Sucesiones y patrones: cómo hallar la ley de formación

Los días se repiten cada semana, los números de las casas de una calle van de dos en dos, los pagos de un ahorro crecen cada mes. En todos estos casos hay un orden y una regla que permite adivinar lo que viene después. Reconocer esa regla es descubrir un patrón, y escribirla con precisión es el primer paso para predecir cualquier término, aunque esté muy lejos.

En esta lección aprenderás a describir una sucesión de tres maneras —con palabras, con una tabla y con una expresión algebraica—, a encontrar su ley de formación y a usarla para resolver problemas cotidianos.

Términos, posiciones y tres formas de describir una sucesión#

Observa la sucesión 7, 12, 17, 22, 27… El primer término es a₁ = 7, el segundo es a₂ = 12, y así sucesivamente. Los puntos suspensivos indican que la lista sigue. La posición se cuenta desde 1 y el orden es parte esencial de la sucesión: 7, 12, 17 y 12, 7, 17 son listas distintas.

Una misma sucesión puede presentarse de varias formas, y conviene saber pasar de una a otra:

• Lenguaje natural: «empieza en 7 y cada término es 5 más que el anterior».
• Tabla: se anotan la posición n y el término a_n en dos filas o dos columnas.
• Expresión algebraica: una fórmula que da a_n a partir de n; en este caso, a_n = 5n + 2.

Posición n	1	2	3	4	5	n
Término an	7	12	17	22	27	5n + 2

Fíjate en cómo se ve la ley en la tabla: cuando n aumenta en 1, el término aumenta en 5. Esa diferencia constante es la pista para armar la fórmula, como verás enseguida.

Sucesiones que crecen o decrecen siempre lo mismo#

Si de un término al siguiente se suma siempre el mismo número d, la sucesión avanza «a pasos iguales». El número d se llama diferencia y puede ser positivo (la sucesión sube) o negativo (la sucesión baja). Para obtener cualquier término basta con saber el primero y cuántos pasos se dan desde él: para llegar al término n se dan n − 1 pasos de tamaño d.

Ejemplo. Un tanque tiene 500 litros y una llave lo vacía a razón de 20 litros por minuto. Escribe los primeros términos de la sucesión «litros que quedan al final de cada minuto» y su ley de formación.

Solución. Al final del minuto 1 quedan 480, del 2 quedan 460, del 3 quedan 440: la sucesión es 480, 460, 440, 420… En lenguaje natural: «a partir de 500, se restan 20 en cada minuto». Como a₁ = 480 y d = −20, a_n = 480 + (n − 1)(−20) = 500 − 20n. Una forma de comprobar: con n = 1 da 480 y con n = 3 da 440, como en la lista.

Ejemplo. En la sucesión 6, 11, 16, 21… ¿el número 501 es un término? ¿Y el 500?

Solución. La diferencia es 5 y a₁ = 6, así que a_n = 6 + (n − 1) · 5 = 5n + 1. Para el 501 se resuelve 5n + 1 = 501, que da n = 100: sí, es el término número 100. Para el 500 se resuelve 5n + 1 = 500, que da n = 99,8; como la posición debe ser un número natural, 500 no es un término de esta sucesión. Otra manera de verlo: todos los términos terminan en 1 o en 6, y 500 termina en 0.

Patrones con figuras#

Muchos patrones se ven mejor dibujados. Para convertir una figura en una sucesión se cuenta algo —palillos, puntos, cuadritos— en cada posición y se busca cómo cambia ese número.

Ejemplo. Con palillos de dientes se arma una fila de triángulos pegados por un lado: un triángulo usa 3 palillos, dos triángulos en fila usan 5, tres usan 7. ¿Cuántos palillos se necesitan para 30 triángulos en fila?

Solución. La sucesión de palillos es 3, 5, 7, 9… Cada triángulo nuevo comparte un lado con el anterior, así que añade solo 2 palillos. La diferencia es 2 y a₁ = 3, de modo que a_n = 3 + (n − 1) · 2 = 2n + 1. Para n = 30 resultan 2 · 30 + 1 = 61 palillos.

Ejemplo. Se construyen cuadrados de lado n con cuadritos, y a cada uno se le agrega 4 cuadritos extra en una esquina. Las cantidades de cuadritos son 5, 8, 13, 20, 29… ¿Cuál es la ley de formación?

