de t)	Congruentes
Alternos externos	1 y 8; 2 y 7 (fuera de la franja, en lados distintos de t)	Congruentes
Conjugados internos	3 y 5; 4 y 6 (dentro de la franja, del mismo lado de t)	Suplementarios (suman 180°)
Conjugados externos	1 y 7; 2 y 8 (fuera de la franja, del mismo lado de t)	Suplementarios (suman 180°)
Opuestos por el vértice	1 y 4; 2 y 3; 5 y 8; 6 y 7	Congruentes, aunque r y s no sean paralelas
Par lineal	1 y 2; 3 y 4; 5 y 6; 7 y 8, entre otros	Suplementarios, aunque r y s no sean paralelas

Dos de las últimas filas valen siempre, sean o no paralelas las rectas, porque solo dependen de que dos rectas se cortan. Las demás son exclusivas de la situación con paralelas: es lo que hace especial a esta figura. Para recordar los cuatro nombres, piensa en esto: «alterno» quiere decir de lados distintos de la transversal, «conjugado» quiere decir del mismo lado, «interno» quiere decir dentro de la franja y «externo», fuera de ella.

Un ángulo alcanza para conocer los ocho#

La razón de que las correspondientes sean congruentes se acepta como propiedad básica de las paralelas: si deslizas la recta r sin girarla, hasta superponerla con s, el cruce de P se acomoda exactamente sobre el de Q, y cada ángulo cae sobre el que ocupa su misma posición. De ahí salen todas las demás relaciones, combinando con los opuestos por el vértice y los pares lineales.

Ejemplo. Las rectas r y s son paralelas y la transversal t forma el ángulo 2 = 117°. Halla los otros siete.

Solución. El ángulo 3 es opuesto por el vértice del 2, así que también mide 117°. El ángulo 1 forma un par lineal con el 2: 180° − 117° = 63°, y su opuesto, el 4, mide 63°. Los del cruce Q son correspondientes de los de P: el 6 corresponde al 2 (117°), el 7 al 3 (117°), el 5 al 1 (63°) y el 8 al 4 (63°). Resultado: 2, 3, 6 y 7 miden 117°; 1, 4, 5 y 8 miden 63°. Solo hay dos medidas distintas y suman 180°.

Este patrón se repite siempre: los ocho ángulos son, o todos rectos, o de dos medidas, una aguda y una obtusa, que suman 180°. Los cuatro agudos son congruentes entre sí y los cuatro obtusos también. Esto da una forma rápida de resolver: identifica si el ángulo que buscas es agudo u obtuso, y la respuesta es una de las dos medidas.

Problemas con ecuaciones#

Ejemplo. Dos rectas paralelas son cortadas por una transversal. Dos ángulos alternos internos miden (5x − 20)° y (3x + 14)°. Halla x y la medida de los ángulos.

Solución. Los alternos internos son congruentes: 5x − 20 = 3x + 14, entonces 2x = 34 y x = 17. Cada ángulo mide 5 · 17 − 20 = 65° (y 3 · 17 + 14 = 65°). Los otros ángulos agudos también miden 65° y los obtusos, 180° − 65° = 115°.

Ejemplo. Dos ángulos conjugados internos miden (3x + 8)° y (5x − 4)°. Halla x y los ángulos.

Solución. Los conjugados internos son suplementarios: (3x + 8) + (5x − 4) = 180. Al reunir términos queda 8x + 4 = 180, así que 8x = 176 y x = 22. Los ángulos miden 3 · 22 + 8 = 74° y 5 · 22 − 4 = 106°, que suman 180°.

Ejemplo. En un portón, dos barrotes paralelos son cortados por un travesaño inclinado. Un ángulo correspondiente a uno de 71° mide (7x + 1)°. ¿Cuánto vale x?

Solución. Los correspondientes son congruentes: 7x + 1 = 71, entonces 7x = 70 y x = 10. Comprobación: 7 · 10 + 1 = 71.

Una quebrada entre dos paralelas#

Un caso que aparece en los problemas es el de una recta quebrada entre dos paralelas. Imagina una línea que baja desde un punto P de la paralela r hasta un punto M, entre las dos paralelas, y luego sigue hasta un punto Q de la paralela s, de modo que P y Q quedan del mismo lado de M, como una punta de flecha «<» con el vértice en M. En M se forma un ángulo. Para hallarlo, se traza por M una recta auxiliar paralela a r (y por tanto también a s). Esa recta parte el ángulo en M en dos partes, y cada parte es alterna interna con el ángulo que el segmento forma con r o con s, medido del lado en que queda M.

Ejemplo. Entre dos paralelas r y s hay un punto M. Desde M salen un segmento hasta un punto P de r y otro hasta un punto Q de s, con P y Q del mismo lado de M. El segmento MP forma un ángulo de 35° con r y el segmento MQ forma un ángulo de 42° con s, los dos medidos del lado en que queda M. ¿Cuánto mide el ángulo PMQ?

Solución. Se traza por M la paralela auxiliar a r y a s. Por ser alternos internos, una parte del ángulo en M mide 35° y la otra mide 42°. El ángulo PMQ es 35° + 42° = 77°.

¿Son paralelas? La relación al revés#

Las relaciones también funcionan en sentido contrario: si una transversal forma con dos rectas ángulos correspondientes congruentes, o alternos internos congruentes, o conjugados internos suplementarios, entonces las dos rectas son paralelas. Así puede verificar un carpintero que dos tablas de un marco quedaron paralelas: mide los ángulos que forma con ellas una tercera tabla que las cruza.

Ejemplo. Una transversal corta a dos rectas. Los ángulos alternos internos miden 74° y 76°. ¿Las rectas son paralelas? ¿Y si fueran 74° y 74°?

Solución. Con 74° y 76° los alternos internos no son congruentes, así que las rectas no son paralelas. Con 74° y 74°, sí son congruentes, y entonces las rectas son paralelas.

Ponte a prueba#

¿Cuánto miden los ocho ángulos de dos paralelas cortadas por una transversal si uno de ellos mide 48°?#

¿Cuál es la relación entre dos ángulos alternos externos cuando las rectas son paralelas?#

¿Cuánto vale x si dos ángulos correspondientes entre paralelas miden (6x + 5)° y (4x + 31)°?#

¿Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si dos ángulos conjugados internos miden 100° y 85°?#

¿Cuánto mide el ángulo PMQ si M está entre dos paralelas, P está en una y Q en la otra, ambos del mismo lado de M, y los segmentos MP y MQ forman con ellas ángulos de 28° y 53°, medidos del lado de M?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)