Caras, aristas y vértices de los cuerpos geométricos

Una caja de cartón, el techo de un rancho a dos aguas, un dado, un tubo de pegamento: todos son cuerpos geométricos, objetos que ocupan espacio. Para describirlos con precisión sin tenerlos delante, los matemáticos nombran sus partes: las caras sobre las que se apoyan, las aristas por donde se doblan y los vértices que pinchan las esquinas.

En esta lección vas a reconocer esos elementos, a contarlos de una manera que no depende de dibujos, a comprobar los conteos con una relación que lleva el nombre de Leonhard Euler y a estudiar cómo se acomodan las rectas y los planos dentro de un cuerpo: cuáles son paralelos, cuáles son perpendiculares y cuáles ni una cosa ni otra. Como aquí no hay dibujos, cada figura se describe con palabras y con tablas; te conviene tener a mano una caja o armar un modelo con plastilina y palillos.

Poliedros y cuerpos redondos#

Los cuerpos geométricos se reparten en dos familias. Los poliedros están formados solo por polígonos: el cubo, las cajas, los prismas y las pirámides. Los cuerpos redondos tienen alguna superficie curva: el cilindro, el cono y la esfera.

Cuerpo	Caras planas	Superficies curvas	Aristas	Vértices
Cilindro	2 (los círculos de las tapas)	1 (el costado)	0 segmentos (los bordes de las tapas son circunferencias)	0
Cono	1 (el círculo de la base)	1 (el costado)	0 segmentos (el borde de la base es una circunferencia)	1 (la punta)
Esfera	0	1	0	0

Por eso decir «el cilindro tiene dos vértices» es un error común: una tapa circular no tiene esquinas. Contar caras, aristas y vértices en el sentido estricto de esta lección solo tiene sentido en los poliedros, y de aquí en adelante hablaremos de ellos.

Para cualquier poliedro conviene recordar cómo se leen los tres elementos con la mano. Una cara es una superficie que se puede acariciar plana, como una tapa. La arista es el borde que sientes cuando pasas el dedo de una cara a la otra. El vértice es la punta que pincha. Si quieres repasar las figuras de base de algunos poliedros, mira las lecciones sobre el cubo y los prismas.

Contar sin equivocarse: de las caras a las aristas#

Contar con los ojos sobre un dibujo falla cuando una cara o una arista queda escondida por detrás. Hay una manera más segura. Cada arista une exactamente dos caras, así que si sumas los lados de todas las caras, cada arista se ha contado dos veces. Lo mismo pasa con los vértices: en cada vértice llegan varias aristas, y cada arista tiene dos extremos.

Ejemplo. El techo de un rancho a dos aguas tiene la forma de un cuerpo con 2 caras triangulares y 3 caras rectangulares. ¿Cuántas aristas tiene?

Solución. Los lados de las caras suman 2 · 3 + 3 · 4 = 6 + 12 = 18. Como cada arista se contó dos veces, hay 18 ÷ 2 = 9 aristas.

Ejemplo. Un cuerpo tiene 4 caras triangulares y 1 cuadrada. ¿Cuántas aristas tiene? ¿Cuántos vértices, si se sabe que en la cúspide llegan 4 aristas y en cada una de las otras esquinas llegan 3?

Solución. Aristas: (4 · 3 + 1 · 4) ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8. Para los vértices, la suma de las aristas que llegan a cada uno cuenta cada arista dos veces: 2 · 8 = 16. Un vértice aporta 4 y los demás 3 cada uno: 4 + 3v = 16, así que v = 4 y en total hay 1 + 4 = 5 vértices. Es una pirámide de base cuadrada.

La relación de Euler#

Si cuentas bien los vértices (V), las aristas (A) y las caras (C) de un poliedro convexo, siempre aparece la misma cuenta. Un poliedro es convexo cuando el segmento entre dos puntos cualesquiera del cuerpo queda dentro de él; ninguna de sus caras se «hunde» hacia el interior.

Poliedro	V	A	C	V − A + C
Cubo	8	12	6	2
Techo a dos aguas (prisma triangular)	6	9	5	2
Casita (prisma de base pentagonal, la «casa» de un dibujo infantil)	10	15	7	2
Pirámide de base pentagonal	6	10	6	2
Pirámide de base triangular	4	6	4	2

La relación sirve como detector de errores. Si al contar obtienes un resultado distinto de 2, algún conteo falló: una arista escondida, una cara olvidada.

Ejemplo. Un estudiante dice que cierto poliedro convexo tiene 6 vértices, 10 aristas y 5 caras. ¿Es posible?

Solución. V − A + C = 6 − 10 + 5 = 1, y no 2. Algún número está mal. Imposible tal como se contó: hay que volver a contar.

Ejemplo. Un poliedro convexo tiene 8 caras y 14 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?

Solución. De V − A + C = 2 se obtiene V = 2 + A − C = 2 + 14 − 8 = 8. La pirámide de base heptagonal (siete lados) tiene justo esos números, pero la relación de Euler solo dice cuántos vértices hay, no qué forma tiene el cuerpo.

Ejemplo. Si a un cubo se le corta una esquina con un solo corte plano que atraviesa las tres aristas que llegan a esa esquina (sin pasar por ningún otro vértice), ¿cuántos vértices, aristas y caras tiene el cuerpo que queda?