Solución. Las diferencias entre términos consecutivos son 3, 5, 7, 9: ya no son constantes, pero crecen de 2 en 2. Eso sugiere comparar con los cuadrados perfectos 1, 4, 9, 16, 25 (los números de la forma n · n). Cada término supera en 4 al cuadrado de su posición: 5 = 1 + 4, 8 = 4 + 4, 13 = 9 + 4. La ley es a_n = n² + 4, y el término 10 sería 104.

Cuando las diferencias entre términos no son constantes, vale la pena probar con otra idea: calcular las diferencias de las diferencias, comparar con n², con el doble de n, o revisar si se multiplica por un mismo número en cada paso. Ten presente algo importante: con solo unos cuantos términos dados, la ley que encuentras es la más sencilla que los explica, pero no es la única posible (a 2, 4, 6… le puede seguir 8, pero también 7). Por eso, en un problema se dice cuál es la regla, o se dan los términos suficientes para que sea evidente.

Sucesiones en las que se multiplica#

En otras sucesiones cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, llamado razón. Si la razón es mayor que 1, crecen mucho más rápido que las anteriores, porque cada vez el cambio es mayor.

Ejemplo. Un rumor se difunde así: una persona se lo cuenta a 3 personas en la primera ronda, y cada persona que lo escucha se lo cuenta a otras 3 en la ronda siguiente. Si se cuenta cuántas personas lo escuchan por primera vez en cada ronda, ¿cuántas lo escuchan en la ronda 6?

Solución. En la ronda 1 lo escuchan 3, en la ronda 2 lo escuchan 9, en la 3 lo escuchan 27… Cada término es el triple del anterior, es decir, a_n = 3ⁿ. En la ronda 6 lo escuchan 3⁶ = 729 personas. Fíjate en que, de la ronda 3 a la 6, la cantidad se multiplica por 27; por eso a este tipo de crecimiento se le dice «explosivo».

Para decidir qué tipo de sucesión tienes, calcula la resta y la división de términos consecutivos. Si las restas salen iguales, se suma una cantidad fija; si los cocientes salen iguales, se multiplica por una cantidad fija.

Problemas con sucesiones#

Un buen método para cualquier problema es: (1) escribir los primeros términos; (2) buscar el patrón con restas o divisiones; (3) expresar la ley con palabras y con una fórmula; (4) usarla para responder; (5) comprobar con los términos que ya conoces.

Ejemplo. Camila abre una cuenta de ahorro: en la semana 1 deposita ₡2 500 y en cada semana siguiente deposita ₡1 500 más que en la anterior. ¿Cuánto deposita en la semana 12? ¿En qué semana el depósito supera por primera vez los ₡30 000?

Solución. Los depósitos forman la sucesión 2 500, 4 000, 5 500… con diferencia 1 500 y a₁ = 2 500, así que a_n = 2 500 + (n − 1) · 1 500 = 1 000 + 1 500n. En la semana 12 deposita 1 000 + 1 500 · 12 = ₡19 000. Para superar ₡30 000 se necesita 1 000 + 1 500n > 30 000, o sea n > 19,33…; como n es entero, la primera semana es la 20, con un depósito de ₡31 000. En la semana 19 depositó ₡29 500, que aún no supera la meta.

Ejemplo. Dos plantas de frijol miden hoy 4 cm y 10 cm. La primera crece 3 cm por semana y la segunda, 1 cm por semana. Si el crecimiento se mantiene así (es un modelo simplificado), ¿en qué semana tendrán la misma altura?

Solución. Las alturas al final de n semanas son 4 + 3n y 10 + n. Se igualan cuando 4 + 3n = 10 + n, es decir, 2n = 6 y n = 3. A las 3 semanas ambas miden 13 cm. Antes de ese momento la segunda planta es más alta; después, la primera la supera.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la ley de formación de la sucesión 9, 15, 21, 27…, y cuánto vale su término número 40?#

¿La sucesión 2, 6, 18, 54… se obtiene sumando o multiplicando, y cuál es su término número 5?#

¿Es el número 143 un término de la sucesión 8, 13, 18, 23…?#

¿Cuántas fichas hay en la figura 25 si las figuras tienen 4, 7, 10 y 13 fichas?#

¿Cuánto tiempo tarda una piscina en llenarse hasta 1 200 litros si tiene 150 litros y recibe 75 litros cada minuto?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)