Solución. Se pierde el vértice cortado, pero aparecen 3 vértices nuevos, uno en cada arista atravesada: quedan 8 − 1 + 3 = 10 vértices. Las tres aristas atravesadas solo se acortan, siguen existiendo. El corte añade una cara triangular (6 + 1 = 7 caras) y 3 aristas nuevas, los lados del triángulo (12 + 3 = 15 aristas). Comprobación: 10 − 15 + 7 = 2.

Rectas y segmentos paralelos y perpendiculares en un cuerpo#

En el espacio, dos rectas distintas pueden estar en tres situaciones. Son paralelas si yacen sobre un mismo plano y jamás se cortan. Son secantes si se cortan en un punto. Y si ni se cortan ni son paralelas, se dice que se cruzan: no existe ningún plano que contenga a las dos. Esa tercera posibilidad solo existe en el espacio: en una hoja plana dos rectas siempre se cortan o son paralelas. Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto. Esto vale para rectas secantes y también para rectas que se cruzan: en ese caso se mide el ángulo entre una de ellas y una paralela a ella que corte a la otra.

Describamos una caja con forma de ortoedro (todas sus caras son rectángulos). La base de abajo tiene los vértices A, B, C y D, recorridos en un solo sentido; arriba están E, F, G y H, de modo que E queda justo sobre A, F sobre B, G sobre C y H sobre D. Las doce aristas son AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE y las verticales AE, BF, CG, DH. Veamos todas las demás aristas desde la arista AB:

Relación con AB	Aristas	Cuántas
Paralelas a AB	DC, EF, HG	3
Perpendiculares que la tocan	AD, BC, AE, BF	4
Perpendiculares que se cruzan con ella	DH, CG, EH, FG	4
La propia AB	AB	1

Los números cuadran: 3 + 4 + 4 + 1 = 12, el total de aristas del ortoedro. Fíjate en que las aristas DH y AB no se tocan ni son paralelas, pero una vertical y una horizontal de la caja siempre forman un ángulo recto: se cruzan perpendicularmente.

Ejemplo. En la misma caja, ¿cuántas aristas son paralelas a la arista vertical AE? ¿Cuántas son perpendiculares a ella?

Solución. Las paralelas a AE son BF, CG y DH: 3. Las demás, excepto la propia AE, son las 8 aristas horizontales (4 de abajo y 4 de arriba), todas perpendiculares a AE. De nuevo: 1 + 3 + 8 = 12.

Planos paralelos y perpendiculares#

Cada cara de un poliedro está en un plano. Dos planos son paralelos si nunca se tocan, como el piso y el cielorraso de un cuarto. Son perpendiculares si forman un ángulo recto, como el piso y una pared. En el ortoedro de la sección anterior las seis caras forman tres pares de planos paralelos:

• la base ABCD y la tapa EFGH;
• las caras ABFE y DCGH, que son las de adelante y atrás;
• las caras ADHE y BCGF, que son los lados izquierdo y derecho.

Cada cara es perpendicular a las cuatro caras que la tocan: la base ABCD es perpendicular a ABFE, BCGF, DCGH y ADHE. Y una arista vertical, como AE, es perpendicular a todo el plano de la base: forma ángulo recto con AB, con AD y con cualquier recta de la base que pase por A.

No todos los poliedros tienen planos paralelos. En un prisma, las dos bases siempre están en planos paralelos. En una pirámide de base cuadrada, en cambio, ninguna pareja de caras es paralela: las cuatro caras laterales se inclinan hacia la punta y se encuentran en ella. Compáralo con el techo a dos aguas, que es un prisma triangular recto: sus dos caras triangulares son paralelas entre sí y perpendiculares a las tres rectangulares.

Ejemplo. Una caja de mudanza tiene la forma de un ortoedro. ¿Cuántas parejas de caras son paralelas y cuántas parejas de caras son perpendiculares?

Solución. Paralelas: 3 parejas (adelante-atrás, izquierda-derecha, arriba-abajo). Cada una de las 6 caras es perpendicular a 4 caras, y como cada pareja se contó dos veces, hay 6 · 4 ÷ 2 = 12 parejas perpendiculares. Total de parejas de caras: 3 + 12 = 15, que es lo que da elegir 2 de 6.

Visualización espacial: cubos apilados#

Imaginar un cuerpo desde distintos lados es una destreza que se entrena. Una torre de cubitos se puede describir con una tabla: cada casilla dice cuántos cubitos hay apilados en esa posición. Considera esta cuadrícula de 3 filas (de adelante hacia atrás) y 3 columnas (de izquierda a derecha):

	Columna 1	Columna 2	Columna 3
Fila 1 (adelante)	3	1	2
Fila 2	2	2	1
Fila 3 (atrás)	1	0	2

Ejemplo. ¿Cuántos cubitos hay en total? ¿Qué alturas se ven al mirar la construcción de frente, desde la fila 1?

Solución. Total: 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 0 + 2 = 14 cubitos. De frente, en cada columna se ve la torre más alta de esa columna: 3 en la columna 1, 2 en la columna 2 y 2 en la columna 3. Un cubito de la fila 3 puede quedar escondido detrás de uno más alto.

Ponte a prueba#

¿Cuántas aristas tiene un poliedro formado por 2 pentágonos y 5 rectángulos?#

¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo con 12 aristas y 6 caras?#

¿Cuántas aristas de un ortoedro son paralelas a una arista dada y cuántas son perpendiculares a ella?#

¿Cuántos pares de caras paralelas tiene un prisma recto de base pentagonal regular?#

¿Por qué un cilindro no tiene vértices?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)